电子工程系数字电路课件数字电路1数字电路基础

1,电子技术,第一章 数字电路基础,数字电路部分,版权所有:冒晓莉 南京信息工程大学 电子工程系 参考书:阎石数字电子技术基础,2,第一章 数字电路基础,1.1 概述 1.2 逻辑代数中的三种基本运算 1.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 1.4 逻辑代数的基本定理 1.5 逻辑函数及其表示方法 1.6 逻辑函数的公式化简法 1.7 逻辑函数的卡诺图化简法 1.8 具有无关项的逻辑函数及其化简,3,1.1 概述,1.1.1 数字量和模拟量,电子电路中的信号,模拟量,数字量,时间连续的信号,时间和幅度都是离散的,例：正弦波信号、锯齿波信号等。,例：产品数量的统计、数字表盘的读数、数字电路信号等。,4,模拟量,数字量,5,模拟电路主要研究：输入、输出信号间的大小、相位、失真等方面的关系。主要采用电路分析方法，动态性能用微变等效电路分析。,在模拟电路中，晶体管一般工作在线性放大区；在数字电路中，三极管工作在开关状态，即工作在饱和区和截止区。,数字电路主要研究：电路输出、输入间的逻辑关系。主要的工具是逻辑代数，电路的功能用真值表、逻辑表达式及波形图表示。,模拟电路与数字电路比较,1.电路的特点,2.研究的内容,6,模拟电路研究的问题,基本电路元件:,基本模拟电路:,晶体三极管,场效应管,集成运算放大器,信号放大及运算 (信号放大、功率放大）信号处理（采样保持、电压比较、有源滤波）信号发生（正弦波发生器、三角波发生器、）,7,数字电路研究的问题,基本电路元件,基本数字电路,逻辑门电路,触发器,组合逻辑电路时序电路（寄存器、计数器、脉冲发生器、脉冲整形电路）A/D转换器、D/A转换器,8,1.1.2 数制和码制,1、十进制：,以十为基数的记数体制。,表示数的十个数码：,1、2、3、4、5、6、7、8、9、0,遵循逢十进一的规律。,157,=,一个十进制数数 N 可以表示成：,若在数字电路中采用十进制，必须要有十个电路状态与十个记数码相对应。这样将在技术上带来许多困难，而且很不经济。,一、数制:,9,2、二进制：,以二为基数的记数体制 。,表示数的两个数码：,0、1,遵循逢二进一的规律。,（1001）B =,= (9)D,二进制的优点：用电路的两个状态-开关来表示二进制数，数码的存储和传输简单、可靠。,二进制的缺点：位数较多，使用不便；不合人们的习惯，输入时将十进制转换成二进制，运算结果输出时再转换成十进制数。,10,3、十六进制和八进制,十六进制记数码：,0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15),(4E6)H=,4162+14 161+6 160,= (1254)D,说明：十六进制的一位对应二进制的四位。,(1) 十六进制与二进制之间的转换。,Hexadecimal：十六进制的 Decimal：十进制的 Binary：二进制的,11,(0101 1001)B=,027+1 26+0 25+1 24 +1 23+0 22+0 21+1 20D,=,(023+1 22+0 21+1 20) 161 +(1 23+0 22+0 21+1 20) 160D,= (59)H,每四位2进制数对应一位16进制数,(10011100101101001000)B=,从末位开始四位一组,(1001 1100 1011 0100 1000)B,= (9CB48)H,12,(2) 八进制与二进制之间的转换。,(10011100101101001000)O=,从末位开始三位一组,(10 011 100 101 101 001 000)B,=(2345510)O,八进制记数码：,0、1、2、3、4、5、6、7,说明：八进制的一位对应二进制的三位。,13,4、十进制与二进制之间的转换,两边除2，余第0位K0,商两边除2，余第1位K1,十进制与二进制之间的转换方法：可以用二除十进制数，余数是二进制数的第0位K0，然后依次用二除所得的商，余数依次是第1位K1 、第2位K2 、。