扬州中学2013-2014学年第一学期数学周练

1江苏省扬州中学 2013-2014 学年第一学期周练 5数学试卷 1一、填空题（本大题共 14小题，每小题 5分，计 70分）1复数 的虚部是 . 2iz2 “ ”是“ ”的 条件 (填“充分不必要” 、 “必要不61sin充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要”) 3设幂函数y f (x)的图象经过点 ，则 的值为 8,2152f4设 是等差数列 的前 项和，已知 ，则 . nSna63,a7S5已知 是非零向量且满足 , ，则 与 的夹角是 b, b)(2b)(2a 6.将函数 的图象向左平移 个单位，再向下平移 1 个单位，得到)63cos(2)(xf 4函数 的图象，则 的解析式为 gg7. 已知双曲线 的右焦点为 若以 为圆心的圆)0,(12babyax ,F与此双曲线的渐近线相切,则该双曲线的离心率为_ _.0562xy8已知函数 则 的值是 . 2log()(),3xf1()4f9若关于 x， y的不等式组0,1yxa（ a为常数）所表示的平面区域的面积等于 3，则 a的值为 10 若函数 在 上有意义，则实数 的取值范围是_ _()42xfxk,k2_ 11. 定义在 R上的函数 ()fx，其导函数 满足 ，且 ，则关于fx1f23f的不等式 的解集为 x1f12已知函数 ， ，若 图像上任意一点的切线的斜率()lnafx(0,4x()yfx恒成立，则实数 的取值范围是 . 12k13已知 是 的外心， ，若 且OABC10,6ACACyBxO，则 . 510yxcos14.若方程 有三个负根( 可以是重根 ),则 的最大值为 .04923xa a二、解答题（本大题共 6小题，计 90分）15(本小题满分 14 分)已知集 合，107xA220Bxa（1）当 时，求 ；（2）若 ，求实数 的取值范围.4aA16(本小题满分 14 分)函数 的部分图象如下图所示，该图象与2sin()fx(0,)2轴交于点 ，与 轴交于点 ， 为最高点，且 的面积为y0,Fx,BCMBC 求函数 的解析式；()fx 若 ，求 的值25,(0,)4fcos(2)417(本小题满分 14 分)一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度 成正比，与它的厚度 d的平方aBOCFMy x（第 16 题图）3成正比，与它的长度 l的平方成反比.()将此枕木翻转 90（即宽度变为厚度） ，枕木的安全负荷变大吗？为什么？()现有一根横断面为半圆（半圆的半径为 R）的木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？ 18(本小题满分 16 分)已知 ，函数 。aR(|fxa（1）当 时，写出函数 的单调递增区间；2()yfx（2）当 时，求函数 在区间 上的最小值；1,2（3）设 ，函数 在 上既有最大值又有最小值，请分别求出0a()yfx,mn的取值范围（用 表示） 。,mna19(本小题满分 16 分)如图,在平面直角坐标系 中,已知椭圆 : 的离心率 ,xOyE21(0)xyab32e分别是椭圆 的左、右两个顶点,圆 的半径为 ,过点 作圆 的切线,切12AE2A1A2点为 ,在 轴的上方交椭圆 于点 . PxQ求直线 的方程;求 的值;1Q设 为常数.过点 作两条互相垂直的直线,分别交椭圆 于点 ,分别交圆aOEBC于点 ,记 和 的面积分别为 , ,求 的最大值.2AMNBC MN 1S212SA1 A2OPQMNBCxy（第 19 题图）20(本小题满分 16 分)记公差 d0 的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a1 2 ，S 312 2 32（1）求数列a n的通项公式 an及前 n 项和 Sn；（2）记 bna n ，若自然数 n1，n 2，n k，满足 1n 1n 2n k，并且21， 2， kn，成等比数列， 其中 n11，n 23，求 nk（用 k 表示） ；（第 17 题图）4高三_姓名_学号 密封线内不要答题（3）试问：在数列a n中是否存在三项 ar，a s，a t(rst，r，s，t N *)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由数学附加题 21 （本小题 10分）曲线 在矩阵 的作用下变换为曲线 ，1:C21xy120M2C求 的方程2C22 （本题满分 10 分）在四棱锥 中，侧面 底面PABCDP， ，底面 是直角梯形， ，ABCDP/， ， 设 为侧棱 上一点，21ABD2QC，试确定 的值，使得二面角 为 45PQBDP23 （本小题 10分）袋中装有大小相同的黑球和白球共 9 个，从中任取 2 个都是白球的概率为 现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，每次摸取5121 个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止用 X 表示取球终止时取球的总次数（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量 X 的概率分布及数学期望 ()EX24 （本小题 10分） 把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第 行共有 个正整数，设 表示位于这个数表中从上往下数第 行，i12i,*ijaNi从左往右第 个数j()若 ，求 和 的值；2013ijaij()记 ，3*n nAaN （第 22 题图）5高三_姓名_学号 密封线内不要答题求证：当 时， 4n23.nnAC高三数学周练答题纸一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分）15解：16解：617解：18解：7高三_姓名_学号 密封线内不要答题19解：20解：8高三_姓名_学号 密封线内不要答题数学附加题 21解：22解：923解：24解：10江苏省扬州中学 2013-2014 学年第一学期周练 5参考答案数学试卷 1 一、填空题1 1 2 充分不必要 3 8 4 49 5 36. 