1_6354530_19.抽象函数的对称性与周期性关系

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 抽象函数的对称性与周期性 关系 对称与周期关系 的 母题 我们知道函数的对称性质 : f(x)的图象关于直线 x=a 对称 f(a+x)-f(0 f(x+a)是偶函数 ; f(x)的图象关于点 (a,m)对称 f(a+x)+f(2m f(x+a)奇函数 函数的对称 性与周期性 具有密切关系 ,我们以母题形式呈现如下 : 母题结构 :( )轴对称与周期关系 :如果函数 f(x)的图象关于直线 x=a 与 x=b(a b)对称 ,则函数 f(x)是 T=2|周期的周期函数 ,当 直线 x=a与 x=b 是 f(x)的 相邻 对称 轴时 ,T=2| f(x)的 最小正 周期 ; 如果以 T 为周期的函数f(x)的图象有一条对称轴 x=a,则函数 f(x)的图象有无数条对称轴 x=a(k Z),当 T 是 f(x)的 最小正 周期 时 ,x=a(k Z)表示 f(x)图象的 所有 对称轴 ; ( )中心对称与周期关系 :如果函数 f(x)的图象关于点 (a,m)与 (b,m)(a b)对称 ,则函数 f(x)是 T=2|周期的周期函数 ,当 点 (a,m)与 (b,m)是 f(x)的 相邻 对称 中心 时 ,T=2| f(x)的 最小正 周期 ;如果以 f(x)的图象有一 个对称中心 (a,m),则函数 f(x)的图象有无数 个对称中心 (a,m)(k Z),当 T 是 f(x)的 最小正 周期 时 ,(a, m)(k Z)表示 f(x)图象的 所有 对称中心 ; ( )轴对称 、 中心对称与周期关系 :如果函数 f(x)的图象关于直线 x=a 与点 (b,m)对称 ,则 : 函数 f(x)是以 T=4|周期的周期函数 ,当 直线 x=a 与点 (b,m)相邻时 ,T=4| f(x)的 最小正 周期 ;函数 f(x)的图象有无数条对称轴 x= 2k(a(k Z)和 无数个对称中心 (2k(b,m)(k Z),当 直线 x=b,m)相邻时 ,x=2k(a(k Z)表示 f(x)图象的 所有 对称轴 ,(2k(b,m)(k Z)表示 f(x)图象的 所有 对称中心 . 母题 解 析 :( ) 由 函数 f(x)的图象关于直线 x=a与 x= f(a+x)=f(f(b+x)=f( fx+2(= f(x+a)+(=f(a+x)=f(f(b+x)=f(b+x)=f(x) 2( 函数 f(x)的周期 函数 f(x)是 T=2|周期的周期函数 ;不妨设 区间 上有四个不同的根 x1,x2,x3, x1+x2+x3+ . 10.(2007年江西高考试题 )给出下列三个命题 :函数 y=21与 y=若函数 y=f(x)与 y=g(x)的图像关于直线 y=则函数 y=f(2x)与 y=21g(x)的图像也关于直线 y=若奇函数 f(x)对定义域内任意 f(x)=f(2则 f(x)为周期函数 ) (A) (B) (C) (D) 11.(2009 年 第 二十 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高一 )试 题 )f(x)是定义在 R 上的奇函数 ,且 f(偶函数 ,则下列命题中错误的是 ( ) (A)f(x)的图像关于 x=2 对称 (B)f(x)的图像关于点 ()对称 (C)f(x)的周期为 4 (D)f(x)的周期为 8 12.(2000 年上海交通大学保送生考试试题 )已知 f(x)是偶函数 ,f( 奇函数 ,且 f(0)=1998,则 f(2000)= . 13.(2005年天津高考试题 )设 f(x)是定义在 且 y=f(x)的图象关于直线 x=21对称 ,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+ f(5)= . 14.(2006 年北京市中学生数学竞赛高一 试 题 )f(x)为定义在 R 上的奇函数 ,且 f(x)的图象关于直线 x=21对称 ,则 f(1)+ f(2)+ +f(2006)= . 15.(2010 年全国高 中数学联赛 四川 预 赛试题 )f(x)是定义在 且 f(x)=f(1则 f(2010)= . 16.(2015 年全国高中数学联赛浙江初赛试题 )已知函数 f(x)满足 f(x+1)+f(10,f(x+2)0,且 f(32)=1,则f(31000)= . 17.