,14,例：十进制数25转换成二进制数的转换过程：,(25)D=(11001)B,15,数字系统的信息,数值,文字符号,二进制代码,编码,为了分别表示N个字符，所需的二进制数的最小位数：,编码可以有多种，数字电路中所用的主要是二十进制码（BCD -Binary-Coded-Decimal码）。,二、码制:,16,BCD码用四位二进制数表示09十个数码。四位二进制数最多可以表示16个字符，因此，从16种表示中选十个来表示09十个字符，可以有多种情况。不同的表示法便形成了一种编码。这里主要介绍：,8421码,5421码,余3码,2421码,首先以十进制数为例，介绍权重的概念。,(3256)D=3103+ 2102+ 5101+ 6100,个位(D0)的权重为100 ，十位(D1)的权重为101 ， 百位(D2)的权重为102 ，千位(D3)的权重为103,17,十进制数 (N)D,二进制编码 (K3K2K1K0)B,(N)D= W3K3 +W2K2+W1K1+W0K0,W3W0为二进制各位的权重,8421码，就是指W3=8、 W3= 4、 W3= 2、 W3= 1。,用四位二进制数表示09十个数码，该四位二进制数的每一位也有权重。,2421码，就是指W3=2、 W3= 4、 W3= 2、 W3= 1。,5421码，就是指W3=5、 W3= 4、 W3= 2、 W3= 1。,18,二进制数,自然码,8421码,2421码,5421码,余三码,19,基本逻辑关系：与 ( and )、或 (or ) 非 ( not )。,1.2 逻辑代数中的三种基本运算,一、“与”逻辑,与逻辑：决定事件发生的各条件中，所有条件都具备，事件才会发生（成立）。,规定:开关合为逻辑“1”开关断为逻辑“0”灯亮为逻辑“1”灯灭为逻辑“0”,20,逻辑符号：,逻辑式：F=ABC,逻辑乘法 逻辑与,真值表,真值表特点:任0 则0, 全1则1,与逻辑运算规则：,0 0=0 0 1=0 1 0=0 1 1=1,21,二、 “或”逻辑,或逻辑：决定事件发生的各条件中，有一个或一个以上的条件具备，事件就会发生（成立）。,规定:开关合为逻辑“1”开关断为逻辑“0”灯亮为逻辑“1”灯灭为逻辑“0”,22,真值表,逻辑符号：,逻辑式：F=A+B+C,逻辑加法 逻辑或,真值表特点：任1 则1, 全0则0。,或逻辑运算规则:,0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1,23,三、 “非”逻辑,“非”逻辑：决定事件发生的条件只有一个，条件不具备时事件发生（成立），条件具备时事件不发生。,规定:开关合为逻辑“1”开关断为逻辑“0”灯亮为逻辑“1”灯灭为逻辑“0”,24,逻辑符号：,逻辑非 逻辑反,真值表特点:1则0, 0则1。,逻辑式：,运算规则：,25,四、几种常用的逻辑关系,“与”、“或”、“非”是三种基本的逻辑关系，任何其它的逻辑关系都可以以它们为基础表示。,与非：条件A、B、C都具备，则F 不发生。,其他几种常用的逻辑关系如下表：,26,或非：条件A、B、C任一具备，则F 不发生。,异或：条件A、B有一个具备，另一个不具备则F 发生。,同或：条件A、B相同，则F 发生。,27,基本逻辑关系小结,28,1.3 逻辑代数的基本公式和常用公式,数字电路要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑代数（布尔代数）。,在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个值（二值变量），即0和1，中间值没有意义。,0和1表示两个对立的逻辑状态。,例如：电位的低高（0表示低电位，1表示高电位）、开关的开合等。,29,1.3.1 基本公式,30,公式7和17为分配律,A(B+C)=A B+A C,A+B C=(A+B)(A+C),求证: （公式17） A+BC=(A+B)(A+C),证明:,右边 =(A+B)(A+C),=AA+AB+AC+BC ; 分配律,=A +A(B+C)+BC ; 结合律 , AA=A,=A(1+B+C)+BC ; 结合律,=A 1+BC ; 1+B+C=1,=A+BC ; A 1=1,=左边,31,1.3.2 若干常用公式,1.