1_6354551_3.圆锥曲线上四点共圆的充要条件及命题视角

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 圆锥曲线上四点共圆的充要条件及命题 视角 圆锥曲线上四点共圆的母题 圆锥曲线上四点共圆问题是解析几 何 的名题 ,其充要条件直到 20世纪初 才得到解决 ;四点共圆问题 于 2001年出现于新课程高考中 ,此后 ,又多次出现在高考中 ,四点共圆 的 充要条件 是名副其实的高考母题 . 母题结构 :(人教版 .坐标系与参数方程 (选修 4例 4(D 是 椭圆 G:222(ab0)的两条相交弦 ,交点为 P,若直线 倾斜角互补 | 母题 解析 :设直线 0 0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 ,且 |45| ( )求 C 的方程 ; ( )过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、 B 两点 ,若 垂直平分线 l 与 C 相较于 M、 N 两点 ,且 A、 M、 B、 N 四点在同 一圆上 ,求 l 的方程 . 分析 :由 抛物线 的焦半经公式及 |45|得 p=2;由 直线 直线 4或43 直线 AB:y= ( 解析 :( )设 Q(),代入 x0=|p;由 |45|p=45p=2 抛物线 C:x; ( )由 F(1,0),设 点为 H(x0,直线 (0, ),直线 l: 直线 100 2(2t+ |2 0204| ;把 x 得 :2(2t+ |2 0204| ;由 A、 M、 B、 N 四点在同一圆上 | |2 0204| =2 0204| 1 直线 l:y= ( 点评 :对于给定的圆锥曲线 G,求 直线 得 直线 锥曲线 、 B、 C、 此类问 题 是 四点共圆 的逆向问题 ;设 直线 交点 T(x0, 直线 参数方程 ,利用参数的几何意义分别 求 |根据 A、 B、 C、 :|由此求解 . 圆的应用 子题类型 :(2009 年 辽宁 高考试题 )已知 椭圆 C 过点 A(1,23),两个焦点为 (),(1,0). ( )求椭圆 C 的方程 ; ( )E,F 是椭圆 C 上的两个动点 ,如果直线 斜率与 斜率互为相反数 ,证明 :直线 斜率为定值 ,并求出这个定值 . 分析 :由 椭圆 C 在点 A 处的切线方程为 :4x+2y=1 切线斜率 k= 母题的推论知 k=21为定值 . 解析 :( )设 椭圆 C:222(ab0),由题 知 c=1,3 a=4, 椭圆 C:42x+32y=1; ( )设直线 y=k(23,代入42x+32y=1得 :(3+44k(3x+4(23;设 E(xE,F(xF,则 1 2243 12) 243 12) ,同理可得 :243 12) F EF =F 2)( =21 . 点评 :如果 圆锥曲线 G 上一定点 M(x0, 两动点 A、 B,则直线 斜率互为相反数等价于直线 斜率与曲线 的切线斜率互为相反数 ,由此可构造 四点共圆 的 第三类问题 ;对于圆锥曲线 (x0,未定点 P,可以通过设直线 PM:y=kx+入 曲线 G 的方程得关于 x 的一元二次方程 ,由韦达定理可 求 此用斜率 k 表示点 1.(2002 年河南、江苏高考试题 )设 A、 B 是双曲线 上的两点 ,点 N(1,2)是线段 中点 .( )求直线 方程 ; ( )如果线段 垂直平分线与双曲线相交于 C、 D 两点 ,那么 A、 B、 C、 D 四点是否共圆？为什么？ 2.(2005 年湖北高考试题 )设 A、 B 是椭圆 3x2+上的两点 ,点 N(1,3)是线段 中点 ,线段 垂直平分线与椭圆交于 C、 D 两点 . ( )确定的取值范围 ,并求直线 方程 ; ( )试判断是否存在 这样的 ,使得 A、 B、 C、 D 四点在同一个圆上？并说明理由 . 3.(2014 年全国高中数学联赛湖北预赛 (高二 )试题 )设 A、 B 是双曲线 线 上的两点 ,点 N(1,2)是线段 中点 ,线段 垂直平分线交双曲线于 C、 D 两点 . ( )确定 的取值范围 ; ( )试判断 A、 B、 C、 D 四点是否共圆？