广东省广州市南沙区2016年中考数学一模试卷含答案解析

第 1 页（共 29 页） 2016 年广东省广州市南沙区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，满分 30分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1在 2， 1， 5， 0这四个数中，最大的数是（ ） A 2 B 1 C 5 D 0 2下列计算正确的是（ ） A（ a+b） 2=a2+（ 2=（ 2= aa2=下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 4如图，已知 A（ 1， 3），将线段 顺时针旋转 90 后得到 ，则 的长度是（ ） A B 3 C 2 D 1 5如图，一个透明的玻璃正方体表面嵌有一根黑 色的铁丝这根铁丝在正方体俯视图中的形状是（ ） A B C D 6如图所示，三角形纸片中，有一个角为 60 ，剪去这个角后，得到一个四边形，则 1+ 2的度数为（ ） 第 2 页（共 29 页） A 120 B 180 C 240 D 300 7已知点 P（ a 1， a+2）在平面直角坐标系的第二象限内，则 ） A B C D 8如图，在 知 B，则下列等式成立的是（ ） A = B = C = D = 9如图， O 的切线， A、 B 是切点，点 C 是劣弧 的一个动点，若 10 ，则 ） A 55 B 30 C 35 D 40 10在平面直角坐标系中，第一个正方形 2， 0），点 0， 4）延长 x 轴于点 第二个正方形 长 2，作第三个正方形 ，按这样的规律进行下去，第 2016个正方形的 面积为（ ） 第 3 页（共 29 页） A 20 （ ） 4030 B 20 （ ） 4032 C 20 （ ） 2016 D 20 （ ） 2015 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，满分 18分） 11地球上的海洋面积约为 361000000科学 记数法可表示为 12如图，在菱形 0 ，则 B= 度 13如图，在 0 ， ， 2，则 14如图，已知圆锥的底面半径 该圆锥的侧面积为 15刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（ a， b）进入其中时，会得到一个新的实数： a2+b 1，例如把（ 3， 2）放入其中，就会得到 32+（ 2） 1=6现将实数对（ m， 2m）放入其中，得到实数 2，则 m= 16如图，点 P（ 3a， a）是反比例函 y= （ k 0）与 O 的一个交点，图中阴影部分的面积为 10 ， 第 4 页（共 29 页） 则反比例函数的解析式为 三、 解答题（本大题共 9小题，满分 102分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17分解因式： 28 18如图， 足为点 E （ 1）用尺规作图作 足为 F（保留作图痕迹）； （ 2）求证： 19设 A= ， B= （ 1）求 的差； （ 2）若 的值相等，求 20如图， 足为点 C，交 ，点 （ 1）若 2 ，求 度数； （ 2）若 ， ，求 21某学校举办一项小制作评比活动，对初一年级 6 个班的作品件数进行统计，绘制成如图所示的统计图已知从左到右各矩形的高度比为 2： 3： 4： 6： 4： 1，其中三班的件数是 8 第 5 页（共 29 页） 请你回答： （ 1）本次活动共有 件作品 参赛； （ 2）经评比，四班和六班分别有 10件和 2件作品获奖，那么你认为这两个班中哪个班获奖率较高？为什么？ （ 3）小制作评比结束后，组委会评出了 4 件优秀作品 A、 B、 C、 D现决定从这 4 件作品中随机选出两件进行全校展示，请用树状图或列表法求出刚好展示作品 B、 22已知购买 1个足球和 1 个篮球共需 130元，购买 2个足球和 3个篮球共需 340元 （ 1）求每个足球和每个篮球的售价； （ 2）如果某校计划购买这两种球共 54 个，总费用不超过 4000元，问最多可买多少个篮球？ 23已知反比例函数 y= （ a 为常数）的图象经过点 B（ 4， 2） （ 1）求 （ 2）如图，过点 B 作直线 函数 y= 的图象交于点 A，与 x 轴交于点 C，且 点 F ，求线段 长 24已知，在 ， C过 A 点的直线 a 从与边 合的位置开始绕点 A 按顺时针方向旋转角 ，直线 C 边于点 P（点 、点 N 始终在直线 的上方），且 N，连接 （ 1）当 0 时， 如图 a，当 =45 时， ； 如图 b，当 45 时， 中的结论是否发生变化？说明理由； 第 6 页（共 29 页） （ 2）如图 c，当 90 时，请直接写出 必证明 25如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y= x2+bx+、 0， 3）， 左侧， 3， 0）点 在直线 上方 （ 1）求这个二次函数的表达式 （ 2）连接 把 到四边形 ，那么是否存在点 P，使四边形 为菱形？