(2009 年全国高中数学联赛 福建 预 赛试题 )若定义在 R 上的奇函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称 ,且当 0x 1 时 , f(x)=方程 f(x)=f(0)在区间 (0,10)内的所有实根之和为 . 由 偶函数的图像 y=f(x)关于直线 x=22对称 f(x)是 周期函数 ,且周期 T=2(22 2 D). 由函数 f(x)的 的图像关于直线 x=a 和 x=b(a b)对称 ,则 f(x)是以 T=2(周期的周期函数 (B). 由 f(10+x)为偶函数 f(x)的图象 关于直线 x=10对称 ;由 f(5f(5+x) f(x)的图象 关于直线 x=5对称 f(x)的周期 T=2(1010 f(x)的图象有无数个对称 轴 x=5k+5,当 k=f(x)的图象 有对称 轴 x=0 f(x)是偶函数 A). 由 f(1+x)=f(1 f(x)的图象关于 x=1 对称 T=2|12 f(f(f(由 f(x+4)=f(x) f(x)是 以 T=4 为周期的周期函数 ,且 f(2)=4 f(6)=f(2)=4 直线 y=4 与函数 f(x)的图像交点中最近的两点之间的距离 =6. ( )由 f(2f(2+x) f(x)的图象 关于直线 x=2 对称 ;又 由 f(7f(7+x) f(x)的图象 关于直线 x=7 对称 f(x)是 周期函数 ,且周期 T=2(710 f(x)的图象有无数个对称 轴 x=5k+2 0 f(x)不 是偶函数 ;又因 f(f(7) 0 f( ) f(x)不 是 奇 函数 f(x)是 非奇非 偶函数 ; ( )由 f(x)的图象 关于直线 x=2和 x=7对称 且在闭区间 0,7上 ,只有 f(1)=f(3)=0 f(x)=0在 和 0,10上均有两根 ;又由 f(x)是以 T=10 为 周期 的 周期函数 f(x)=0 在 上有 400 个根 ,在 0,2005上有 402 个根 f(x)=0在 005上有 802 个根 . 由 f(x+1)是奇函数 f(x)有对称中心 (1,0);f(是奇函数 f(x)有 对称中心 () f(x)是 以 T=2|1- (=4 为周期的周期函数 f(x)有对称中心 (3,0) f(x+3)是奇函数 C). 由 f(x+1)与 f(是奇函数 f(x)有对称中心 (1,0),() f(x)是 以 T=2|1-(=4 为周期的周期函数 f(x)有对称中心 (2);令 0 2100 21 k 2101 k=1,2, ,50 至少有 50 个零点 . 由 f(-f(x) f(x+8)=f(x) f(x)的图象有对称中心 M(4,0) f(x) 的图象 如图 ,不妨设 x1x2x3图 知 ,x1+12,x3+ x1+x2+x3+8. 由 f(x)=f(2 奇函数 f(x)的图象 关于直线 x=1 对称 f(x)是 周期函数 ,且周期 T=4(14 为 真命题 (D)错 为假 命题 (A),(C)错 (B). 由 f(偶函数 f(x)的图象关于直线 x=称 f(x)是 以 T=4|8 为周期的周期函数 f(x)有 对称轴 x=4 k=1 时 ,x=2;f(x)有 对称 中心 (4k,0),当 k= ,对称 中心 ()C). 由 f( 奇函数 f(x)的图像关于点 ()对称 T=40-(=8 是 f(x)的周期 f(2000)=f(0)=1998. 由 奇函数 f(x)的图象 关于 x=21对称 周 期 T=4(212;又 由 f(x)的图象 有 对称中心 O(0,0) f(x)的图象有无数个对称中心 (,0)=(k,0) f(k)=0 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0(连续函数的对称中心在函数的图像上 ). 由 奇函数 f(x)的图象关于直线 x=21对称 f(x)是 以 T=4|212为周期的周期函数 f(x)有对称中心 (k,0) f(k)=0 f(1)+f(2)+ +f(2006)=0. 由 f(x)=f(1 f(x)的图象关于直线 x=21对称 f(x)是 以 T=4|212 为周期 f(2010)=f(0)=0. 由 f(x+1)+f(10 f(x)有对称中心 (1,0);由 f(x+2)0 f(x)的图象 关于直线 x=2 对称 f(x)是 以T=4|14 为周期的周期函数 f(31000)=f(332+34)f(34)=2)=由 奇函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1对称 f(0)=0,