基于rat 变换的线性调频信号检测技术研究

毕业设计（论文）题目：基于 RAT 变换的线性调频信号检测技术研究 学 院： 信息与电子学院 专 业： XXXXXXXXXXXX 班 级： XXXXX 姓 名： XXXX 指导教师： XXXXXX 北 京 理 工 大 学 本 科 生 毕 业 设 计 （ 论 文 ）I摘 要线性调频（LFM）信号是一种广泛使用在雷达、语音、声纳等领域的信号。所以 LFM 信号的参数估计问题，长期以来为人们所重视，作了广泛深入的研究。由于线性调频信号是一种非平稳信号，它的参数估计问题较一般的信号复杂，现有的分析方法多基于时频平面的二维分析，普遍比较复杂，相对于现有的硬件条件来说，很难做到实时处理。所以寻找快速简便且性能优越的处理方法的需要十分迫切。本文主要介绍了 Radon-Ambiguity 变换（RAT ）的定义和基本性质，结合解线调技术验证了一种基于 RAT 的线性调频 LFM 信号检测与参数估计方法，该方法能用较少的计算量完成对 LFM 信号的检测与参数估计。为解决多分量条件下 LFM 信号分量之间交叉项的影响，基于逐次消去思想，提出了一种基于 RAT 的多分量 LFM 信号检测与参数估计算法，它可以有效地解决强度相差较大的多分量 LFM 信号的检测和参数估计问题。仿真实验结果验证了该算法的有效性。关键词：线性调频信号；时频分析；Radon-Ambiguity 变换北 京 理 工 大 学 本 科 生 毕 业 设 计 （ 论 文 ）IIAbstractLinear frequency modulated ( LFM ) signal is a kind of signal widely used in radar, sonar and other fields.Therefore parameter estimation of LFM signals is deeply researched worldwide. As the non-stationary feature of LFM signals, parameters are harder to detect than stationary signals. Methods used now are based on two-dimension search in time-frequency plane which are always complex. Its urgent to find simple and effective algorithm with low computational complexity.This paper mainly introduces the Radon-ambiguity transform ( RAT ) definition and the basic properties, it combines dechirp technique based on RAT linear frequency modulated LFM signal detection and parameter estimation method, the method can use less computation to complete LFM signal detection and parameter estimation. In order to solve the multi component under the conditions of LFM signal component between the effects of cross terms, based on the ideas of the successive elimination, put forward a kind of RAT-based multicomponent LFM signal detection and parameter estimation algorithm, which can effectively solve the detection and parameter estimation problem of multi component LFM signal with large amplitude range. The simulation experiment results show the effectiveness of the algorithm.Keywords: linear frequency modulation signal; time-frequency analysis; Radon-Ambiguity transform北 京 理 工 大 学 本 科 生 毕 业 设 计 （ 论 