若存在，请求出此时点 不存在，请说明理由 （ 3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 面积最大，并求出此时点 P 的坐标和四边形 第 7 页（共 29 页） 2016 年广东省广州市南沙区中考数学一模试卷 参考答案与试题解 析 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，满分 30分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1在 2， 1， 5， 0这四个数中，最大的数是（ ） A 2 B 1 C 5 D 0 【考点】有理数大小比较 【分析】根据有理数大小比较的法则： 正数都大于 0； 负数都小于 0； 正数大于一切负数进行比较即可 【解答】解：在 2， 1， 5， 0这四个数中， 大小顺序为： 2 0 1 5， 所以最大的数是 5 故选 C 【点评】本题主要考查了有理数的大小的比较，解题的关键利用熟练掌握有理数的大小 比较法则，属于基础题 2下列计算正确的是（ ） A（ a+b） 2=a2+（ 2=（ 2= a a2=考点】完全平方公式；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 【专题】计算题 【分析】 A、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断； B、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断； C、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断； D、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断 【解答】解： A、原式 =ab+本选项错误； B、原式 =选项错误； C、原式 =选项错误； D、原式 =选项正确 第 8 页（共 29 页） 故选 D 【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，去括号与添括号，以及同底数幂的除法，熟练掌握公式及法则是解本题的关键 3下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形；轴对称图形 【分析】依据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义回答即可 【解答】解： A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故 C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故 故选： D 【点评】本题主要考查的是轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的特点是解题的关键 4如图，已知 A（ 1， 3），将线段 顺时针旋转 90 后得到 ，则 的长度是（ ） A B 3 C 2 D 1 【考点】旋转的性质；坐标与图形性质 【专题】计算题 【分析】先利用勾股定理计算出 后根据旋转的性质即可得到 的长度 【解答】解： 1， 3）， = ， 第 9 页（共 29 页） 线段 顺时针旋转 90 后得到 ， 故选 A 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等 5如图，一个透明的玻璃正方体表面嵌有一根黑色的铁丝这根铁丝在正方体俯视图中的形状是（ ） A B C D 【考点】简单组合体的三视图 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案 【解答】解；从上面看得到的图形是 故选： A 【点评】本题考查了间的按组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图 6如图所示，三角形纸片中，有一个角为 60 ，剪去这个角后，得到一个四边形，则 1+ 2的度数为（ ） A 120 B 180 C 240 D 300 【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理 【分析】三角形纸片中，剪去其中一个 60 的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于 360即可求得 1+ 2的度数 【解答】解： A=60 ， 第 10 页（共 29 页） B+ C=180 50=120 四边形的内角和等于 360 ， 1 +2=360 120=240 故选 C 【点评】本题考查的 是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和公式是解答此题的关键 