15_6424908_51.玩转代数方程思想.妙解一类解几试题

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 玩转代数方程思想 构造斜率型二次齐次方程巧解一类试题 解析几何的本质是用代数方法研究几何问题 ,尤其 是 方程 思想 在解 析几何中具有关键作用 ,因此 ,掌握并利用代数与方程的 思想 是解决 解 析几何 问题 的通法 ;构造斜率型二次齐次方程 ,使 代数 与 方程 的运用达到极致 ,可妙解一类解几试题 . 母题结构 :已知 点 M( 椭圆 G:222(ab0)上 ,不过点 M 的 直线 l:y=kx+m 与 椭圆 、 B 两 点 ,记斜率分别为 k1+( )(2 002 0202,)( )( 002 002 . 母题 解 析 :设 A(x1,B(x2,由 直线 AB:y=kx+m,则 k(m+1= 00 00 )()(;由222, 22020 b2(+a2(=2 b2(+a2(=2( b2(+a2(y =-2 b2(+a2(+ 00 022 (k(+ 00 022 (-k(y =0 a2(y0+m)(00 )2-2(0 0 k1+1 01 +02 02 = )( )(20020202 ,01 01 02 02 =- )( )(002002 ; 上述解法的基本程序是 :把 直线 AB:y=kx+m 转化为关于 (方程 :k(m+由此得 :1= 00 00 )()(;把曲线 G 的方程转化为关于 (方程 ,并且二次项不变 ,一次项乘以 00 00 )()(, 常 数项乘以 00 00 )()(2,即得关于 (二 次 齐次方程 ; 在 二 次 齐次方程 中除 (,得关于00 的 一元 二 次 方程 ,然后利用韦达定理求 k1+ 得 当 点 M 不 在 椭圆 G 上时 的 相关结论 ,也 可 得双曲线与抛物线中的相关结论 . 子题类型 :(2015 年 陕西 高考试题 )如图 ,椭圆 E:222(ab0)经过点 A(0, 且离心率为22.( )求椭圆 E 的方程 ; ( )经过点 (1,1),且斜率为 交于不同两点 P,Q(均异于点 A),证明 :直线 斜率之和为 2. 解析 :( )由 b=1,e=22122 椭圆 E:22x+; ( )设 P(x1,Q(x2,由 直线 PQ:y=k(1(k 2) y+1=1=2 )1( k 椭圆 E: (y+1)2- 4(y+1)=0 (y+1)2-4(y+1)2 )1( k 2k()2+ 11+221 =2. 点评 :构造斜率型二次齐次方程的关键是把 直线与曲线方程 均转化为关于 (方程 ,然后利用母题程序 构造 关于 (二次齐次方程 ;由该二次齐次方程可解决斜率之和与斜率之积的问题 . 子题类型 :(2012年 重庆 高考试题 )如图 ,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 上顶点为 A,左右焦点分别为 2,线段 1, 的直角三角形 . ( )求该椭圆的离心率 和标准方程 ; ( )过 l 交椭圆于 P,Q 两点 ,使 直线 l 的方程 . 解析 :( )设 椭圆 C:222(ab0),由 c=2b, 0 e=552,椭圆 C:202x+42y=1; ( )由 2,0),0),直线 l:y=k(x+2) y=k(4k 4=由 椭圆 C:0 (+5(16 =0 (+5-2=0 (52+3k2;由 21 k= 21 直线 l:y=21(x+2). 点评 :变式的基 本 特点是 :点 上 ;根本区别是 :当点 上时 ,曲线 程转化为关于 (方程 时 ,常数项为 0;当点 M 不在曲线 G 上时 ,曲线 G 的方程转化为关于 (方程 时 ,常数项不为 0. 子题类型 :(2004 年 北 京 高考试题 )如图 ,过抛物线 px(p0)上一定点 P(x0,)作两条直线分别交抛物线于 A(x1,B(x2,( )求该抛物线上纵坐标为2 的距离 ; ( )当 B 的斜 率存在且倾斜角互补时 ,求0 21 的值 ,并证明直线 斜率是非零常数 . 解析 :( )当 y=2x=8p,又抛物线 准线方程为 x=抛物线定义得 所求距离 =8p+2p=85p; ( )设 直线 AB:k(m(m 0) 1=m ()( 00 ;由 (2y0(0 (x- x0)m ()( 00 +2y0(m ()( 00 =0 (m+200 )2-2(p+0 +2;由 002)(2 ym =0 k=21 21 =212 yy p =0 21 =点评 :利用 构造斜率型二次齐次方程的 方法易得基本命题 :若点 M,A,B 在圆 锥 曲线 G 上 ,则直线 B 的斜率之和为0 的充要条件是直线 圆 锥 曲线 G 在点 M 处的切线斜率之和为 0. 