原变量的吸收：,A+AB=A,证明：,A+AB=A(1+B)=A1=A,利用运算规则可以对逻辑式进行化简。,例如：,吸收是指吸收多余（冗余）项，多余（冗余）因子被取消、去掉 被消化了。,长中含短，留下短。,长中含短，留下短。,32,2.反变量的吸收：,证明：,例如：,长中含反，去掉反。,33,3.混合变量的吸收：,证明：,例如：,正负相对，余全完。,34,4.,证明：,5.,证明：,6.,证明：,35,1.4 逻辑代数的基本定理,1.4.1 代入定理,在任何一个包含变量的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有的位置，则等式仍然成立。,例,36,可以用列真值表的方法证明：,德 摩根 (De Morgan)定理：,1.4.2 反演定理,37,反演定理内容：将函数式 F 中所有的,变量与常数均取反,（求反运算）,互补运算,1.运算顺序：先括号 再乘法 后加法。,2.不是一个变量上的反号不动。,注意:,用处：实现互补运算（求反运算）。,新表达式：F,显然：,(变换时，原函数运算的先后顺序不变),38,例1：,与或式,注意括号,注意 括号,39,例2：,与或式,反号不动,反号不动,40,1.4.3 对偶定理,对偶定理内容：将函数式 F 中所有的,常数取反,新表达式：F,作用：,若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。,例,1.3.1 基本公式中序号对应的公式可以用对偶定理解释。,41,1.5 逻辑函数及其表示方法,四种表示方法,逻辑代数式 (逻辑表示式, 逻辑函数式),逻辑电路图:,卡诺图,真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。,42,1.5.1 逻辑函数,输出与输入之间的一种逻辑关系。,1.5.2 逻辑函数的表示方法,一、真值表,将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。 n个变量可以有2n个输入状态。,列真值表的方法：一般按二进制的顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态。,43,二、逻辑函数式,逻辑代数式：把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式。也称为逻辑函数式，通常采用“与或”的形式。,例：,44,三、逻辑图,把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来，就构成了逻辑图。,F=AB+CD,45,四、逻辑函数四种表示方式的相互转换,1、逻辑电路图逻辑代数式,AB,46,2、真值表卡诺图,二变量卡诺图,真值表,47,3、真值表、卡诺图逻辑代数式,方法：将真值表或卡诺图中为1的项相加，写成 “与或式”。,48,1.5.3 逻辑函数的两种标准形式,一、最小项和最大项,1、最小项,最小项：构成逻辑函数的基本单元。对应于输入变 量的每一种组合。在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。,以三变量的逻辑函数为例：,变量赋值为1时用该变量表示；变量赋值为0时用该变量的反来表示。,49,可见输入变量的八种状态分别唯一地对应着八个最小项。,我们可以用编号来表示最小项，分别是m0m1m7。,50,(1) 若表达式中的乘积包含了所有变量的原变量或反变量，则这一项称为最小项。,最小项的特点：,(2) 当输入变量的赋值使某一个最小项等于1时，其他的最小项均等于0。,51,之所以称之为最小项，是因为该项已包含了所有的输入变量，不可能再分解。,例如：对于三变量的逻辑函数，如果某一项的变量数少于3个，则该项可继续分解；若变量数等于3个，则该项不能继续分解。,52,根据最小项的特点，从真值表可直接用最小项写出逻辑函数式。,例如：由左图所示三变量逻辑函数的真值表，可写出其逻辑函数式：,验证：将八种输入状态代入该表示式，均满足真值表中所列出的对应的输出状态。