7已知点 P（ a 1， a+2）在平面直角坐标系的第二象限内，则 ） A B C D 【考点】在数轴上表示不等式的解集；点的坐标 【分析】根据第二象限内点的特征，列出不等式组，求得 a 的取值范围，然后在数轴上分别表示出a 的取值范围 【解答】解： 点 P（ a 1， a+2）在平面直角坐标系的第二象限内， 则有 解得 2 a 1 故选 C 【点评】在数轴上表示不等式的解集时，大于向右，小于向左，有等于号的画实心原点，没有等于号的画空心圆圈第二象限的点横坐标为 0，纵坐标 0 8如图，在 知 B，则下列等式成立的是（ ） 第 11 页（共 29 页） A = B = C = D = 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】首先证 明 根据相似三角形的性质：对应边成比例可得答案 【解答】解： A= A， B， 故选： B 【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，关键是掌握判断三角形相似的方法和相似三角形的性质 9如图， O 的切线， A、 B 是切点，点 C 是劣弧 的一个动点，若 10 ，则 ） A 55 B 30 C 35 D 40 【考点】切线的性质 【分析】首先在优弧 ，连接 圆的内接四边形的性质与圆周角定理，可求得 后由 得 而求得答案 【解答】解：在优弧 ，连接 10 ， D=180 0 ， D=140 ， 第 12 页（共 29 页） 0 ， P=360 0 故选 D 【点评】此题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质注意准确作出辅助线是解此题的关键 10在平面直角坐标系中，第一个正方形 2， 0），点 0， 4）延长 x 轴于点 第二个正方形 长 2，作第三个正方形 ，按这样的规律进行下去，第 2016个正方形的面积为（ ） A 20 （ ） 4030 B 20 （ ） 4032 C 20 （ ） 2016 D 20 （ ） 2015 【考点】正方形的性质；坐标与图形性质 【专题】规律型 【分析】先求出正方形 边长和面积，再求出第一个正方形 面积，得出规律， 根据规律即可求出第 2016个正方形的面积 【解答】解： 点 2， 0），点 0， 4）， ， 0 ， D= ， 0 ， 第 13 页（共 29 页） 四边形 0 ， S 正方形 =20， 0 ， 0 ， ，即 ， ， ， 正方形 =20 ，第 第 2016个正方形的面积 故选 A 【点评】本题考查了正方形的性质以及坐标与图形性质；通过求出正方形 正方形 面积得出规律是解决问题的关键 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，满分 18分） 11地球上的海洋面积约为 361000000科学记数法可表示为 108 【考点】科学记数法 表示较大的数 【分析】科学记数法的表示形式为 a 10中 1 |a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 数点移动了多少位， 原数绝对值 1时， 原数的绝对值 1时， 【解答】解：将 361 000 000 用科学记数法表示为 108 故答案为 108 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10中 1 |a|10， 示时关键要正确确定 12如图，在菱形 0 ，则 B= 120 度 第 14 页（共 29 页） 【考点】菱 形的性质 【分析】根据菱形的性质得 分 0 ，即 0 ，然后利用两直线平行，同旁内角互补求 【解答】解：连接 四边形 0 ， 0 ， 80 ， 20 故答案为 120 【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱 形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 13如图，在 0 ， ， 2，则 9 【考点】解直角三角形 第 15 页（共 29 页） 【专题】计算题；解直角三角形及其应用 【分析】根据题意，利用同角的余角相等得到 A，进而得到 用锐角三角函数定义求出 长即可 【解答】解： 在 ， 0 ， 0 ， A=90 ， A， ， 在 2， = ， 则 ， 故答案为： 9 【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键 14 如图，已知圆锥的底面半径 该圆锥的侧面积为 15 【考点】圆锥的计算 【分析】利用勾股定理可求得圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积 =底面周长 母线长 2 【解答】解：底面半径 勾股定理知，母线 面周长 =6侧面面积 = 6 5=15 故答案为： 15 