3_8065335_10.求一类函数方程中函数的解析式

高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 求一类函数方程中函数的解析式 解函数方程之母题 含有未知函数的等式称为 函数方程 ,函数方程的中心问题是求函数的解析式 ,利用下面的母题可以解决或构造一类求函数方程中函数的解析式试题 . 母题结构 :( )己知函数 f(x)满足 af(x)+bf(g(x)=h(x),其中 ,a,b 为常数 ,g(x),h(x)为给定的 函数 ,且 |a|b|,g(g(x)=x,求 f(x); ( )己知函数 f(x)满足 af(x)+bf(g(x)=h(x),其中 ,a,b 为常数 ,g(x),h(x)为给定的 函数 ,且 a+b 0,g(g(g(x)=x,求f(x). 解 题 程序 :( )由 af(x)+bf(g(x)=h(x) af(g(x)+bf(g(g(x)=h(g(x) af(g(x)+bf(x)=h(g(x) ;由 b 得 :f(x)=22 )()( ba ; ( )由 af(x)+bf(g(x)=h(x) af(g(x)+bf(g(g(x)=h(g(x) af(g(g(x)+bf(g(g(g(x)=h(g(g(x) af(g(g(x)+bf(x)=h(g(g(x) ;由 x)+abaf(g(x)+bf(g(g(x)+x)=x)+ h(g(g(x) (a3+b3)f(x)+g(x)=x)+g(g(x) f(x)=3322 )()()(ba b . 在 函数方程 af(x)+bf(g(x)=h(x)中 ,函数 g(x)起到关键作用 ,我们把满足 g(g(x)=x 的 函数称为一阶迭代函数 ,把满足 g(g(g(x)=x 的 函数称为 二 阶迭代函数 . 子题类型 :(2009年 安徽 高考试题 )己知函数 f(x)在 f(x)=2f(2曲线 y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线方程是 ( ) (A)y=2 (B)y=x (C)y=3 (D)y= 分析 :令 g(x)=2 g(g(x)=2-g(x)=2-(2x,由此可用母题 ( )的解题程序求解 . 解析 :由 f(x)=2f(2 8)2(8)2()(2)2( 88)2(2)( 22f(t)=22f(t)f(t)= f(x)=以曲线 y=f(x)在点 (1,1)处的切线方程为 y=2选 (A). 点评 :对于一阶线性迭代函数有下列结论 : 当 g(x)=-x+g(g(x)=x; 当 g(x)=bx+c(a 0),则 g( g(x),由此可解形如 mf(nf(x+ :只须把 2 21 子题类型 :(2005 年复旦 大学 保送生考试 试题 )定义在 R 上的函数 f(x)(x 1)满足 f(x)+2f(120024015f(2004)= . 分析 :令 g(x)=12002 g(g(x)=1)( 2002)( x,由此可用母题 ( )的解题程序求解 . 解析 :令 x=f(t)+2f(120024015 ;令12002xx=t,即 x=12002f(120022f(t)=4015 解得 :f(t)=31(4013+t+1406t) f(2004)=2005. 点评 :对于一阶 分式 迭代函数有下列结论 :当 g(x)=时 ,g(g(x)=x;特别地 ,当 g(x)=g(g(x)=x. 子题类型 :(2004 年江西省高中女子数学竞赛试题 )若 f(x11)=x)+2,则 f(3)= . 分析 :令 g(x)=x11,则 g(g(x)= g(g(g(x)=x,由此可用母题 ( )的解题程序求解 . 解析 :在 f(x11)=x)+2 中 ,令 x=t 得 :f(t11)=t)+2;令 x=t11得 :f()=(1-t)f(t11)+2 f(t11)= t11f()令 x=得 :f(t)=f()+2 f()=()f(t) f(t11)=t11f()=t11()f(t)2=t)+21 12 t)+ 21 12=t)+2 f(t)=1 f(3)=点评 :对于二阶分式迭代函数有下列结论 :当 g(x)=,且 a2+bc+ad+ 时 ,g(g(g(x)=x;特别地 ,当 g(x)=x11或 g(x)=时 ,g(g(g(x)=x. 1.