1.(2013年 江 西 高考试题 )如图 ,椭圆 C:222(ab0)经过点 P(1,23),离心率 e=21, 直线 l 的方程为 x=4.( )求 椭圆 C 的方程 ; ( )经过右焦点 F 的任一弦 (不经过点 P),设直线 直线 l 相交于点 M, 记 B,斜率分别为 k1,k2,是否存在常数 ,使得 k1+k 3？若存 在 ,求 的值 ;若不存在 ;说明理由 . 2.(2011 年 江 苏 高考试题 )如图 ,在平面直角坐标系 ,M、 N 分别是椭圆42x+22y=1 的顶点 ,过坐标原点的直线交椭圆于 P、 A 两点 ,其中 P 在第一象限 ,过 P作 x 轴的垂线 ,垂足为 C,连接 并 延长交椭圆于点 B,设直线 斜率为 k. ( )当直线 分线段 ,求 k 的值 ; ( )当 k=2 时 ,求点 P 到直线 距离 d; ( )对任意 k0,求证 :3.(2004 年 湖北 高考试题 )直线 l:y= 与双曲线 C:2 的右支交于不同的两点 A、 B. ( )求实数 k 的取值范围 ; ( )是否存在实数 k,使得以线段 直径的圆经过双曲线 ？若存在 ,求出 k 的值 ;若不存在 ,说明理由 . 4.(2005 年 江西 高考试题 )如图 ,M 是抛物线上 y2=x 上的一点 ,动弦 别交 x 轴 于 A、 B 两点 , 且 B. ( )若 M 为定点 ,证明 :直线 ( )若 M 为动点 ,且 00,求 重心 G 的轨迹方程 . 5.(2007 年武汉 大学 保送生考试 试题 )如图 ,过抛物线 C:x 上一点 M(2,4)作倾斜率互补 的两条直线 ,分别与抛物线交于 A、 B 两点 . ( )求直线 斜率 ; ( )如果 A、 B 两点均在 x(y 0)上 ,求 积 的最大值 . 6.(2009 年 辽宁 高考试题 )已知 椭圆 C 过点 A(1,23),两个焦点为 (),(1,0).( )求椭圆 C 的方程 ; ( )E,上的两个动点 ,如果直线 证明 :直线 并求出这个定值 . ( )由21a+249b=1,e=22121 , 椭圆 C:42x+32y=1; ( )设 直线 AB:y=k( k(23 1=32k(;由椭圆 C:32 3(+4(+6(+12(0 3(+4(+6(32k(+12(32k(=0 4(1232123(3+4k)=0 k1+由 直线 AB:y=k( M(4,3k) k3=k1+ =2. ( )由 M(),N(0,- 2 ) 中点 K(22) k=2;( )当 k=2 时 ,A(34),P(32,34) C(32, 0) 直线 AB: d=322; ( )设 P(m,n),则 :,A(n),C(m,0) 直线 my=n( 2m(2mn=n( 1=mn )(2)( ;由椭圆 : (+2(+2m(4n(0 (+2(+(+2(mn(2(y =0 2(mx )2-(mx ;设 A(x1,B(x2, mx 11mx 22=( )由直线 l 过定点 (0,1),双曲线 C 的渐近线斜率 = 2 ,且当 l 与 C 只有一个交点时 ,k= 2 k ( 2 ); ( )由 F(c,0),c=26,直线 l:y= y=k( 1=1 )(ck 曲线 C:2 2(c(2=0 2(c(1 )(ck 1 )(ck =0 2-()2(2+4pc()2(0;由 12222)1(2 )1(2 ck 1 (2=0 5 6 k=566 ( 2 ),舍去 ). ( )设 M(x0,直线 EF:k(m(m 0),则 1=m ()( 00 ;由 y2=x (-(2y0(0 (y- -(m ()( 00 +2y0(m ()( 00 =0 (m+200 )2-(2)00 +k=0;由 B 0 2=0 k=定值 ; ( )设 G(x,y),M(t2,t),E(F(由 00 (y1+t)(y2+t)+1=0;由2221 21 yy =- y1+2t x=31(t2+31(3),y=31(t+y1+G 的轨迹方程 :x=92(y 0). ( )设 A(2B(2由 倾斜率互补 22 442112 44222 t1+2 12 = ( )(2(2 面 积 S=21|(24(24=4|(,注意到 :0,0,由 t1+2 0 1,令 t 0,1,则 (t1+1=3+t,|(2= (t