巧用点的坐标，妙解图形面积

图 10 巧用点的坐标，妙解图形面积为了提高学生的素质，考察学生的基础知识及综合能力的应用水平，近年中考出现了较多的函数与几何相结合型试题。这类试题，要沟通几何与函数的内在联系，除了坐标平面、函数图像本身的性质及几何图形的基本定理的应用外，还有一个重要的解题手段，这就是点的坐标与线段长度的互化。表现在两个方面：一是将线段长转化为点的坐标，迅速求出了解析式，实现“以形表数”的转化；二是将点的坐标转化为线段长，进而利用线段间的关系使问题得以解决，实现“以数表形”的转化。掌握好这个互化方法，很多综合题型就能得以突破现就第二方面的转化（坐标转化为线段长） ，撷取一些有代表性的题目，以飨读者。1、一次函数中用好点的坐标例 1、 （2009 年绍兴）如图 1，在 轴上有五个点，它们的横坐标依次为x1，2，3，4，5分别过这些点作 轴的垂线与三条直线 ， ，yax(1)x相交，其中 则图中阴影部分的面积是（ ）()yax0aA12.5 B25 C12.5 D25a【解析】： 此题利用直线构造一系列不规则图形，解答时需要学生深刻认识一次函数图像上点的坐标特征，我们先来看这么一个事实（如图 2） ，直线y=ax ， y=(a+1)x ， y=(a+2)x 与直线 x=m 相交于 A，B ，C 三点，容易求得 =am ， =(a+1)m ， =(a+2)m 注： 表示 A 点纵坐标，下同AyBCyy据此可求得 BC = ，AB = maB)1()2(，进一步可得 BC=AB。根据上面这个事实，我们mayAB)1(发现线段的长和 a 的值无关，就等于 m 的值，这样会自然想到两种方法：（1）逐个求解：不难求出从左到右各阴影的面积分别为 ，211S， ， ，231)(2S 251)3(S 7)43(4，故 .故选 A。9545 97（2）转化求解： 图 3 图 4同一列上的阴影部分与空白部分形状虽不相同，但它们的面积是相同的，这样通过转化思想把阴影面积变成如图 3 所示，只需计算这一三角形面积即可，.故选 A。5121S例 2、 （2009 年宁波）如图 4，点 A、B、C、D 在一次函数 的图象上，2yxm它们的横坐标依次为-1、1、2，分别过这些点作 x 轴与 y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是 （ ）A B C D3(1)m3()2【解析】 阴影部分的三个三角形底边长为 1，而这三个三角形高的和就是点 A 和点 C 的垂直距离，故可采用以下方法求解 当 x =1 时 y=2+ m A (1, 2+ m) 当 x = 2 时 y=4+ m C ( 2, 4+ m) =(-2+ m)(-4+ m) = 2CAy = 1（ ）= 12 = 1阴 影S1Ay2、反比例函数中用好点的坐标 例 3、 （2009 年长春）如图 5，点 的坐标为（2， ） ，过点 作 轴的平行线P23Px交 轴于点 ，交双曲线 （ ）于点 ，作 交双曲线yAkyx0NMA（ ）于点 ，连结 已知 kx0MA4（1）求 的值（2）求 的面积P【解析】：（1）点 的坐标为（2， ）23AP=2, OA= .3PN=4, AN=6. 点 的坐标为（6， ）N2把 N（6， ）代入 中，得 23kyx9（2）k=9，y= .9当 时， xyM（2， ） 329PMy 11ASPA y xO PA M N图 5例 4（2009 年吉林）如图 6，反比例函数 的图像与直线 在第一象kyxyxm限交于点 ， 为直线上的两点，点 的横坐标为 2，点 的横坐标为62P（ ， ） AB、 AB3 为反比例函数图像上的两点，且 平行于 轴DC、 DBC、（1）直接写出 的值；km，（2）求梯形 的面积【解析】：（1） =12， = .4（2）把 =2 代入 = ，得 =6.D（2，6） xy12xy把 =2 代入 ，得 A(2， ). 8)(6AD把 =3 代入 得 = ， B (3， ).x4y， y11BC= =4-(-1)=5BCS =AD梯 形 23)5(3、二次函数中用好点的坐标 例 5、 （2009 年益阳）阅读材料：如图 7， 过 ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫 ABC 的“水平宽”( a)，中间的这条直线在 ABC 内部线段的长度叫 ABC 的“铅垂高( h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法： ，即三角形面积等于水平宽与铅垂ahSABC21高乘积的一半.解答下列问题： 如图 8，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0)，交 y 轴于点 B.(1)求抛物线和直线 AB 的解析式；(2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结 PA， PB，当P 点运动到顶点 C 时，求 CAB 的铅垂高 CD 及 ；CABS(3)是否存在一点 P，使 S PAB= S CAB，若存在，求出 P 点的坐标；89若不存在，请说明理由.【解析】:(1) 324)1(21 xxy32xy(2) 因为 C 点坐标为(,4)当 x时， ， D 24Dy (平方单位) 31)( BACABxS注： 表示 A 点横坐标，下同x(3)假设存在符合条件的点 P，设 P 点的横坐标为 x，PAB 的铅垂高为h，则 xy 3)()32( 221 图 8 xCO y AB D1 1B C铅垂高水平宽 h a 图 7A2yOB ABCDPxB图 6由 SPAB = SCAB 得：89 389)(212BAxy即 ，389)0(3(21x化简得： 42解得： ，将 代入 ，得 P 点坐标为23x321xy )415,23(例 6、 （2009 年江西省）如图 9，抛物线 与 轴相交于 、 两点yxxAB（点 在点 的左侧） ，与 轴相交于点 ，顶点为 .ABCD（1）直接写出 、 、 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接 ，与抛物线的对称轴交于点 ，点 为线段CEPC上的一个动点，过点 作 交抛物线于点 ，设点 的横坐标为 ；PFD Fm用含 的代数式表示线段 的长，并求出当 为何值时，四边形 为mmPEDF平行四边形？设 的面积为 ，求 与 的函数关系式. BF S【解析】:（1） A（-1，0） ， B（3，0） ， C（0，3）抛物线的对称轴是： x=1 （2）直线 BC 的函数关系式为： yx E（1，2） P（ m， m+3） 14D， 当 时，x23y， F， 线段 ，4ED my 3-)(-2-P2PF 线 段 ，当 时，四边形 为平行四边形F由 解得： （不合题意，舍去） 23m， 12m，因此，当 时，四边形 为平行四边形PED )(1CBFFCBxyS（0 3）2239m综上所述，用好点的坐标，解决好线