18_6354388_11.乘1变换法的适用类型

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 乘 1 变换法的适用类型 基本 不等式 的 一个 应用 技 法 基本不等式的重要应用是求某式的最大 (小 )值 ,为此 ,需要一定的变换能力和技巧 ,其中 ,最常见的应用 技法是 乘 1 变换 法 ;乘 1 变换 法 适宜 于 解决 己知两式 ax+by,xc+yd(a,b,c,d,x,y0)中 ,其中一式为定值 ,求另一式的最小值问题 . 母题结构 :( )已知 a,b,c,d,m 为正常数 ,正实数满足 :ax+by=m,则xc+ ; ( )已知 a,b,c,d,m 为正常数 ,正实数满足 :xc+yd=m,则 ax+最小值是 ; 解 题 程序 :( )由 ax+by=m 1=m1(ax+xc+yd=m1(ax+xc+m1(ac+bd+m1(ac+2 =m )( ,当且仅当 x=y=时 ,等号成立 xc+)( ; ( )由xc+yd=m 1=m1(xc+ ax+by=m1(ax+xc+m1(ac+bd+m1(ac+ = m )( ,当且仅当 x=ad+y=ad+ ,等号成立 xc+)( ; ) 子题类型 :(2009 年天津高考试题 )设 a0,b0,若 3 是 3则1的最小值为 . 解析 :由 3a 3b=( 3 )2 a+b=11=(a+b)(1)=2+ba+4(当 a=b=21时 ,等号成立 )1的最小值为 4. 点 评 :乘 1变换法 适用的基本模型 ( ):已知 ax+by=m,求xc+寻找约束 (已知 )条件是解 本题 的 关键 . ) 子题类型 :(2012 年浙江 高考试题 )若正数 x,y 满足 x+3y=5 3x+4y 的最小值是 ( ) (A)524(B)528(C)5 (D)6 解析 :由 x+3y=51=51(x3+ 3x+4y=(3x+4y)51(x3+51(13+ C). 点评 :乘 1变换法适用的基本模型 ( ):已知xc+yd=m,求 ax+注意约束 (已知 )条件xc+yd=m dx+cy= 子题类型 :(2010 年全 国高中数学联赛贵州 初赛试题 )若直线 =0(a0,b0)和函数 y=x+2)+2(c0 且 c 1)的图象恒过同一个定点 ,则1的最小值为 . 解析 :由 y=x+2)+2(c0 且 c 1)点 A() 点 A()在直线 =0 上 a+2b=21=21(a+2b)(a1+21(3+21(3+2 2 ),当且仅当 a=2 2 -2,b=2- 2 时 ,等号成立 1的最小值为21(3+2 2 ). 点评 :本题 把 约束 (已知 )条件 “ 3a+2b=2” 隐藏 的较 深 ,变换 、 隐藏母 题 条件 是今后高考命题的方向 . 1.(2006 年陕西高考试题 )设 x,y 为正数 ,则 (x+y)(1)的最小值为 ( ) (A)15 (B)12 (C)9 (D)6 2.(2011 年 重庆 高考试题 )已知 a0,b0,a+b=2,则 y=a1+ ) (A)27(B)4 (C)29(D)5 3.(2007 年 全 国高中数学联赛四川 初赛试题 )设 a,b 为正实数 ,且 a+b=1,则1的最小值为 . 4.(2003 年上海交通大学保送生考试试题 )已知 x、 y R+,x+2y=1,则x2+ . 5.(2008 年全 国高中数学联赛四川 初赛试题 )已知正实数 x,x+2y=4,则1的最小值为 _. 6.(1995 年湖南高中数学夏令营试题 )己知 x、 y 为正实数 ,且 4x+y=5,则1的最小值是 ,这时 x= ,y= . 7.(1998 年湖南高中数学竞赛试题 )设 x、 y R+,且819=1,则 x+ . 8.(2007 年山东高考试题 )函数 y=a0,a 1)的图象恒过定点 A,若点 mx+()上 ,则1的最小值 为 . 9.(2007 年山东高考试题 )函数 y=x+3)-1(a0,a 1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+=0 上 ,其中 ,则1的最小值为 . 10.(2009 年全 国高中数学联赛河南 初赛试题 )设 0x1,a,b 都为大于零的常数 ,则1 22的最小值为 . 11.(2012年 第 二 十 三 届“希望杯”全国数 学邀请赛 (高一 )试 题 )若 a,b 是正实数 ,且 a+b=2,则a11+b11的最小值是 . 12.(2014年 重庆 高考试题 )若 a+4b)= a+ )(A)6+2 3 (B)7+2 3 (C)6+4 3 (D)7+4 3 由 (x+y)(1)=5+5+4=C). 由 y=a1+1(5+C). 由1=5+9. 由x2+(3+ 6+4 2 由1=41(3+41(3+2 2 ). 由1=51(5+4yx+59. 由 x+y=(x+y)(819)=117+198117+14 38 . 由 定点 A(1,1) m+n=1 最小值为 4. 由 定点 A(1) 2m+n=1 最小值为 8. 由