并说明理由 . 4.(原创题 )己知椭圆22221(ab0)的左焦点为 F,左、右顶点分别为 A、 C,上、下顶点分别为 B、 D. 四边形 在外接圆 ,且圆心为点 P,|7- 5 . ( )求椭圆方程 ; ( )过点 P 作两条互相垂直的直线 l2,、 F 和点 M、 N,若 E、 F、 M、 N 四点共圆 ,求直线k(k0). 5.(原创题 )已知椭圆 C:222(ab0)的 离心率 e=36,经过点 P(1,3)的直线与椭圆 C 交于 A、 B 两点 ,如果点 P 为线段 中点 ,且 |6 2 . ( )求 椭圆 C 与直线 方程 ; ( )若经过点 P 的另一条直线与椭圆 C 交于 M、 N 两点 ,且 A、 M、 B、 N 四点均在圆 Q 上 ,求直线 圆 Q 的方程 . 6.(2004 年 北 京 高考 理 科 试题 )如图 ,过抛物线 px(p0)上一定点 P(x0,)作两条直线分别交抛物线于 A(x1, B(x2, ( )求该抛物线上纵坐标为2 的距离 ; ( )当 B 的斜 率存在且倾斜角互补时 ,求0 21 的值 ,并证明直线 斜率是非零常数 . ( )设 A(x0,则 B(2由 2,2(2-(4=2 =0 点 =0上 ,同理可得 :点 B 也在直线 =0 上 直线 AB:=0; ( )由 直线 CD:(即 x+ A、 B、 C、 D 四点 均 在曲线 G:(2 ()(x+0,即 (2+ )+ )x+4 2=0 上 ,当 =曲线 G 为圆 :(x+3)2+(=40 A、 B、 C、 ( )由 点 N(1,3)是线段 点 N(1,3)在椭圆内 3+32= 的取值范围是 (12,+ );设 A(x0,则 B(2由 3 ,3(2+(6= x0+ 点 A 在直线 x+ 上 ,同理可得 :点 B 也在直线 x+=0 上 直线 AB:x+; ( )由 直线 CD: =0 A、 B、 C、 D 四点 均 在曲线 G:(3x2+t(x+)=0,即 (3+t)(1-t)0 上 ,当 = ,曲线 G 为圆 :x2+y2+0 A、 B、 C、 D 四点共圆 . ( )设 A(x0,则 B(2由 2 ,2(2-(4= =0 点 A 在直线 =0 上 ,同理可得 :点 B 也在直 线 =0 上 直线 AB:=0 直线 CD:x+;将 =0 代入 得 :+1)=0 4+4(2 +1)0 理 将 x+ 代入 得 : 0 的取值范围 是 () (0,+ ); ( )由 A、 B、 C、 D 四点 均 在曲线 G:(2+t()(x+0,即 (2+t)+t)0 上 ,当 t=曲线 G 为圆 :(x+3)2+(=4( +9) A、 B、 C、 D 四点共圆 . ( )由四边形 在外接圆 | ac= t 圆心 C 的中点 P(21( 0) |21(a=7- 5 ,又由 ac=c=215a a=4, 5 椭圆 :( 5 -1)( 5 ( )因 P(3- 5 ,0),设直线 ty 2) 直线 ty ty 5 -1)4( 5 :( 5 -1)2( 5 3- 5 )t+( 5 10 )=0 22 5( )535)(15(2 同理 可 得 : 22 5( )535)(15(2 ;由 E、 F、 M、 N 四点共圆 | | ( 5 -1)2( 5 -1)2 22 k=1. ( )设直线 倾斜角为 (0 ),参数方程 为 : ty tx(t 为参数 ),点 A、 B 对应的参数为 入222 得 :(3t+(0;由点 P 为线段 中点 t1+ 30 由 e=22136 直线 AB:x+; 22222222 ba =23(4- |21221 4)( = )4(6 2 b =6 2 b=4 椭圆 C:482y+162x=1; ( )设直线 倾斜角为 (0 ),参数方程 为 : ty tx(t 为参数 ),代入482y+162x=1 得 :(48166(36=0 | 22 616 ;由 ( )知 ,|18;所以 ,A、 M、 B、 N 四点共圆 | 481632 22 1 直线 MN:y=x+2; 2 点 Q(23) |=245 45+(3 2 )2=281 圆 Q:(x+2