文 ）I目 录第 1 章 引 言 .11.1 应用背景 .11.1.1 发展历程 .21.1.2 RADON 变换相关应用 31.2 非平稳信号分析理论 41.2.1 LFM 信号介绍 .41.2.2 时频分析法 .51.2.3 Gabor 变换 61.2.4 模糊函数 .8第 2 章 RADON-WIGNER 变换原理 .92.1 WIGNER-VILLE 分布 92.1.1 单分量 LFM 信号的 Wigner-Ville 分布 92.1.2 Wigner 分布中的交叉项 .112.2RADON-WIGNER 变换定义 .112.2.1 Radon 变换定义 .112.2.2 Radon-Wigner 变换定义 142.3 RADON-WIGNER 变换性质 162.3.1 基本性质 162.3.2 运算法则 20第 3 章 基于 RAT 变换的 LFM 信号检测原理 .243.1 概述 .243.1.1Radon 变换 243.1.2 Radon-Ambiguity 变换(RAT) .243.2 基于 RAT 变换的多分量 LFM 信号检测算法 253.3 RAT 变换法检测 CHIRP 信号并估计调频率 26第 4 章 基于 RAT 的线性调频信号检测与参数估计仿真 .28北 京 理 工 大 学 本 科 生 毕 业 设 计 （ 论 文 ）II4.1 MATLAB 相关背景 .284.1.1 发展历史 .284.1.2 基本功能 .284.1.3 基本应用 .294.2 仿真程序 .304.3 仿真结果 .334.4 仿真结果分析 .37第 5 章 总结 .38致 谢 .39参考文献 .40附 录 .42北 京 理 工 大 学 本 科 生 毕 业 设 计 （ 论 文 ）1第 1 章 引 言1.1 应用背景1.1.1 发展历程线性调频（LFM）信号是一种广泛使用在雷达、语音、声纳等领域的信号。在雷达系统中，作为大时宽带宽积的扩频信号，LFM 信号可以在获得大的时间分辨率的同时获得大的距离分辨率。另一方面，在语音、医学等很多领域，很多信号本身就具有线性调频信号的特征，比如鸟的鸣叫声、脑电波信号等。特别是在雷达领域里，线性调频雷达信号是一种成熟的低截获概率雷达信号，这种信号很好地解决了探测距离和距离分辨率之间的矛盾。但由于线性调频信号是一种非平稳信号，这种信号在短时间内，信号频率变化很大，它的参数估计问题较一般的信号复杂，因此也得到了国内外广泛的研究。一种传统的、并可以得到很高精度的渐进无偏估计方法是极大似然估计法。这种方法抗噪能力强，但是计算量极大，随着采样精度的提高，计算量急剧变大，无法满足实际需要。现有的参数估计方法大都基于时频二维平面的参数估计，在时频平面上，线性调频信号是一条直线。最简单的时频分析方法是短时傅立叶变换，这种技术可以使用快速算法，计算量小，但是受到加窗影响，分辨率不高且抗干扰能力强。这种时频分析中，最常用的是 Wigner-Ville 分布，线性调频信号在这种分布中具有最好的时频聚集性。但是，由于 Wigner-Ville 变换是一种双线性变换，当探测多线性调频信号时，各信号之间会产生交叉项，这给下一步的信号处理带来了很大的困难。另外其他的时频分布，如模糊函数等也因其特有的性质越来越得到人们的重视。1966 年，Cohen 对多种时频分布进行了概括，将 Wigner-Ville 变成了 Cohen 类中的一种特例，而不同时频分布之间仅仅是核函数的不同。由于线性调频信号在时频平面上是一条直线，所以参数估计变成了时频平面上对直线的探测。这些方法主要有 Radon 变换，Hough 变换等。但是这些变换由于要在二维空间进行搜索，计算量仍然很大。于是寻找计算量小的快速算法变得十分迫切。线性调频信号(Linear Frequency Modulated,LFM)作为一种典型的非平稳信号而且北 京 理 工 大 学 本 科 生 毕 业 设 计 （ 论 文 ）2具有大的时间-频带积, 被广泛用于各种信息系统。从电子战和电子干扰的角度看,为解决作用距离和距离分辨率的矛盾以及提高信号的隐蔽性。通常采用 LFM 信号。那么对于线性调频信号的检测和参数估计,便成为电子战研究的重点 ,目前常用的 LFM信号检测与估计方法有:线性时频表示和双线性时频表示。其代表分别为短时傅里叶变换、Gabor 展开、小波变换、分数阶傅里叶变换和 Cohen 类时频分布、Affine 类时频分布等,但这些方法还存在一些缺陷。基于此,文中在分析相关解线调,Wigner-Ville 分布和 Radon 变换基础上提出了 Radon-Ambiguity(RAT)变换结合快速解线调的新算法,能够在低信噪比条件下对信号进行检测,提高了 LFM 信号检测和参数估计的速度和精度。Radon 变换是 J.Radon 于 1917 年提出的。