16_4256780_53.以圆锥曲线的弦为直径圆的方程求法与应用VIP

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 以圆锥曲线的弦为直径圆的方程求法与应用 构造一元二次方程 ,合成圆的方程 求以直线与二次曲线的两个不同交点为直径两端的圆方程 是高考 的一个热点问题 ,通过构造一元二次方程 ,可合成该圆的方程 ;应用它 求该圆的方程 ,思路 清晰 ,步骤 简练 ,别具一格 . 母题结构 :设直线 l:y=kx+m(k 0)与圆锥 曲线 G:dx+ey+f=0 交 A、 B 两 点 ,求以线段 直径的圆的方程 . 母题 解 析 :由 y=kx+m 与 dx+ey+f=0 联立 ,消去 y 得 :(a+2d+ek)x+em+f=0 ;消去 x 得 :(a+ dk+y+ ;由 +即 得 以线段 直径的圆的方程 ;证明如下 :设 A(x1,B(x2,则x1, 的两根 x1+22 ,2 ;由 y1,的两根 y1+22 2 ,22 ; 又由 以线段 直径的圆 :(0 (a+a+2d+ek)x+(dk+y+em+f +. 子题类型 :(2004 年湖北高考试题 )直线 l:y= 与双曲线 C:2 的右支交于不同的两点 A、 B. ( )求实数 k 的取值范围 ; ( )是否存在实数 k,使得以线段 直径的圆经过双曲线 ？若存在 ,求出 k 的值 ;不存在 ,说明理由 . 解析 :( )设 A(x1,B(x2,将 y=代入 2得 (2;所以 ,直线 的右支交于不同的两点 A、 B 20, =4(20,x1+220,222k0 k 的取值范围 是 ( ); ( )将 y=代入 2消去 2,与 (2相加得 以线段 (22- k2),由右焦点 F(26,0)在圆上 5 6 k= ( ),或 k=566 ( ). 点评 :对 以圆锥曲线的弦为直径的圆过某点的问题 ,可用母题方法写出圆的方程 ,再把 某点 代入求解 . 子题类型 :(2010 年大纲卷 高考试题 )己知斜率为 1的直线 l 与双曲线 C:2222=1 (a0,b0)相交于 B、 D 两点 ,且 中点为 M(1,3).( )求 C 的离 心率 ; ( )设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F,|17,证明 :过 A、 B、 D 三点的圆与 x 轴相切 . 解析 :( )设 B(x1,D(x2,由 l:y=x+2,代入2222=1 得 :( x1+224ab a=2 e=2; ( )不妨设 -a,a,则 |2|a(x1+a+8;由 |17 5a +8=17 a=1 A(1,0),双曲线 C:3 将 y=x+2 代入 ,消去 y 得 : ;消去 x 得 :9=0 ;由 +得 :x2+=0,此即为 以线段 直径的圆的方程 ;又点 A 在此圆上 过 A、 B、 D 三点的圆与 x 轴相切 于点 A. 点评 :巧用 以圆锥曲线的弦为直径的圆 是母 题应 用 的精到之点 ,而 以圆锥曲线的弦为直径的圆 可直接写出 . 问题 子题类型 :(2000 年北京、安徽春招试题 )如图 ,设点 A 和 B 为抛物线 px(p0)上原点以外 的两个动点 ,己知 M 点 M 的轨迹方程 ,并说明它表示什么曲线 . 解析 :设直线 AB:x=ty+a(a 0),代入 去 y 得 :a+2x+ ;消去 4 ;由 +得 :x2+a+2,此即为 以线段 直径的圆的方程 ;由 原点 0 在此圆上 a=4p 直线 (4p,0);又由 点 去掉坐标原点 ),其方程为 (+p2(x2+0). 点评 :若 A、 B 是圆锥曲线 C 上的两点 ,对满足 直 的问题 ,均可 用 以圆锥曲线的弦为直径的圆 获得巧妙解决 . 1.(2004 年同济大学保送生考试数学试题 )设抛物线 y=x+4直线 y=x 有两个不同的交点 ,且交点总可以被一个半径为 1 的圆片所同时遮盖 ,试问 :实数 k 应满足什么条件？ 2.(2012年全国高中数学联赛福 建 预赛试 题 )已知 双曲线 C:22(a0,b0)的离心率 e= 3 ,其 左焦点 .( )求双曲线 C 的方程 ; ( )若过点 D(2,0)的直线 l 交双曲线 C 于 A、 B 两点 ,且以 ,求直线 方程 . 3.(2011年全国高中数学联赛贵州 预赛试 题 )如图所示 ,过双曲线 的中心 相垂直的射线 ,交双曲线于 A、 试求 :( )弦 的轨迹方程 ; ( )双曲线的中心 O 到直线 4.(2013 年全国高中数学联赛 四川 预赛试 题 )已知点 B(0,1)Q 为椭圆42x+ 上异于点 任意两点 ,且 )若点 B 在线段 的射影为 M,求 ( )求线段 中垂线 l在 由 y=x 与 y=x+4合 ,消去 y 得 :x+4, =(20 去 y+4 以 交点 为直径 端点 的圆 :x2+y+8 ()2+()2=22 022 1 5k 5+k 5) (7,5+223. ( )由焦点到渐近线的距离 =b b= 2 ,又由 e= 3 a=1 双曲线 C:; ( )设直线 l:x=,与双曲线 C:联立 ,并消去 (2=0,并消去 (2 以直径的圆 :(22x+8;由该 圆过坐标原点 O 2 t= 1 直线 AB:x= y+2. 设 A(x1,B(x2,直线 AB:y=kx+t,将直线 立 ,消去 (4;消去 (4 以 直径的圆 :(44;由 该 圆过坐标原点 O 3; ( )由圆心 P(24 244,设 点 P(x,y),则 x=24 y=244k k=t=4y (4 3(2 =4(+1 3(4=4(16x2+x 0);( )O 到直线 距离 d=1|232. 设 PQ:y=kx+m,与 联立 ,消去 y