14_5042186_13.正方体中的四面体

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 正方体中的四面体 模型 解题法 之 二 因为存在 以 正方体 的 顶点 为顶点的 正 四面体 ,所以 ,可借助 正方体 模型 ,巧解正 四面体 问题 ,那么 ,以 正方体 的 顶点 为顶点的四面体 还有哪些类型？如何借助 正方体 模型 ,解决这些 四面体 问题？ 母题结构 :在正方体上任意选择 4个顶点 ,以这 4个顶点 为顶点的四面体的不同形状共有 种 . 母题 解 析 :以 正方体 个顶点 为顶点的四面体有 :正四 面 体 直角 四 面 体 “鳖臑” 体 : 斜 四面体 : 种 . 角四面体 子题类型 :(2006 年 四川 高考试题 )在三棱锥 ,三条棱 两互相垂直 ,且 B= 是 的中点 ,则 平面 成角的正切值是 . 解析 :设 B=OC=a,补形为正方体 面 平面 成的角 900- 00- 平面 成角的 正切值 =2 . 点评 :若四面体 三条棱 且面 则 称 四面体 等棱 直 角 四面体 ;等棱 直 角 四面体 是正方体的一个顶点及由该顶点出发的三条棱构成的 四面体 ;在 等 棱 直 角 四面体 面 顶点 面 三分之一 鳖臑”体 子题类型 :(1996 年第 七 届“希望杯”全国数学邀请赛高 二 试题 )在空间四边形 ,C DB=D,则 C 所成的角的正切值是 . 解析 :由 D 平面 B=D,故可 作正方 体 成的角 =E 所成的角 = 2 . 点评 :若四面体 个面均是直角三角形 ,且三条两两互相垂直 的 棱 长相等 ,则 称 四面体 等棱 “鳖 臑 ”体 ;等棱 “鳖 臑 ”体 是正方体的 两条异面且 垂直 的棱构成的 四面体 ;把 等棱 “鳖 臑 ”体 放置于 正方体 中 ,其中的位置关系就直观的 呈现出来了 ,从而也可 直观的 求解度 量 问题 . 四面体 子题类型 :(2006年江西高考试题 )如图 ,在三棱锥 侧面 的直角三角形 ,且 3 ,D=1,另一侧面 正三角形 . ( )求证 :( )求二面角 余弦值 ; ( )在线段 是否存在一点 E,使 面 300角？ 若存在 ,确定点 E 的位置 ;若不存在 ,请说明理由 . 解析 :由题知 C= 2 2 可将三棱锥 置到正方体中 ,且正方体的棱长为 1. ( )取 中点 O,则 O 面 ( )二面角 余弦值 = 积的比 =36; ( )假如在线段 ,使 00角 ,作 ,则 00,设 EH=x 3 x,CH=x,在 ,12+ 3 x)2 x=22 C= 2 :1. 点评 :若四面体 面 侧面 另一侧面 则 称 四面体 直角四面体 ;斜直角四面体 是正方体的 内接 四 面体 ,利用 正方体 模型 ,可妙解 斜直角四面体 问题 . 1.(1996 年 第 七 届“希望杯”全国数学邀请赛 高一 试题 )在一个正方体中取四个顶点作为一个四面体的顶点 ,在这样的一个四面体中 ,直角三角形最多有 ( ) (A)1 个 (B)2个 (C)3 个 (D)4 个 2.(2007 年安徽高考试题 )在正方体上任意选择 4 个顶点 ,它们可能是如下各种几何体的 4 个顶点 ,这些几何形体是 (写出所有正确结论的编号 ). 矩形 ;不是矩形的平行四边形 ;有三个面为等腰直角三角形 ,另一个面为等边三角形的四面体 ;每个面都是等边三角形的四面体 ;每个面都是直角三角形的四面体 . 3.(2004 年全国 高考试题 )正三棱 锥 的底面边长为 2,侧面均为直角三角形 ,则此三棱 锥 的体积为 ( ) (A)322(B) 2 (C)32(D)3244.(2004 年第 十 五 届“希望杯”全国数学邀请赛高 二 试题 )设正三棱锥底面的边长为 a,侧面组成直二面角 ,则该棱锥的体积等于 . 5.(2002 年第 十 三 届“希望杯”全国数学邀请赛高 二 试题 )在四面体 ,面 是以 A 为顶点的等腰直角三角形 ,且腰长为 作截面 面 将四面体的体积二等分 ,则面 面 夹角 的正切值 等于 . 6.(2005 年 天津 高考试题 )如图 ,面 00,且 C=BC=a,则异面直线 C 所成角 的正切值等于 . 7.(2005 年全 国高中数学联赛 试题 )四面体 体积为61,且满足 50,C+2,则 . 正方体 四面体 四个面均为 直角三角形 (D). 在正方体 四边形 ,故正确 ;四面体 足 ,故正确 ;四面体 ,故正确 ;四面体 足 ,故正确 ;不正确 命题正确的是 : . 由 正三棱 锥 的 侧面均为直角三角形 该 正三棱 锥 是直角四面体 ;又由 正三棱 锥 的底面边长为 2 正三棱 锥 的 侧棱长 = 2 三棱 锥 的体积 =61( 2 )3=C). 由 正三棱 锥 的 侧面组成直二面角 该 正三棱 锥 是直角四面体 ;又由 正三棱 锥 的底面边长为 a 正三棱 锥 的 侧棱长 = 22a 三棱 锥 的体积 =61(22a)3=242补形为正方体 ,由平 面 四面体的体积二等分 面 积二等分 F=22a