在 Fourier 变换及它们对应的卷积可以快速计算之前，Radon 变换的计算几乎没有引起人们的兴趣。现在，Radon 变换已成为医学成像和其他许多遥感成像等的主要工具而受到广泛重视。1962 年，P.Hough 又从图像特征检测的角度提出了 Hough 变换。由于以直线图行为特征的 Hough 变换与 Radon 变换相当，所以在有些文献里，也称 Radon-Wigner 变换为 Wigner-Hough 变换。1.1.2 Radon 变换相关应用两 维 情 况 下 Radon 变 换 大 致 可 以 这 样 理 解 ： 一 个 平 面 内 沿 不 同 的 直 线 对f（ x， y） 做 线 积 分 ， 得 到 的 像 F(d,alfa)就 是 函 数 f 的 Radon 变 换 。 也 就 是 说 ，平 面 （ d， alfa） 的 每 个 点 的 像 函 数 值 对 应 了 原 始 函 数 的 某 个 线 积 分 值 。 一 个 更直 观 的 理 解 是 ， 假 设 你 的 手 指 被 一 个 很 强 的 平 行 光 源 透 射 ， 你 迎 着 光 源 看 到 的 手指 图 像 就 是 手 指 的 光 衰 减 系 数 的 三 维 Radon 变 换 在 给 定 方 向 的 时 候 的 值 ， 一 个 最 简 单 而 直 接 的 应 用 就 是 拿 来 检 测 图 像 里 面 含 有 的 直 线 成 分 ， 很 显 然 地 ，任 何 直 线 都 会 导 致 Radon 像 在 该 直 线 对 应 （ d， alfa） 处 的 极 值 。 具 体 的 CT 断 层 影 像 重 建 算 法 当 中 其 实 没 怎 么 用 到 Radon 变 换 ， 或 者 说Radon 变 换 仅 仅 只 有 一 点 点 理 论 上 的 意 义 。 原 因 是 ： CT 机 做 扫 描 ： 球 管 发 出X-ray， 经 过 人 体 ， 被 吸 收 一 部 分 ， 进 入 检 测 器 队 列 显 然 检 测 器 读 数 就 是 人 体 的 x-ray 吸 收 系 数 对 相 应 路 径 的 线 积 分 ， 所 以 这 样 转 一 圈 下 来 再 把 所 有 的 检 测 器 读 数北 京 理 工 大 学 本 科 生 毕 业 设 计 （ 论 文 ）3值 按 照 （ d， alfa） 的 方 式 排 列 一 下 就 算 完 成 了 某 个 被 检 测 截 面 的 Radon 变 换 了 ，这 个 过 程 是 人 体 和 X-rayscaner 一 起 完 成 的 ， 显 然 不 干 软 件 什 么 事 。 接 下 来 ， 照理 说 是 要 靠 计 算 机 把 获 得 的 数 据 做 一 个 逆 Radon 变 换 ， 就 能 得 到 被 检 测 截 面 的X-ray 吸 收 系 数 的 分 布 图 像 了 。 CT 的 图 像 其 实 就 是 一 个 吸 收 系 数 的 图 ， 类 似 的B 超 或 者 声 纳 之 类 的 图 像 是 大 致 是 一 个 弹 性 模 量 的 图 。 有 这 样 一 个 事 实 ： 把 某 个 角 度 坐 标 alfa 对 应 的 一 “条 ”Radon 值 作 一 个fourier 变 换 ， 得 到 的 就 是 整 个 原 始 被 检 测 截 面 的 二 维 fourier 像 在 某 条 直 线 上的 值 如 果 把 所 有 角 度 的 Radon 值 作 一 维 Fourier 变 换 ， 然 后 按 照 合 适 的 角 度（ alfa） 经 过 原 点 把 这 些 一 维 fourier 像 值 放 在 频 域 平 面 上 ， 就 得 到 了 整 个 二 维fourier 像 。 这 个 其 实 直 观 上 很 容 易 想 象 其 合 理 性 ， 还 是 以 手 指 头 为 例 对 着 光 源看 ， 从 左 至 右 ， 透 光 率 不 同 产 生 明 暗 的 变 化 ， 亮 暗 本 身 是 沿 前 后 方 向 的 积 分 结 果决 定 ， 但 是 相 邻 的 亮 暗 变 化 却 反 应 了 整 个 手 指 截 面 的 从 左 至 右 这 个 方 向 上 的 频 域信 息 ， 看 到 的 细 节 越 多 ， 频 域 的 高 频 分 量 越 多 。 以 上 关 于 CT 其 实 是 过 分 简 化 的 描 述 ， 只 能 提 供 一 个 大 致 的 原 理 。 实 际 情 况会 有 些 不 同 ， 首 先 检 测 器 读 数 是 有 限 空 间 的 ， 这 就 是 相 当 于 理 想 的 投 影 函 数 乘 了一 个 窗 函 数 ， 在 频 域 内 窗 函 数 会 “扩 散 ”所 以 他 们 频 域 做 卷 积 的 结 果 是 频 域 的 扩展 。 