19_3501664_7.巧用四点共圆.构圆妙解向量模的范围

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 巧用四点共圆 解向量模的范围 一类向量模的范围 问题 的 统 一 解 法 我们知道对角互补的四边形是圆内接四边形 ,巧 用该结论 构圆 ,把一问题转化为圆中的问题 ,可妙解一类向量模的范围 ,构圆解题把向量“形”的特性运用到了极致 . 母题结构 :设向量 a,b,c 满足 :|a|=a,|b|=b,= ,= 则 |c|的最大值是 . 母题 解 析 :设 a,b,c,则由 = ,= , O、 A、 C、 B 四点共圆 ,设为圆 M,如图 ,则 |c|的最大值是 2r,其中 ,r 是圆 M 的半径 ;在 ,a2+ 2r=2r= |c|的最大值是 ;该结论的实质是圆中弦的最大值是圆的直径 ;由几何直观还可知 ,|c|a|,|b|,因此可得 |c|的取值范围 . 子题类型 :(2008 年浙江高考试题 )己知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量 ,若向量 c 满足 (0,则|c|的最大 值是 ( ) (A)1 (B)2 (C) 2 (D)22解析 :设 a,b,c,则 ,由 (0 O、 A、 C、 B 四 点共圆 ,设为 圆 M |c|的最大 值是 2r,其中 , 22 |c|的最大 值是 2 C). 点评 :本题 利 用 a b 和 (0,即 来隐含 O、 A、 C、 并巧妙设置 |c|的最大 值 =| 子题类型 :(2011年全国 大纲卷 高考试题 )设向量 a,b,a|=|b|=1,21,=600,则 |c|的最大值等于 ( ) (A)2 (B) 3 (C) 2 (D)1 解析 :设 a,b,c,由 21 =1200 200;又 由 =600 00 O、 A、 C、 B 四点共圆 ,设为 圆 M |c|的最大 值是 2r,其中 ,r 是 圆 M 的半径 ,2r=060 |c|的最大 值是 A). 点评 :本题利用 21,=600,即 200, 00,即 隐含 O、 A、 C、 高考命题专家 利用圆 来 命制该题的痕迹 明显 . 内 角构圆 子题类型 :(2011 年辽宁 高考试题 )若 a,b,c 均为单位向量 ,且 ,( 0,则 |a+最大值为 ( ) (A) 2 (B)1 (C) 2 (D)2 解析 :设 a,b,c,由 ,由 ( 0 点 C 在 外接圆 M 内 ;又 由 |=1 点 C 在以 O 为圆心 ,半径为 1 圆上 ;设 则 |a+| . 故选 (B). 点评 :本题 是母题生成的 一个绝佳试题 ,实质上 还可 得到 :|a+ 2 圆命题 可进行如 下两个方向的拓 展 :把待求向量的 终点限定在不在圆外或不在圆 内 ; 改变扩充共 圆条件 ,如模 相等的向 量等 . 1.(2008 年浙江高考试题 )(文 )己知 a 是平面内的单位向量 ,若向量 b 满足 b(0,则 |b|的取值范围是 . 2.(2010 年浙江高考试题 )已知平面向量 , ,( 0, ),满足 | |=1,且 与 夹角为 1200,则 | |的取值范围是 . 3.(2009 年全国 高考试题 )设 a,b,c 是单位向量 ,且 ,则 (最小值为 ( ) (A) (B) 2 (C) (D)1- 2 4.(2013 年 湖 南 高考试题 )已知 a,b 是单位向量 ,c 满足 |1,则 |c|的最大值为 ( ) (A) 2 (B) 2 (C) 2 +1 (D) 2 +2 5.(2013 年 湖南 高考试题 )已知 a,b 是单位向量 ,c 满足 |1,则 |c|的 的取值范围是 ( ) (A) 2 2 +1 (B) 2 2 +2 (C)1, 2 +1 (D)1, 2 +2 6.(2013 年 安徽江 南 十校联 考试题 )已知向量 a,b 满足 |a|=|b|=,且 (0,则 |最小值是 . 7.(2009年全 国高中数学联赛贵州 初赛试题 )已知向量 a,b,a|=|b|=2,|c|=1,(0,则 |取值范围是 . 8.(2014年全国高中数学联赛 四川 初 赛 试题 )已知向量 、 是平面内两个互相垂直的单位向量 ,且 (3 (4 =0,则 | |的最大值是 . 设 a,b,由 b(0 点 B 在以 直径的圆上 |b| 1 |b| 0,1. 设 , ,由 与 夹角为 1200 00 径 2r=06032 | | 2r= 332 | |的取值范围是 (0,332. 设 a,b,由 |a+b|= 2 (a+b)c+-(a+b)c 1-|a+b|c|=1- 2 D). 设 a,b,a+b,c,由 |= 2 ;由 |1 点 P 在以 半径 r=1 的圆上 |c|=| |+1= 2 +C). 设 a,b,a+b,c,由 |= 2 ;由 |1 点 P 在以 半径 r=1 的圆上 |c|=| |2 c|=| |+1= 2 +A). 设 a,b,c,中点为 D,中点为 M,由 |a|=|b|= 00,由 (0 (22=0 点 由 |2 | 3 | 3 /2 | 7 /2 |最小值是 |21 ( 7 - 3 ). 设 a,b,c,中点为 D,m;由 |a|=|b|=2,|c|=1 点 A,B 在 半径为 2 的 O 上 ,点 径为 1的 小 由 (0 00 CD=m;在 C m