(1999 年福建省高一数学夏令营选拔试题 )关于 x 的函数 f(x)满足 2x(0mn),当 x 时 , f(x)的最小值是 . 2.(2006 年 泰国 数学奥林匹克试题 )设函数 f:R R,对任意 x R,都有 f(x2+x+3)+2f()=67.求 f(85). 3.(2009 年全国高中数学联赛 湖南 预 赛试题 )设 f(x)为 R R,对任意 实数 x 有 f(x2+x)+2f(x+2)=95x,则 f(50)的值 为 ( ) (A)72 (B)73 (C)144 (D)146 4.(2011年北京市中学生数学竞赛高一 试 题 )设函数 y=f(x)定义域为 R,且对任意 x f(x2+x)+f()=9,求 f(60)的值 . 5.(1998年 第 九 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高 二 )试 题 )若函数 f(x)满足条件 f(x)x,则 |f(x)|的最小值是 . 6.(2005 年全国高中数学联赛 江西 预 赛试题 )设 f(x)适合等式 f(x)x,则 f(x)的 值域是 . 7.(2009 年浙江省高中数学夏令营试题 )已知 f(x)是定义在 (0,+ )上的函数 ,且满足 f(x)=f(x1),则 f(x)= . 8.(2005 年全国高中数学联赛 浙江 预 赛试题 )设函数 2f(x)+1 343 23 x f(x)= . 9.(2005 年福建高一数学竞赛试题 )函数 f(x)的定义域为 (0,+ ),并且对任意正实数 x,都有 f(x)+2f(3x,则f(2)= . 10.(1993 年第届俄罗斯数学奥林匹克试题 )对于一切 x 1,函数 f(x)有定义并且满足关系 :(f(11f(x)= 11.(1971 年 第 32 届美国普特南数学竞 赛试题 )已知 f(x)满足 f(x)+f()=1+x(x 0 且 x 1),求 f(x). 12.(2004 年日本数学奥林匹克试题 )求函数 f(x),使得 :f(x)+f(x11)=x1,x R,x 0,1. 由 2x mf(t)+t)=t+3 t)+nf(t)= f(t)=t+;由 x t=21 f(x)的最小值 =f(t)的最小值 =f(222mn n. 在 f(x2+x+3)+2f()=67 中 ,用 1替 f()+2f(x2+x+3)=63 f(x2+x+3)=2(x)+3;令 x2+x+3=85 得 :x2+x=82 f(85)=2 82+3=167. 由 f(x2+x)+2f(x+2)=95x,用 1替条件等式中的 x 得 :2f(x2+x)+f()=9 该 式及原式 ,消去 f(x+2)得 f(x2+x)=3x4=3(x2+x)4 f(50)=3 50 (D). 由 2f(x2+x)+f()=9 1替条件等式中的 x 得 :2f(x+2)+f(x2+x)=95x,由 该 式及原式 ,消去 f(x+2)得 f(x2+x)=3x4=3(x2+x)4,所以 f(60)=3 604=176. 由 f(x)-4 f(x f(41f(x) f(4f(x)= 41f(x)x)=f(x)=x+ |f(x)|=151|x+154,当且仅当 x= 2时 ,等号成立 ,故 |f(x)|的最小值是154; 由 f(x)x f(2f(x)=f(x)f(x)+x f(x)=x+ |f(x)|=31|x+322 f(x)的值域是 (- ,- 322 322 ,+ ). 由 f(x)=f(x1) f(-f(x) f(x)=-f(x) f(x)=. 由 2f(x)+1 343 23 x 2f(f(x)=)1( 343 223 xx f(x)= 1 132 23 x 由 f(x)+2f(3x f(2f(x)=3f(x)=2f(2)=2003. 在 (f(11f(x)=令 x=(f(11f(t)=t ;令 x=11(11f(t)111 ;由得 :f(t)=2t+1 f(x)=2x+1(x 1). 在 f(x)+f()=1+令 x=f(t)+f()=1+t ;令 x=得 :f()+f(t11)=2 ;令 x=t11