也 可 以 说 成 是 ， 对 于 非 周 期 函 数 的 fourier 级 数 在 边 界 的 间 断 处 只 能 是 平 均收 敛 ， “平 均 ”的 结 果 就 是 在 光 滑 的 地 方 拟 合 的 很 好 ， 在 间 断 点 处 发 生 振 荡 。 工 程中 管 这 个 叫 做 吉 布 斯 （ Gibbs） 效 应 ， 它 告 诉 我 们 ： 用 有 限 项 级 数 的 和 去 表 示 一个 函 数 ， 随 着 项 数 的 增 加 ， 振 荡 发 生 的 位 置 会 越 来 越 接 近 间 断 点 ， 但 是 它 的 摆 幅不 变 另 外 ， 检 测 器 只 能 读 出 空 间 上 分 立 的 数 值 ， 所 谓 的 取 样 过 程 就 是 投 影 函 数 乘一 个 迪 拉 克 函 数 组 成 的 序 列 而 迪 拉 克 序 列 变 换 到 频 域 仍 然 是 一 个 迪 拉 克 序 列 ， 只是 周 期 变 成 了 1/L。 投 影 和 取 样 序 列 相 乘 在 频 域 就 是 卷 积 ， 出 来 的 结 果 就 是 具 有了 周 期 频 谱 ， 显 然 可 用 的 只 能 是 原 点 所 在 的 一 个 周 期 内 的 数 据 。 当 L 越 来 越 小的 时 候 ， 频 谱 周 期 越 来 越 大 ， 空 间 分 辨 率 越 来 越 高 。 当 L 为 有 限 的 时 候 ， 分 辨率 如 果 用 频 率 来 表 示 的 话 ， 从 原 点 开 始 算 ， 由 于 周 期 性 缘 故 显 然 最 高 到 1/2L处 。 设 想 一 间 黑 屋 子 ， 唯 一 的 光 源 是 一 个 可 调 节 频 率 的 频 闪 光 源 ， 一 台 电 风 扇 。假 定 光 源 闪 烁 频 率 为 w， 显 然 理 论 上 能 够 检 测 到 的 风 扇 转 速 u 将 允 许 加 上 任 意整 数 个 w。 比 方 说 ， 每 秒 亮 一 下 ， 你 看 到 了 风 扇 转 动 了 1/4 圈 ， 那 么 你 可 以 认北 京 理 工 大 学 本 科 生 毕 业 设 计 （ 论 文 ）4为 风 扇 每 秒 转 动 1/4 圈 ， 但 也 可 以 是 5/4 圈 ， 9/4 圈 .也 可 以 是 -3/4 圈 ， -7/4圈 .原 因 就 是 前 面 说 的 ， 用 一 个 脉 冲 序 列 去 做 取 样 ， 必 然 会 得 到 周 期 性 的 频 谱 。接 下 来 ， 当 光 源 的 闪 烁 频 率 和 风 扇 的 转 速 相 等 的 时 候 ， 你 将 看 到 风 扇 是 停 止 的 ，当 光 源 频 率 高 于 风 扇 转 速 的 两 倍 时 ， 你 才 能 看 到 风 扇 正 常 的 转 动 ， 如 果 光 源 频 率介 于 风 扇 转 速 一 倍 和 两 倍 之 间 ， 那 你 会 看 到 风 扇 倒 着 转 了 。 这 里 的 情 况 被 称 为 频谱 混 叠 。 此 类 现 象 生 活 中 常 遇 到 。 另 外 ， 函 数 变 换 本 身 还 带 来 了 坐 标 平 移 一 类 的问 题 。 实 际 当 中 用 的 最 多 的 是 一 种 叫 做 滤 波 反 投 影 的 算 法 来 实 现 断 层 重 建 ， 说 穿了 关 键 就 针 对 以 上 一 些 问 题 设 计 合 理 的 滤 波 器 。1.2 非平稳信号分析理论1.2.1 LFM 信号介绍 LFM 信号的复数表示为(1-1)()=()2(+122)其中 A(t)表示信号的包络。 为矩形窗。 是在 t 时刻信号的() 2(+122)相位。f 表示信号的初始频率， k 表示调频率，也就是单位时间内频率的变化量。对相位作微分，可以得到信号在 t 时刻的频率为(1-2)=+ , 22可以看到，信号的瞬时频率成线性不断提高。信号带宽为(1-3)B=fT 时宽带宽积 D 为(1-4)=2对信号加上噪声后(1-5)()=()+()=()2(+122)+() 由上可以得到 LFM 信号的频谱具有以下特点：北 京 理 工 大 学 本 科 生 毕 业 设 计 （ 论 文 ）5第一：具有近似矩形的幅频特性，时宽带宽乘积（BT）值越大，其幅频特性越接近矩形。第二：具有平方律的相频特性现代信号处理中多使用离散时间信号处理，将 LFM 信号的离散形式如下： (1-6)()=()+()=2(1+1212)+()1.2.2 时频分析法线性调频信号属于非平稳信号，最直接的研究方法就是采用时频分布。事实上，在已有的线性调频信号的研究方法中，大部分都或者是利用时频分布来进行分析，或者是以时频分布为基础，或者以其时频分布的最终表现为目的和依据的。同时，利用线性调频信号的特有规律，还可以有针对性地采用时频分布的方法对其进行分析研究。这些方法随着时频分布研究的发展而不断改进和完善。非平稳信号分析的研究工作最早始于上世纪 40 年代，有很多方法可以得到时频表示，其中最直接的方法就是假设信号在小的时间段内近似平稳，然后在每个时间段内用傅立叶变换分析信号的局部功率谱。