19_3501675_7.巧用阿达玛积分不等式.妙证重要不等式

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 巧用 阿达玛积分不等式 要 不等式 重要 不等式 及其应用 证明不等式是高考的热点、重点和难点 ,实质上 ,许 多 不等式 与 定积分 有着天然的联系 ,因此 有独特的功 能 ;构造两个母题不等式如下 . 母题结构 :( )(阿达玛 积分不等式 ) 如果 函数 f(x)在 a,b上是凹函数 ,且 f(x)0,则2 )()( ba ( f(2; 如果 函数 f(x)在 a,b上是凸函数 ,且 f(x)0,则2 )()( 曲边梯形 梯形 面积 2 )()( (ba (f(2(2 )()( ba ( f(2;同理可证 ; ( ) 当 x 由 f(x) g(x) f(x)-g(x) 0 xa ()( 0 xa ( xa ( F(x)-F(a) G(x)-G(a) 0 ax ()(F(x) G(x);当 x a 时 ,由 f(x) g(x) f(x)-g(x) 0 ax ( ax ( F(a)-F(x) G(a)-G(x) F(x) G(x). 分 不等式 子题类型 :(2013 年 陕西 高考 理科 试题 )已知函数 f(x)=ex,x R. ( )若直线 y=与 f(x)的反函数的图像相切 ,求实数 k 的值 ; ( )设 x0,讨论曲线 y=f(x)与曲线 y=m0)公共点的个数 ; ( )设 曲线 y=h(x)与 y=m 恰有两个公共点 ,即 曲线 y=f(x)与 y= ( )设 A(a,f(a),B(b,f(b),作 ,由梯形 曲边梯形 2 )()( (b ba ( 2 )()( (f(b)-f(a)2 )()( ab )()(. 点评 :阿达玛积分不等式 是一个根本性的 不等式 ,由其可以产生许多重要的 不等式 . 子题类型 :(贝努利 不等式 )若 x x 0,p 1,求证 :(1+x)p1+解析 :当 x0 时 ,由 (1+x)p1+(1+x)p|1+以 ,只需证 :(1+x)p (1+ n(1+x)p (1+ x)1 成立 ;当 (1+x)p|0,求 证 :2ba ba 解析 :由 ab0 x=;而2ba ba 21ba 211 211xx|以 ,只需证 : (21 (11 )1( 2x,仅在 x=l 时取等号 ;又ba ba +n)m. 3.(2007 年 湖北 高考试题 )已知 m,n 为正整数 . ( )用数学归纳法证明 :当 x ,(1+x)m 1+( )对于 n 6,已知 (1n)数 p1,n N*. ( )证明 :当 x x 0 时 ,(1+x)p1+( )数列 足 a1=an+明 :an 5.(2011 年 湖 南 高考试题 )设函数 f(x)=a R), ( )讨论 f(x)的单调性 ; ( )若 f(x)有两个极值点 过点 A(x1,f(,B(x2,f(,的直线的斜率为 k,问 :是否存在 a,使得 k=2存在 ,求出 a 的值 ;若不存在 ,请说明理由 . 6.(2005 年 湖 南 高考试题 )已知函数 f(x)=g(x)=21bx,a 0. ( )若 b=2,且 h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间 ,求 a 的取值范围 ; ( )设函数 f(x)的图象 g(x)图象 、 Q,过线段 中点作 x 轴的垂线分别交 2于点 M、 N,证明 : 处的切线与 处的切线不平行 . ( )由 f(x)的反函数为 g(x)=g (x)= g(1)=1 切线方程 :y=x+1; ( )令 h(x)=f(x)-(21x2+x+1)= h (x)=h (x)=h x)=h (0)=0 h(x)在 R 上递增 ,又h(0)=0 曲线 y=f(x)与曲线 y=21x2+x+1 有唯一 公共点 (0,1); ( )设 A(a,f(a),B(b,f(b),M(2f(2),作 x 轴于 D,x 轴于 C,x 轴于 N, E,交 F,由矩形 f(2. ( )略 ;( )由 1 (1+m)1+m=1+n (1+m)n(1+n)m. ( )略 ;( )当 n 6,m n 时 ,由 (1n)m 1-3(1- 3m (1n) 当 n=1 时 ,已知 a1 假设当 n=k 时 ,ak则当 n=k+1 时 ,= ak+= +pc +p1(由 ak0 +pp1(pc 综上 ,an ( )f(x)的定义域为 (0,+ ),f (x)=21x();当 a 2时 ,f (x) 0 f(x)在 (0,+) 上单调递增 ;当 a2时 ,由 f (x)=0 42 42 f(x)在 (0, () 上单调递增 ,在 (x1,单调递减 ; ( )由 ( )知 ,a 21故不存在 a,使得 k=2( )略 ; ( )设 P(x1,Q(x2,A(),B(),由 h(x)=f(x)-g(x)=h (x)=f (x)