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文档简介

第四章 不定积分Integration第一节、不定积分的概念和性质第二节、换元积分法和分部积分法第三节、有理式积分法第一节 不定积分的概念和性质 原函数和不定积分的概念 不定积分的几何意义 不定积分的性质 不定积分的基本公式及线性运算法则 例定义：一、原函数与不定积分的概念原函数存在定理：简言之： 连续函数一定有原函数 .问题： (1) 原函数是否唯一？例（ 为任意常数）(2) 若不唯一它们之间有什么联系？关于原函数的说明：（ 1）若 ，则对于任意常数 ，（ 2）若 和 都是 的原函数， 则 （ 为任意常数）证（ 为任意常数）任意常数积分号 被积函数不定积分的定义：被积表达式 积分变量例 1 求解解例 2 求例 3 设曲线通过点（ 1， 2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程 .解 设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（ 1， 2）所求曲线方程为几何意义 ：函数 f(x)的不定积分 是一族积分曲线 (在每一条积分曲线上横坐标相同的点 x处作切线，切线相互平行，其斜率都是 f(x)xxyo二、不定积分的几何意义由不定积分的定义，可知结论： 微分运算与求不定积分的运算是 互逆互逆 的 .实例启示 能否根据求导公式得出积分公式？结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式 .三、基本积分表基本积分表是常数 );说明：例 4 求积分解根据积分公式（ 2）例 5、求积分例 6、求积分证等式成立 .（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、 不定积分的性质例 7 求积分解例 8 求积分解例 9 求积分解例 10 求积分解说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表 .解所求曲线方程为基本积分表 (1)不定积分的性质原函数的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系四、 小结思考题符号函数在 内是否存在原函数？为什么？思考题解答不存在 .假设有原函数故假设错误所以 在 内不存在原函数 .结论 每一个含有 第一类间断点 的函数都没有原函数 .第二节 换元积分法和分部积分法 一、第一类换元法（ “凑 ”微分法）二、第二类换元法三、分部积分法问题解决方法 利用复合函数，设置中间变量 .过程 令一、第一类换元法在一般情况下：设 则如果 （ 可微）由此可得换元法定理第一类换元公式 （ 凑微分法 ）说明
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