这种方法就是众所周知的短时傅立叶变换，在很长时间内成了非平稳信号分析的一种标准和有力的工具。该方法的主要缺陷是受不确定性的影响，不能同时得到好的时间分辨率和好的频率分辨率。随后受到量子力学中类似方法的启发，Gabor 和 Ville 分别提出了著名的 Gabor 变换和 Wigner-Ville 分布，为时频分析理论的发展奠定了基础。接着 Page和 Rihaczek 分别提出了 Page 分布和 Rihaczek 分布。1966 年，Cohen 利用特征函数和算子理论将各种形式的时频表示方法之间的关系做了研究，指出包括短时傅立叶变换谱图在内，所有的二次型分布都可以通过对 WVD 的时频二维卷积获得，因此将它们统称为 Cohen 类时频分布，通过改变不同的核函数，可以达到减少或消除交叉项干扰，满足若干数学性质的目的。1.2.3 Gabor 变换Gabor 变换是 D.Gabor 1946 年提出的。由于经典 Fourier 变换只能反映信号的整北 京 理 工 大 学 本 科 生 毕 业 设 计 （ 论 文 ）6体特性（时域，频域） 。另外，要求信号满足平稳条件。由式 可知，要用 Fourier 变换研究时域信号频谱特性，必dxeffi)()(须要获得时域中的全部信息；另外，信号在某时刻的一个小的邻域内发生变化，那么信号的整个频谱都要受到影响，而频谱的变化从根本上来说无法标定发生变化的时间位置和发生变化的剧烈程度。也就是说，Fourier 变换对信号的齐性不敏感。不能给出在各个局部时间范围内部频谱上的谱信息描述。然而在实际应用中齐性正是我们所关心的信号局部范围内的特性。如，音乐，语言信号等。即：局部化时间分析，图形边缘检，地震勘探反射波的位置等信息极重要。为此，D.Gabor1946 年在他的论文中提出了一种新的变换方法 Gabor 变换。设函数 f 为具体的高斯函数，且 ，则 Gabor 变换定义为)(2RLf(1-7)(,)=+- ()*(-)-其中， ，是高斯函数，称为窗函数。其中 a0,b0. ()=12(-24)是一个时间局部化的“窗函数”。其中，参数 b 用于平行移动窗口，以便于覆btga盖整个时域。对参数 b 积分，则有(1-8) RfdbaGf ),(),(信号的重构表达式为(1-9)dbetgtf tiaf)(),;(21)(Gabor 取 g(t)为一个高斯函数有两个原因：一是高斯函数的 Fourier 变换仍为高斯函数，这使得 Fourier 逆变换也是用窗函数局部化，同时体现了频域的局部化；二是Gabor 变换是最优的窗口 Fourier 变换。其意义在于 Gabor 变换出现之后，才有了真正意义上的时间频率分析。即 Gabor 变换可以达到时频局部化的目的：它能够在整体上提供信号的全部信息而又能提供在任一局部时间内信号变化剧烈程度的信息。简言之，可以同时提供时域和频域局部化的信息。经理论推导可以得出：高斯窗函数条件下的窗口宽度与高度，且积为一固定值。北 京 理 工 大 学 本 科 生 毕 业 设 计 （ 论 文 ）7(1-10)2221, ,41, aawbgHGaab 矩形时间频率窗：宽为 ，高 。2由此，可以看出 Gabor 变换的局限性： 时间频率的宽度对所有频率是固定不变的。实际要求是：窗口的大小应随频率而变化，频率高窗口应愈小，这才符合实际问题中的高频信号的分辨率应比低频信号的分辨率要低。1.2.4 模糊函数时频分布是对信号的双线性变换 作关于变量 的 Fourier 变换，)2()(*tzt 如 Wigner-Ville 分布，如果对该双线性变换关于时间 t 作 Fourier 反变换，则可得到另一种二维时频分布函数(1-19)dtetztAjz 2*)()2(),(称为模糊函数，式中 是 s(t)的解析信号。t瞬时相关函数(1-20)2()(),(*tzttkzt 为时间， 为时延。可见，模糊函数可以视为瞬时相关函数关于 的 Fourier 反t变换 (1-21),(zA),(1tkfzt对比模糊函数和 Wigner-Ville 分布知，它们都是双线性变换信号或瞬时相关函数的某种线性变换，后者变换到时频平面，表示能量分布，称为能量域；而前),(tkz者则变换到时延频偏平面，表示相关，称为相关域。可以证明，Wigner-Ville 分布和模糊函数是一对 Fourier 变换对：(1-22)deAftWftjzz )(2),(),(模糊函数具有以下性质：(1)时移：模糊函数的模对时移不敏感，即有北 京 理 工 大 学 本 科 生 毕 业 设 计 （ 论 文 ）8(1-23)0 20 ),(),()() tjzzeAtzt (2)频移：模糊函数的模对频移不敏感(1-24) 00 22 ),(),()( fjzztfjezt(3) 滤波：令 ，则duhtz)(1-25)duAAhzz ),(),),( (4) 调制：对于调制信号 ，其模糊函数为 (tmt(1-26)dzz ),(),),(类似地，可以定义互模糊函数。