7. 8 9 5 10 1)43cos()(xg51(,111. 12 13 或 14. 6 ,2,)35二、解答题15(本小题满分 14 分)解：（1） ,|17Ax当 时， ,4a2|406Bxx . 4 分,6（2） ,()xa当 时， 不成立； 7 分1a,AB当 即 时，,1(,2)a，解得 10 分,27ABa5;当 即 时，,1(2,)Ba解得 13 分,7a;综上，当 ，实数 的取值范围是 . 14 分AB(,75,)1116(本小题满分 14 分)解：（1） ，12MBCSBC周期 3 分,T由 ，得 ，(0)2sinfsin2 ， ，6 分4 7 分()2sin()fx（2）由 ，得 ，9 分25i4f5sin ， ，.10 分(0,)2cos1i ，12 分234cos,insico55 14 分()cos2443221017(本小题满分 14 分)解：（）安全负荷 klady(21为正常数） 翻转 2,90ldaky后21,0,day时当，安全负荷变大.当 12a时 ，安全负荷变小；当 时，安全负荷不变. 5分（II）如图，设截取的宽为 a，高为 d，则 2224,)( RdR即 . 枕木长度不变， u=ad2最大时，安全负荷最大.)(42422 Rdau=3222)(4 dR12394R，当且仅当 22dR，即取 R36，取 da22时， u最大， 即安全负荷最大( 用导数亦可) 14 分18(本小题满分 16 分)解：（1）当 时， , 2 分2a2)(|2|(xxf由图象可知， 的单调递增区间为 4 分)(xfy ,1（2）因为 ，所以 6 分2,1a )2()()2axaxaxf 当 ，即 时， ； 7 分3134minf当 ，即 时， 8 分2a1)()(iaxf 9 分3,124)(minxf（3） ， 10 分axf),()当 时，图象如图 1 所示0a由 得 12 分)(42xy anam21,0.2)( 图 1 图 2当 时，图象如图 2 所示0a由 得),(42xy 02,1.1namax 14 分1319(本小题满分 16 分)A1 A2OPQMNBCxy（第 19 题图）【答案】连结 ,则 ,且 , 2AP212APa又 ,所以 . 12a160所以 ,所以直线 的方程为 4 分60POO3yx由知,直线 的方程为 , 的方程为 , 2A()ya1AP3()yxa联立解得 6 分Pax因为 ,即 ,所以 , ,故椭圆 的方程为 . 32ec234ca2bE241xya+由 解得 , 8 分2(),41,yxa+7Qx所以 . 10 分1()3247aPQA不妨设 的方程为 , OM(0)ykx14联立方程组 解得 , 2,41,ykxa+22(,)41akB所以 ; 12 分214kOB用 代替上面的 ,得 . kk214kOCa同理可得, , 21Mk21Nk所以 14 分412 24()4SOBCak因为 , 2215()4()7kk当且仅当 时等号成立,所以 的最大值为 . 16 分1k12S45a20(本小题满分 16 分)解：（1）因为 a12 ，S 33a 13d12 ，所以 d22 32所以 ana 1(n1)d2n ， Sn n 2( 1) n 4 分2n(a1 an)2 2（2）因为 bna n 2n，所以 kb2n k又因为数列 kb的首项 1 2b，2公比 31q，所以 13nk所以 2nk 13，即 nk 8 分（3）假设存在三项 ar，a s，a t 成等比数列，则 trsa，即有 )2)(2()2(s，整理得 trs2)(2若 0rt，则 srt，因为 r，s，tN *，所以 t是有理数，这与 为无理数矛盾；15若 02srt，则 0trs，从而可得 rst，这与 rst 矛盾综上可知，不存在满足题意的三项 ar，a s，a t 16 分数学附加题答案21 （本小题 10分） 【答案】解：解：设 为曲线 上任意一点， 为曲线(,)Pxy2C(,)Pxy上与 P 对应的点，2241xy则 ，即 5 分10x2,2,.xyxy 是曲线 上的点， 的方程 10 分P1C22()122 （本小题 10分）解：因为侧面 底面 ，平面 平面 ， ，PCDABPCDABCDP所以 平面 ，所以 ，即三直线 两两互相垂直。,如图，以 为坐标原点， 分别为 轴建立直角坐标系，,xyz则平面 的一个法向量为 ， 2 分PBD(1,0)n，所以(0,21),CQPC，设平面 的一个法向量为QBD，由 ， ，(,)abcm00m得 ，02(1)所以 6分,16所以 ，即|cos45mn22()1注意到 ，解得 10 分(0,1)23 （本小题 10分）解：（1）设袋中原有 个白球，则从 9 个球中任取 2 个球都是白球的概率为 ，n 29nC由题意知 = ，即 ，化简得 29nC51()5812230n解得 或 （舍去） 故袋中原有白球的个数为 6. 6（2）由题意，X 的可能取值为 1，2，3，4.； ；2(1)93P6()98