,53,逻辑相邻：若两个最小项只有一个变量以原、反区别，其他变量均相同，则称这两个最小项逻辑相邻。,54,逻辑相邻的项可以 合并，消去一个因子,55,2、最大项,最大项：在n变量逻辑函数中，若M为包含n个变量之和，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称M为该组变量的最大项。,可见输入变量的八种状态分别唯一地对应着八个最大项。,我们可以用编号来表示最小项，分别是M0M1M7。,56,最小项,最大项,57,二、逻辑函数的最小项之和的标准形式,利用 可以把任何一个逻辑函数化为最小项之和的标准形式。,例,58,三、逻辑函数的最大项之积的标准形式,任何一个逻辑函数都可以化为最大项之积的标准形式。,例,59,1.6 逻辑函数的公式化简法,1.6.1 逻辑函数的最简形式,（1）,（2）,经比较发现（1） 、（2）是同一个函数，但是 （2）式比（1）式要简单，这就有了最简形式。在与或逻辑函数式中，若其中包含的乘积项已经最少，而且每个乘积项所含的因子也不能再减少时，则称此逻辑函数式为最简形式。,我们把上式这种有几个乘积项相加的逻辑式称为与或式。,60,如果我们用最简与或式来实现此功能的话，我们需要与门和或门两种门。但有时我们只有与非门，那我们要把与或式化为与非与非形式。方法是先化简成最简的与或式，再用反演定理化简成与非与非形式。,如果想用与或非的形式来实现的话，可以把元函数的反函数化简成最简与或式，再加一个非，原函数就变成与或非的形式了。,61,1.6.2 常用的化简方法,公式化简（利用前面学的基本公式和常用公式）,卡诺图化简（1.7再讲）,最简与或式,乘积项的项数最少。,每个乘积项中变量个数最少。,例1：,62,例2：,反演,63,结论：异或门可以用4个与非门实现。,例3: 证明,; AB=A+B,; 展开,64,异或门可以用4个与非门实现：,65,例4：化简为最简逻辑代数式,66,例5：将Y化简为最简逻辑代数式。,;利用反演定理,67,例（书上的例题）,68,卡诺图的构成：将n个输入变量的全部最小项用小方块阵列图表示，并且将逻辑相邻的最小项放在相邻的几何位置上，所得到的阵列图就是n变量的卡诺图。,下面举例说明卡诺图的画法。,1.7 逻辑函数的卡诺图化简法,1.7.1 逻辑函数的卡诺图表示法,69,最小项：输入变量的每一种组合。,输入变量,例1：二输入变量卡诺图,卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入组合，并且把对应的输入组合注明在阵列图的上方和左方。,70,输入变量,例2：三输入变量卡诺图,注意：00与10逻辑相邻。,71,例3：四输入变量卡诺图,72,有时为了方便，用二进制对应的十进制表示单元格的编号。单元格的值用函数式表示。,F( A , B , C )=( 1 , 2 , 4 , 7 ),1,2,4,7单元取1，其它取0,73,四变量卡诺图单元格的编号:,由逻辑表达式转化成卡诺图的方法就是,先把原函数转化成最小项之和的标准形式,然后再把函数包括的最小项的单元格填上1,其余填上0即可.,74,1.7.2 用卡诺图化简逻辑函数,75,F=AB+BC,化简过程：,卡诺图适用于输入变量为3、4个的逻辑代数式的化简；化简过程比公式法简单直观。,76,利用卡诺图化简的规则,1. 相邻单元的个数是2n个，并组成矩形时，可以合并。,77,4. 每一个组合中的公因子构成一个“与”项，然后将所有“与”项相加，得最简“与或”表示式。,2. 先找面积尽量大的组合进行化简，利用吸收规则， 2n个相邻单元合并，可吸收掉n个变量。,3. 各最小项可以重复使用。但每一次新的组合，至少包含一个未使用过的项，直到所有为1的项都被使用后化简工作方算完成。,5. 注意利用无所谓状态，可以使结果大大简化。,吸收掉2个变量.,78,例1：化简,F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11, 12,13,14,15),79,例2：用卡诺图化简逻辑代数式,首先： 逻辑代数式卡诺图