北 京 理 工 大 学 本 科 生 毕 业 设 计 （ 论 文 ）9第 2 章 Radon-Wigner 变换原理用 Wigner-Ville 分 布 研 究 单 分 量 LFM 信 号 是 十 分 有 利 的 。 然 而 ， 如 果LFM 信 号 存 在 多 个 分 量 时 （ 实 际 信 号 常 如 此 ， 同 时 存 在 多 个 目 标 ） ， 分 量 之 间的 交 叉 项 就 会 使 时 频 平 面 变 得 模 糊 不 清 ， 特 别 是 在 信 噪 比 不 高 的 场 合 ， 甚 至 难于 发 现 各 个 LFM 信 号 分 量 。 虽 然 使 用 核 函 数 可 对 Wigner-Ville 分 布 交 叉 项 起到 平 滑 抑 制 作 用 ， 但 在 对 交 叉 项 抑 制 的 同 时 ， 信 号 项 的 时 频 聚 集 性 也 会 有 所 下降 ； 核 函 数 应 根 据 它 所 作 用 的 信 号 形 式 及 处 理 的 目 的 进 行 选 择 。 由 于 理 想LFM 信 号 的 Wigner-Ville 分 布 为 直 线 型 冲 激 函 数 ， 有 限 长 度 的 LFM 信 号 的Wigner-Ville 分 布 为 背 鳍 状 ， 所 以 在 对 其 Wigner-Ville 分 布 的 时 频 平 面 沿 相 应直 线 作 积 分 平 滑 ， 是 一 种 理 想 选 择 。 本 章 讨 论 的 Radon-Wigner 变 换 基 于 此 而提 出 的 。 它 对 信 号 的 Wigner-Ville 分 布 的 时 频 平 面 作 直 线 积 分 投 影 的 Radon变 换 ， 统 称 对 信 号 作 Radon-Wigner 变 换 。2.1 Wigner-Ville 分布2.1.1 单分量 LFM 信号的 Wigner-Ville 分布Wigner 分布是 Cohen 类时频分布最重要的成员，当 Cohen 类分布的核函数为 ( , ) = 1 时，就简化为 Wigner-Ville 分布，Wigner-Ville 分布可以看成信号能量的自相关，其定义为：(2-1)(,)=+(+12)(+12)Wigner-Ville 分布也可以用信号频谱 X ( w) 表示北 京 理 工 大 学 本 科 生 毕 业 设 计 （ 论 文 ）10(2-2)(,)=12+(+12)(12)对 LFM 信号，设一个单分量信号为 ，它的 Wigner-Ville 分()=2+122布推导如下：(2-3)(,)=22(22)可以看到，单分量信号的 Wigner-Ville 分布是一个冲击函数，Wigner-Ville 分布对线性调频信号具有最理想的时频聚集性。在时频平面表现为一条直线，信号在时间轴的截距为信号起始频率；直线斜率为 k，是信号调频率。但在实际中，积分区间不可能为无限长，WVD 将呈现背鳍状，聚集性有一定的下降。Wigner-Ville 具 有 很 多 优 良 的 数 学 性 质 , 这 些 分 布 特 性 对 于 非 平 稳 信 号 的分 析 十 分 有 用 ， 具 有 很 重 要 的 意 义 ：1) 实 值 性Wigner-Ville 分 布 WVD (t , w) 是 t 和 w 的 实 函 数 : (2-4) (,) ,2) 时 移 和 频 移 不 变 性时 移 不 变 性 ：若 ， 则()=(0) (,)=(0,)频 移 不 变 性 ：若 ， 则()=()0 (,)=(,0)3) 时 间 和 频 率 边 缘 特 性Wigner-Ville 分 布 满 足 时 间 边 缘 特 性 ：(2-5)频 率 边 缘 特 性 为 ：(2-6)4) 时 频 伸 缩 性(2-7)6) 乘积性(2-8)北 京 理 工 大 学 本 科 生 毕 业 设 计 （ 论 文 ）117) 瞬时频率性(2-9)8) 群延迟性(2-10)Wigner-Ville 分布满足许多优良的时频分布数学特性，具有非常好的信号时频聚集性，并且计算简单。因此，在许多应用场合，它是一种常用的非平稳信号分析工具。但是它却不满足正定条件，虽然满足实值性，可是有负值出现，这并不符合概率意义上的能量联合分布是正值的要求。2.1.2 Wigner 分布中的交叉项虽然 Wigner-Ville 分布具有最好的时频聚集性，但当信号中有多个分量时，不同分量之间会产生相互作用，产生不需要的干扰，这就是交叉项。讨论最简单的两信号分量情况：设有两个 LFM 信号， 。