【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了勾股定 理，圆的周长公式和扇形面积公式求解 15刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（ a， b）进入其中时，会得到一个新的实数： a2+b 1，例如把（ 3， 2）放入其中，就会得到 32+（ 2） 1=6现将实数对（ m， 2m）放入其中，得到实数 2，则 m= 3或 1 第 16 页（共 29 页） 【考点】解一元二次方程 【专题】压轴题；新定义 【分析】根据题意，把实数对（ m， 2m）代入 a2+b 1=2中，得到一个一元二次方程，利用因式分解法可求出 【解答】解：把实数对（ m， 2m）代入 a2+b 1=2中得 2m 1=2 移项得 2m 3=0 因式分解得（ m 3）（ m+1） =0 解得 m=3或 1 故答案为： 3或 1 【点评】根据题意，把实数对（ m， 2m）代入 a2+b 1=2中，并进行因式分解，再利用积为 0的特点解出方程的根 16如图，点 P（ 3a， a）是反比例函 y= （ k 0）与 O 的一个交点，图中阴影部分的面积为 10 ，则反比例函数的解析式为 y= 【考点】反比例函数图象的对称性 【专题】计算题 【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的 ，即可求得圆的半径，再根据 及在圆上，即可求得 【解答】解：设圆的半径是 r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得： r 2=10 解得： r=2 点 P（ 3a， a）是反比例函 y= （ k 0）与 3a2=k 第 17 页（共 29 页） =r （ 2 ） 2=4 k=3 4=12， 则反比例函数的解析式是： y= 故答案是： y= 【点评】本题主要考查了反比例函数图象的对称性，正确根据对称性求得圆的半径是解题的关键 三、解答题（本大题共 9小题，满分 102分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17分解因式： 28 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【专题】因式分解 【分析】先提取公因式 3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解： 28=2（ 4） =2（ x+2）（ x 2） 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提 取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止 18如图， 足为点 E （ 1）用尺规作图作 足为 F（保留作图痕迹）； （ 2）求证： 【考点】作图 复杂作图；全等三角形的判定；平行四边形的性质 【分析】（ 1）利用基本作图（过直线外一点作直线的垂线）作 ； （ 2）先利用平行四边形的性质得到 B= D， D，然后根据 “可判 断 【解答】（ 1）解：如图， 所作； 第 18 页（共 29 页） （ 2）证明： 四边形 平行四边形， B= D， D， 0 ， 在 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形 的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了全等三角形的判断与平行四边形的性质 19设 A= ， B= （ 1）求 的差； （ 2）若 的值相等，求 【考点】解分式方程；分式的加减法 【分析】（ 1）首先通分，然后利用同分母的分式的加减法则求解； （ 2）根据 两个式子的值相等，即可列方程求解 【解答】解：（ 1） A B= = 第 19 页（共 29 页） = = （ 2） A=B 去分母，得 2（ x+1） =x 去括号，得 2x+2=x 移项、合并同类项，得 x= 2 经检验 x=2是原方程的解 【点评】本题考查了分式的加减以及分式方程的解法，解分式方程时一定要注意检验 20如图， 足为点 C，交 ，点 （ 1）若 2 ，求 度数； （ 2）若 ， ，求 【考点】圆周角定理；垂径定理；解直角三角形 【分析】（ 1）连接 据垂径定理得出 = ，故可得出 2 ，再由圆周角定理即可得出结论； （ 2）根据 ， 可得出 0 ，故 0 ，由此得出 度数，进而可得出结论 【解答】解：（ 1）连接 = ， 2 ， 第 20 页（共 29 页） 6 ； （ 2） ， ， 0 ， 0 ， 0 ， 【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键 21某学校举办一项小制作评比活动，对初一年级 6 个班的作品件数进行统计，绘制成如图所示的统计图已知从左到右各矩形的高度比为 2： 3： 4： 6： 4： 1，其中三班的件数是 8 请你回答： （ 1）本次活动共有 40 件作品参赛； （ 2）经评比，四班和六班分别有 10件和 2件作品获奖，那么你认为这两个班中哪个班获奖率较高？