16_4256767_36.由对数不等式繁殖出来的数列不等式蘑菇群

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 由对数不等式繁殖出来的数列不等式蘑菇群 对 数不等式 繁殖数列不等式试 题 的 三种方 法 由对数不等式1+x) x 及其 加强 不等式 巳 繁殖出一类数列不等式的蘑菇群 ,高考必将由她继 续衍生 数列不等式试题 ,“会当凌绝顶 ,一览众山小” ,只要我们“居高临下”抓住其生成的方法 ,就能看透试题的本质 ,轻松拿下 . 母题结构 :( )当 x 0 时 ,22+x);( )当 0 x a 2)时 ,+x) 母题 解 析 :( )令 f(x)=+x) f (x)=22)2)(1( xx x 0 f(x)在 0,+ )上 递增 f(x) f(0)=0; ( )令 f(x)=+x)则 f (x)=22)(1( )2( f(x)在 0, 递减 f(x) f(0)=0. 子题类型 :(2005 年 重庆 高考试 题 )数列 足 且 =(1+21)an+n 1). ( )用数学归纳法证明 :2(n 2); ( )已知不等式 +x)0 成立 ,证明 :2,由 数学归纳法 知 ,2(n 2); ( )由 =(1+21)an+(1+21+21+解析 :( )由 f(0)=0,f (x)=( (1- x;若 0 f(x)f(0)=0;若21,则 f (x) 21(1k)ln(k+1) 1n+21n+ +1(1n)+21(11n+21n)+ +21(121n+ln(n+1)ln(n+2)- ln(n+1)+ +=点评 :先解决对 数不等式 ,再解决 数 列 不等式 是高考命制 对数不等式 生成 数 列 不等式 试题的一般模式 ,解决此类问题的关键是从第 ( )问中寻找解决第 ( )问的 对数不等式 ,一般情况下 ,参数取 最大值或最小值时 ,即为所 寻找 的 不等式 . 等式 子题类型 :(2015 年 广东 高考试题 )数列 足 : +nn,n N+. ( )求 ( )求数列 前 n 项和 ( )令 b1=a1,bn=(1+21+31+ +n1)an(n2 ),证明 :数列 前 n 项和 (+ 21+31+ +1+21+ 31+ + ( )讨论 f(x)的单调性 ; ( )设 ,=ln(),证明 :22其中 n 为大于 2 的整数 ,示不超过 最大整数 各项为正 ,且满足 a1=b(b0),1 n=2,3,4, . ( )证明 : ,对任意 b0,都有 n 2,有21S +31S + +11M？ 4.(2011 年“华约”自主招生 试题 )已知函数 f(x)=,f(1)=1,f(21)=32,令 1,=f( ( )求数列 通项公式 ; ( )证明 :xn5.(1984 年全国 高考试题 )设 a2,给定数列 其中 x1=a,=)1(22n=1,2, ),求证 : ( ) 且3,那 么 当 n34 ,必有 0 时 ,f(x) ( )f(x)的定义域为 ( ),由 f (x)=22)(1( )2( ; 当 ,即 a2 时 ,f(x)在 ()和 ( )上 递增 ,在 (0,递减 ; 当 ,即 a=2 时 ,f(x)在 ( )上 递增 ; 当 )=0 ln(x+1)22xx(x0);又由 ( )知 ,当 a=3 时 ,f(x)在(0,3)上 递减 f(x)2k+1)2222222k;=ln()1 n210=1024,故取 N=1024,可使当 nN 时 ,都有 1+21+31+ + +=ln(n+1)21S +31S + +11ln(n+1),又因 2ln(n+1)单调递增 ,无上界 ,所以不存在常数 M,满足不等式21S +31S + +11M. ( )由 f(1)=1,f(21)=32 a=b=1 =12n 11(1)111(1)1=(21 )12211 ( )因 xn +() +:a1=a2 成立 ;假设 ,则 =)1(221(112 ;再证 2成立 ;( )用数学归纳法证 :a1=a 3成立 ;假设 2+121k,则 =21(11 ,由 f (x)=e 1;由 ( ):f(xn)21;假设 xk要证 121k e 1e