这 ()=1()+2()个二分量信号的 Wigner-Ville 分布具有以下形式(2-11)可以看到，二分量的 Wigner-Villy 分布产生了四项，其中两项为对应的单分量信号的 Wigner-Ville 分布，另外两项是两信号之间产生的结果，就是交叉项。交叉项的产生与人们对时频分布的理解有出入，虽然它在信号处理中也有一定作用，但它影响了信号时变谱规律的分辨性能和可解释性。所以人们宁可以牺牲一定的分辨率为代价，也要想办法来消除它。北 京 理 工 大 学 本 科 生 毕 业 设 计 （ 论 文 ）122.2 Radon-Wigner 变换定义2.2.1 Radon 变换定义Radon-Wigner 变 换 是 一 种 直 线 积 分 的 投 影 变 换 。 作 为 直 线 积 分 变 换 ， 在Wigner-Ville 分 布 的 性 质 时 已 经 碰 到 过 ， 就 是 Wigner-Ville 分 布 的 边 缘 积 分 ，若 信 号 z（ t） 的 Wigner-Ville 分 布 以 表 示 则 两 种 边 缘 积 分 的 公 式 分 别 为(,)(2-12)+(,)=()=|()|2(2-13)12+(,)=|()|2及 对 不 用 的 w 值 平 行 于 t 轴 的 积 分 ， 其 边 缘 积 分 为 信 号 的 功 率 谱 ； 对 不 同的 t 值 平 行 于 w 轴 的 积 分 ， 其 边 缘 积 分 为 信 号 的 瞬 时 功 率 。如 图 所 示 将 原 直 角 坐 标 旋 转 a 角 得 到 新 的 直 角 坐 标 （ u， v） ， 以 不 同 的u 值 平 行 于 v 轴 积 分 ， 所 得 结 果 即 为 Radon 变 换 。图 2-1 Radon 变换的几何关系北 京 理 工 大 学 本 科 生 毕 业 设 计 （ 论 文 ）13由 图 可 以 看 出 ， Radon 变 换 实 际 上 相 当 于 广 义 的 边 缘 积 分 ， 也 相 当 一 种 投影 积 分 （ 对 u 积 分 投 影 ） 。为 在 一 般 意 义 上 讨 论 Radon 变 换 ， 设 在 二 维 平 面 （ t， w） 有 一 二 维 函 数（ 如 密 度 函 数 ） f（ t， w） ， 则 其 Radon 变 换 可 写 为(2-14)()=线 (,) 利 用 三 角 运 算 ， 容 易 得 出 （ t， w） 与 （ u， v） 两 平 面 坐 标 之 间 的 关 系 为(2-15)=cossin=sincos将 这 一 关 系 式 带 入 后 ， 得 到(2-16)()=线 (cossin,sincos)Radon 变 换 P（ u） 对 一 定 的 转 角 a 是 u 的 函 数 （ 相 当 PQ 线 平 移 ） 。 对 不同 的 a 值 ， P（ u） 的 函 数 值 是 变 化 的 ， 即 他 是 u 和 a 的 二 维 函 数 ， 故 我 们 用 符号 P（ u， a） 表 示 f（ t， w） 的 Radon 变 换 。 进 一 步 的 ， 如 果 R 表 示 Radon变 换 算 子 ， 则 上 式 可 换 写 成(,)=(,)= 线 (cossin,sincos)(2-17)=+ +(,)()最 后 一 个 等 式 中 积 分 坐 标 以 （ u ,v ） 表 示 ， 并 以 u =u 为 PQ 线 在 该 坐 标 系 的 表 示 式 。 Radon 变 换 更 多 用 于 医 学 图 像 等 的 图 像 重 构 ， 下 面 作 一 简 单 介 绍 。设 一 图 像 的 平 面 二 维 函 数 为 f（ t， w） ， 则 其 二 维 Fourier 变 换 为(2-18)(1,2)=+ +(,)(1+2)容 易 看 出 ， 若 能 设 法 获 得 谱 函 数 ， 便 不 难 通 过 Fourier 变 换 反 变(1,2)换 求 出 原 函 数 f（ t， w） 。 先 看 平 面 中 的 一 条 过 原 点 ， 倾 角 为 a 的 直 线(1,2)上 的 函 数 值 。(1,2)北 京 理 工 大 学 本 科 生 毕 业 设 计 （ 论 文 ）14图 2-2 倾角为 的函数 (1,2)这 时 ， 而 上 式 可 写 成1=cos，2=sin(2-19)(1,2)=+ +(,)(cos+sin)将 积 分 的 平 面 由 （ t， w） 转 换 到 （ u， v） ， 上 式 变 为(2-20)(1,2)=+ +(cossin,sincos)式 中 的 中 括 弧 内 的 项 实 际 上 就 是 u 为 某 一 定 值 时 原 式 的 积 分 Pa（ u） ， 因 此 上式 可 简 写 成(2-21)(1,2)=+()这 就 是 说 ， 可 由 原 函 数 倾 角 为 a 的 Radon 变 换 Pa（ u） 通 过 (1，2)Fourier 变 换 求 得 。 