1_6354492_24.“老”的数列求和,“新”的求解方法

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 “老”的数列求和 ,“新”的求解方法 裂项求和法替代错位相减法 若 等差数列 ,等比数列 ,求数列 前 n 项和 错位相减法、公式法、导数法、分组法 ,还有更加绝妙的裂项求和法 . 母题结构 :当 q 1 时 ,求证 :(an+b)1( qb)-1qa(2)1( qb母题 解 析 :由 (1( qb)-1qa(2)1( qb1( qa( 2)1( qban+b)子题类型 :(2014年 江西 高考试题 )已知首项都是 1 的两个数列 0,n N+)满足 . ( )令 cn=求数列 通项公式 ; ( )若 n+1,求数列 前 n 项和 解析 :( )由 112 ( )由 n+1,2 3n+1;令 an+b) 3n,且满足 (an+a+b) 3n+1-(an+b) 3n=(2 3n+1 2a+2b=62a=6,3a+2b=a=3,b=3 3n,且 Sn=a1+a2+ +( +(3 3n+1+9. 点评 :构造裂项式是求和的关键 :针对 an+b) an+b)qn+k,令 xn+y)满足 此可求 x,y,并得通项 an=而可得数列 前 n=巧 子题类型 :(2013 年山东 高考试题 )设 等差 数列 前 n 项和为 4=4S2,. ( )求数列 通项公式 ; ( )设数列 前 n 项和为 n+= (为实数 ).令 cn=n N+),求 数 列 前 n 项 和 解析 :( )设 公差为 d,由 S2, 4d=8d,2d=2(d+1 ,d=2 ( )由 Tn+= n;当 n 2时 ,22cn=41 ) an+b)(41)满足 a=b=98 8)(41)Rn=c1+ +( +(41)n+94. 点评 :针对 an+b) an+b) xn+y)满足 解较为简 单 . 子题类型 :(2014年 安徽 高考试题 引伸 )数列 足 ,=(n+1)an+n(n+1),n N*. ( )证明 :数列 等差数列 ; ( )设 n 题为 n求数列 前 n 项和 解析 :( )由 ,=(n+1)an+n(n+1)11 数列 首项为 1,公差为 1 的 等差数列 ; ( )由n bn=3n;令 yn+z) 3n,且满足 2x+y)n+x+y+z 3n+1-(yn+z) 3n=3n 2(6x+2y)n+(3x+3y+2z)=2x=1,6x+2y=0,3x+3y+2z=0 x=21,y=z=23 213) 3n Sn=b1+ +( +(211) 3n+1点评 :裂项 求和法可拓展到求 数列 (bn+c)前 至可用于 数列 f(n)其中 f(n)是 项式 )的前 n. 1.(2004年 湖南 高考试题 )已知数列 首项为 的等比数列 ,( )证明 :126, ( )求和 Tn= +2.(2004年 重庆 高考试题 )设数列 足 :,5,=35+31an(n=1,2, ). ( )令 bn=n=1,2, ),求数列 通项公式 ; ( )求数列 前 n 项和 3.(2014年 四 川 高考 文科 试题 )设等差数列 公差为 d,点 (an,函数 f(x)=2n N*). ( )证明 :数列 等 比 数列 ; ( )若 ,函数 f(x)的图象在点 (a2,的切线在 x 轴上的截距为 2 数列 前 n 项和 4.(2014年 四 川 高考 理科 试题 )设等差数列 公差为 d,点 (an,函数 f(x)=2n N*). ( )若 2,点 (函数 f(x)的图象上 ,求数列 前 n 项和 ( )若 ,函数 f(x)的图象在点 (a2,的切线在 x 轴上的截距为 2数列 的前 n. 5.(2007年 福 建 高考试题 )数列 前 N 项和为 Sn,=2Sn(n N*). ( )求数列 通项 ( )求数列 前 n 项和 6.(2013年 湖南 高考试题 )设 前项和 ,已知 0,21Sn,n N*. ( )求 a1,求数列 通项公式 ; ( )求数列 前 n 项和 ( )略 ;( )5164n+2516)( )32)n;( )2)n 3n(n+1)+(6n+18)(32)(