为什么？ （ 3）小制作评比结束后，组委会评出了 4 件优秀作品 A、 B、 C、 D现决定从这 4 件作品中随机选出两件进行全校展示，请用树状图或列表法求出刚好展示作品 B、 【考点】列表法与树状图法；条形统计图 第 21 页（共 29 页） 【分析】（ 1）由题意得：本次活动共有参赛作品： 8 ； （ 2）由（ 1）可求得四班和六班的作品，然后求得获奖率，即可求得答案； （ 3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好展示作品 B、 利用概率公式即可求得答案 【解答】解：（ 1）根据题意得： 8 =40（件）； 答：本次活动共有 40 件作品参赛； 故答案为： 40； （ 2） 四班有作品： 40 =12（件），六班有作品： 40 =2（件）， 四班的获奖率为： = ，六班的获奖率为： 1； 1， 六班的获奖率较高； （ 3）画树状图如下： 由树状图可知，所有等可能的结果为 12 种，其中刚好是（ B， D）的有 2种， 刚好展示作品 B、 P= = 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图的知识用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比 22已知购买 1个足球和 1 个篮球共需 130元，购买 2个足球和 3个篮球共需 340元 （ 1）求每个足球和每个篮球的售价； （ 2）如果某校计划购买这两种球共 54 个，总费用不超过 4000元，问最多可买多少个篮球？ 【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用 【分析】（ 1）设每个篮球 x 元，每个足球 据： 1个足球费用 +1个篮球费用 =130元， 2 第 22 页（共 29 页） 个足球费用 +3个篮球费用 =340元，列方程组求解可得； （ 2）设买 购买（ 54 m）个足球，根据：篮球总费用 +足球的总费用 4000，列不等式求解可得 【解答】解：（ 1）设每个篮球 个足球 由题意得， ， 解得： ， 答：每个篮球 80 元，每个足球 50 元； （ 2）设买 购买（ 54 m）个足球， 由题意得， 80m+50（ 54 m） 4000， 解得： m ， 3， 答：最多可以买 43个篮球 【点评】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用，根据题意找到相等关系与不等关系是解方程组或不等式解题的关键 23已知反比例函数 y= （ a 为常数）的图象经过点 B（ 4， 2） （ 1）求 （ 2）如图，过点 B 作直线 函数 y= 的图象交于点 A，与 x 轴交于点 C，且 点 F ，求线段 长 【考点】反比例函数综合题 【分析】（ 1）由反比例函数 y= （ 图象经过点 B（ 4， 2），直接利用待定系数法求解即可求得答案； 第 23 页（共 29 页） （ 2）首先分别过点 A、 B作 足分别为点 D、 E，易得 可求得 可求得答案 【解答】解：（ 1） 图象过点 B（ 4， 2），代入 y= ， 2= ， 解得： a= 12； （ 2） a= 12， 反比例函数解析式为 ， 分别过点 A、 B作 足分别为点 D、 E， ， ， ， 即 ， 把 y=8代入 ， 得 x= 1 A（ 1， 8）， 设直线 y=kx+b， 把 A（ 1， 8）， B（ 4， 2）代入解析式得， ， 解得： ， 直线 y=2x+10， 当 y=0时， 2x+10=0， 解得： x= 5， C（ 5， 0）， 第 24 页（共 29 页） ， ， = ， 解得： 【点评】此题属于反比例函数综合题考查了待定系数求函数解析式以及相似三角形的判定与性质注意准确作出辅助线是 解此题的关键 24已知，在 ， C过 A 点的直线 a 从与边 合的位置开始绕点 A 按顺时针方向旋转角 ，直线 C 边于点 P（点 、点 N 始终在直线 的上方），且 N，连接 （ 1）当 0 时， 如图 a，当 =45 时， 45 ； 如图 b，当 45 时， 中的结论是否发生变化？说明理由； （ 2）如图 c，当 90 时，请直接写出 必证明 【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形 第 25 页（共 29 页） 【专题】几何综合题；压轴题 【分析】（ 1） 证明四边形 据正方形的对角线平分一组对角线即可求解； 根据等腰直角三角形的性质可得 后证明 似，根据相似三角形对应边成比例可得 = ，再根据两边对应成比例夹角相等可 得 似，然后根据相似三角形对应角相等可得 而得解； （ 2）根据等腰三角形的两底角相等求出 后证明 据相似三角形对应边成比例可得 = ，再根据两边对应成比例夹角相等可得 似，然后根据相似三角形对应角相等可