将 倾 角 a 从 0 度 变 到 180 度 ， 则 可 得 到 整 个 平 面的 值 ， 不 过 得 出 的 是 其 极 坐 标 形 式 。 在 实 际 应 用 中 ， u 为 一 组 离 散 (1，2)值 ， 即 得 到 的 也 只 是 离 散 值 。 在 信 号 重 构 时 ， 可 先 通 过 内 插 法 完 成(1，2)极 坐 标 到 直 角 坐 标 的 转 换 ， 然 后 由 的 直 角 坐 标 的 离 散 值 重 构 原 函 数 。 (1，2)上 述 图 像 重 构 最 直 接 的 应 用 是 X 射 线 层 成 像 （ CT） ： 一 组 平 行 的 X 射 线通 过 人 体 衰 减 ， 接 收 到 的 是 衰 减 的 积 分 投 影 ， 即 某 一 倾 角 的 Radon 变 换 ， 按照 上 述 步 骤 不 难 由 0 度 到 180 度 倾 角 的 Radon 变 换 重 构 人 体 的 层 析 图 像 。北 京 理 工 大 学 本 科 生 毕 业 设 计 （ 论 文 ）152.2.2 Radon-Wigner 变换上 一 节 已 经 讨 论 了 Radon 变 换 ， 如 果 将 变 换 对 象 由 一 般 的 二 维 函 数f（ t， w） 代 之 以 信 号 z（ t） 的 Wigner-Ville 分 布 Wz（ t， w） ， 则 所 得Radon 变 换 即 是 信 号 z（ t） 的 Radon-Wigner 变 换 ， 用 符 号 Dx(u,a)表 示 之 ， 由上 面 的 式 子 容 易 得 到(,)=()=(,)= 线 (cossin,sincos)(2-22)=+ +(,)()下 面 介 绍 Radon-Wigner 变 换 对 于 LFM 信 号 的 特 殊 意 义 。 先 讨 论 z(t)为 一般 信 号 的 情 况 ， 上 式 表 示 其 Radon-Wigner 变 换 ， 它 是 以 参 数 （ u， a） 表 示 的 。而 在 Wigner-Ville 分 布 的 时 频 平 面 里 ， 则 习 惯 用 w 轴 的 截 距 和 斜 率 m 为 参0数 来 表 示 直 线 。 因 此 ， 当 需 要 沿 作 直 线 积 分 时 ， 可 将 图 中 的 积 分 路=0+径 （ 直 线 PQ） 和 参 数 （ u， a） 替 换 成 （ m， ） ， 且 两 对 参 数 之 间 的 关 系 为0=cot1 0=/sin由 前 式 求 信 号 z（ t） 的 Radon-Wigner 变 换 ， 并 以 参 数 （ m， w0） 表 示 积分 路 径 ， 则 有(,)= 线 (,)=+ +(,)() =+ +(,)sin(0)= 1|sin|+ +(,)(0+) (2-23)=1|sin|+(,0+)上 式 表 明 ， 若 z（ t） 是 参 数 为 和 m 的 LFM 信 号 ， 则 积 分 值 最 大 ； 而 当0参 数 偏 离 与 /或 m 时 ， 积 分 值 迅 速 减 小 ， 即 对 一 定 的 LFM 信 号 ， 其 Radon-0Wigner 变 换 会 在 对 应 的 参 数 处 呈 现 尖 峰 。 若 将 积 分 路 径 的 直 线 参 数 改 用 t 轴的 截 距 和 相 对 于 w 轴 的 斜 率 p 表 述 ， 写 成 t= +p 的 形 式 ， 则0 00=tan , 0=/cos北 京 理 工 大 学 本 科 生 毕 业 设 计 （ 论 文 ）16参 见 原 图 ， 利 用 与 前 式 完 全 类 似 的 推 导 ， 可 以 用 另 一 种 线 积 分 形 式 书 写 信 号z（ t） 的 Radon-Wigner 变 换(2-24)(,)=1|cos|+(+0,)这 是 一 个 与 前 式 非 常 相 似 的 线 积 分 ， 不 同 的 只 是 前 式 是 关 于 时 间 t 的 积 分 ，尺 度 因 子 为 ； 而 此 式 则 为 关 于 频 率 w 的 积 分 ， 尺 度 因 子 为 。1/|sin| 1/|cos|信 号 z（ t） 的 Radon-Wigner 变 换 除 了 可 用 上 面 两 个 公 式 表 示 外 ， 还 可 以 用z（ t） 的 模 糊 函 数 表 示 。 这 是 ， 如 果 用 信 号 z（ t） 的 形 式 书 写 ，(,) (,)则 从 前 式 的 是 第 四 个 等 式 直 接 可 得(,)=1|sin|+ + +(+2)(2)(0+) =1|sin|+ +(+2)(2)(0+) (2-25)=1|sin|+ (,)0上 式 可 以 等 价 解 释 为 信 号 z（ t） 的 模 糊 函 数 通 过 平 面 远 点 的 “切 片 ”的Fourier 变 换 。Radon-Wigner 变 换 通 过 Wigner-Ville 分 布 和 Rad