14_5042179_19.长方体模型中的“鳖臑”

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 长方体模型中的“鳖 臑 ” 模型解题法之 八 以 长 方体 的顶点为顶点的四面体中 ,存在 四个面均是直角三角形 的四面体 ,古人 称该 四面体 为 “鳖臑” ;“鳖臑”是立体几何中的一个重要的 “原 子 几何体” ,应用十分广泛 ;利用 长 方体 模型研究“鳖臑”的基本性质 . 母题结构 :己知 四面体 ,三条棱 两互相垂直 ,且 AB=a,BC=b,CD=c,有 (位置关系 ): 平面 D 平面 若 若 若 F F (度量结论 ): 222 ; 1 (成角公式 ) 2222 ; (折叠角公式 ) (外接球 ): 外接球球 心 O 是 中点 ; 外接球半径 R=21222 . 母题 解 析 : 显然成立 ; 由 F 由 显然成立 ; 显然成立 ; 2222 ,2 22 显然成立 . 子题类型 :(2006 年 全国 高考 理 科 试题 )如图 ,平面 平面 ,A ,B ,两平 面 、 所成的角分别为4和6,过 A、 B 分别作两平面交线 的垂线 ,垂足为 A 、 B ,则 =( ) (A)2:1 (B)3:1 (C)3:2 (D)4:3 解析 :在 长 方体 中 ,作出符合条件的几何图形 ,如图 ,由 平面 所成的角为 =4 =22 =6 =21 = (A). 点评 :凡 是 三条棱两两互相垂直 的四面体均是“鳖 臑 ” ,而关于“鳖 臑 ”的问 题 ,利用长方体模型可直观求解 . 子题类型 :(2010 年 四川 高考试题 )如 图 ,二面角 大小是 600,线段 ,B l, l 所成的角为 B 与平面 所成的角的正弦值是 . 解析 :过点 的垂线 ,垂足为 C,在 内过 C作 垂足为 D,则 l 600,又由 00,设 ,则 3 ,1, 3. 点评 :“鳖 臑 ”是立体几何中重要的“原 子几何体” ,通过构造“鳖 臑 ”解决问题 ,是模型法的基 本 思 想 之一 . 子题类型 :(2014 年 大纲 高考试题 )已知二面角 600, ,l,A 为垂足 , ,C l, 350,则异面直线 D 所成角的余弦值为 ( ) (A)41(B)42(C)43(D)21解析 :在 长 方体 中 ,作出几何图形 ,如图 ,则 B). AB点评 :折叠角公式 是立体几何中的重要 公式 ,有广泛的应用 ,由此 ,进一步 体现 了 “鳖 臑 ”的“原子几何体” 功能 . 1.(2011 年 大纲 高考 文科 试题 )已知 直 二面角 点 A ,l,C 为垂足 ,点 B ,l,D 为垂足 ,若,D=1,则 ) (A)2 (B) 3 (C) 2 (D)1 2.(1999 年第 十 届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题 )有两块直角三角板 ,一块三角板的两条直角边的长分别是 1, 3 ;另一块三角板的两条直角边的长分别是 3 , 3 且成 900 的二面角 ,则不重合的两个顶点的距离等于 . 3.(2011年 大纲 高考 理科 试题 )已知直二面角 点 A ,l,B ,l,若 ,D=1,则 D 到平面 距离等于 ( ) (A)32(B)33(C)36(D)1 4.(2006 年 全国 高考 文 科 试题 )如图 ,平面 平面 ,A ,B ,两平面 、 所成的角 分别为4和6,过 A、 B 分别作两平面交线 的垂线 ,垂足为 A 、 B ,若 2,则 =( ) (A)4 (B)6 (C)8 (D)9 5.(2010 年同济 大学 保送生考试 试题 )已知平面 ,点 A ,点 B ,平面、所成角分别为4、6,点 A、B 在平面、的交线 l 上的垂足分别为 线段 . 6.(2009 年全 国高中数学联赛安徽 初赛试题 )设平面 外一定点 P 到 的距离为 h, 上的三个动点 A、 B、 的距离分别为 a、 b、 c,并且 积的最大值为 (用 a、 b、 c、 h 表示 ). 7.(2008年 陕西 高考试题 )如图 , , =l,A ,B ,A,B到 a和 b,所 成的角分别是和 , ,内的射影分别是 m 和 n,若 ab