3_8065333_3.由奇与偶函数的和生成的一类高考试题VIP

高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 由奇与偶函数的和生成的一类高考试题 奇与 偶 函数 的 和函数 的 母题 奇函数 f(x)与 偶函数 g(x)的 和 函数 M(x)具有如下性质 ,它 是生 成 一类 高考试题 的出发点 ,它 具有显着的母题特征 . 母题结构 :函数 M(x)的定义域关于原点对称的充要条件是 M(x)可分解成一个奇函数 f(x)与一个偶函数 g(x)的和 . 母题 解析 :(必要性 )若 函数 M(x)的定义域关于原点对称 ,令 f(x)=2 )()( ,g(x)=2 )()( ,则 M(x)=f(x)+g(x), 且 f(x)是奇函数 ,g(x)是偶函数 ; (充分性 )若 M(x)=f(x)+g(x),由 奇函数 f(x)与 偶函数 g(x)的定义域 均 关于原点对称 M(x)的定义域关于原点对称 . 奇偶 性 子题类型 :(2010 年广东高考试题 )若函数 f(x)=3x+3g(x)=3,则 (A)f(x)与 g(x)均为偶函数 (B)f(x)为偶函数 ,g(x)为奇函数 (C)f(x)与 g(x)均为奇函数 (D)f(x)为奇函数 ,g(x)为偶函数 分析 :由 h(x)=3 f(x)=h(x)+h( 3x+3g(x)=h(x)x)=3 解析 :令 h(x)=3x,则 h(x)的定义域关于原点对称 f(x)=h(x)+h(偶函数 ,g(x)=h(x)x)为奇函数 B). 点评 :判断函数奇偶性的一般方法 是定义法 ,母题的一个副产品 :“若函数 M(x)的定义域关于原点对称 ,则 f(x)=M(x)- M(奇函数 ,g(x)=M(x)+M(偶函数” ,提供了判断一类函数奇偶性的快捷方法 . 数 子题类型 :(2011年 湖北 高考试题 )(文 )若定义在 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)= g(x)=( ) (A) (B)21(ex+ (C)21( (D)21(分析 :令 M(x)= 奇函数 g(x)=2 )()( =21( 解析 :由 f(x)+g(x)=f(g(f(x)-g(x)=g(x)=21(故选 (D). 点评 :若 奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=M(x),则 : f(x)-g(x)=x); f2(a)a)=-M(a)M( 数 子题类型 :(2008年安徽高考试题 )若函数 f(x)、 g(x)分别为 函数 ,且满足 f(x)-g(x)=有 ( ) (A)f(2)f(2)f(0)=0-1=g(0)D). 点评 :若 奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=M(x),研究 奇函数 f(x)和偶函数 g(x)的 性质是母题的引伸问 题 ,解决问 题 的关键还是由母题求 奇函数 f(x)和偶函数 g(x). 1.(2014 年 重庆 高考试题 )下列函数为偶函数的是 ( ) (A)f(x)= (B)f(x)=x3+x (C)f(x)=2 (D)f(x)=2x+2.(2010 年重庆高考试题 )函数 f(x)=4的图象 ( ) (A)关于原点对称 (B)关于直线 y=x 对称 (C)关于 x 轴对称 (D)关于 y 轴对称 3.(2013 年 湖南 高考试题 )已知 f(x)是奇函数 ,g(x)是偶函数 ,且 f(g(1)=2,f(1)+g(4,则 g(1)等于 ( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 4.(2014 年 湖南 高考试题 )已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数 ,且 f(x)-g(x)=x3+,则 f(1)+g(1)=( ) (A) (B) (C)1 (D)3 5.(1996 年 第 七 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高一 )试 题 )已知 f(x)是奇函数 ,g(x)是偶函数 ,且 f(x)-g(x)=x+3,则f(x)+g(x)= . 6.(2004年全国高中数学联赛 湖南 预 赛试题 )己知函数 f(x)是 g(x)是 若 f(x)-g(x)=x+12,则 f(x)+g(x)=( ) (A) (B) (C)2 (D)2 7.(1999 年 第 十 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高一 )试 题 )函数 y=11x(x 1)可以表示成一个偶函数 f(x)与一个奇函数 g(x)的和 ,则 f(x)= . 8.(2002 年 第 十 三 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高一 )试 题 )将函数 f(x)=lg()写成一个偶函数及一个奇函数的和 ,其中的奇函数为 . 9.(2012 年 第 二十 三 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高 二 )试 题 )若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 :f(x)+g(x) =x2+x+1,则 g(2)= . 10.(2011 年 第 二十二 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高一 )试 题 )设 f(x)+g(x)= 21 ,且 y=f(x)和 y=g(x)依次是偶函数 和奇函 数 ,则 f(3)= . 11.(1987 海市高中数学竞赛 (新知杯 )试 题 )f(x)+g(x)=(x (2),且 f(x)为奇函数 ,g(x)为偶函数 ,则f(x)2-g(x)2= . 12.(2007 年福建省高一数学夏令营选拔试题 )设 f(x)+g(x)=(x (2),且 f(x)为奇函数 ,g(x)为偶函数 ,则 f(4)2-g(4)2= . 13.(2004 年 第 十 五 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高 二 )试 题 )设 x ,f(x)是偶函数 ,g(x)是奇函数 ,且 f(x)-g(x)= x),则 g(x)= ,10g(x)的最大值是 . 14.(2010 年 第 二十一 届“ 希望杯”全国数学邀请赛 (高一 )试 题 )已知函数 f(x)是 R 上的奇函数 ,函数 g(x)是 R 上的偶函数 ,且 f(x)-g(x)=f(x)的最大值为 M,g(x)的最小值为 m,则 M+m=( ) (A) (B) (C) (D)5.(2003 年上海交通大学保送生考试试题 )已知 f(x)=f(2)= f( . 16.(2004年 全国高中数学联赛 河南初赛 试 题 )函数 f(x)=满足 :f(1)=7,f(9,且 f(2)+f(124,则 f( 2 )+f(- 2 )=( ) 由 g(x)=2 f(x)=g(x)+g(2x+2故选 (D). 由 f(x)=4=2x+2 函数 D). 由 )+g(1)=2,f(1)+g(1)=4 g(1)=B). 由函数奇偶性 f(1)+g(1)=f(g(+(+1=C). 由 f(x)+g(x)=x)+g(-(). 由 f(x)+g(x)=x)+g(-(2)A). 由 f(x)=21(11x+11x)=112x(x 1). 由 奇函数 =21f(x)x)=21 xx 由 g(2)=2122+2+1-(-(1=2. 由 f(3)=21 2331 + 2)3()3(1 =21( 13 + 7 ). 由 f(x)2-g(x)2=) )2 =由 f(x)2-g(x)2=f(4)2-g(4)2=- 2 . 由 g(x)=21222110g(x)的最大值 =33. 由 f(x)=g(x)=M=3,m=M+m=D). 令 g(x)=x,则 g(x)是 奇函数 ,且 f(x)=g(x)+f(2)+f(g(2)+22g(g(2)+ g(+6 f(14. 令 g(x)=,h(