2017年四川中考突破复习题型专项(十二)二次函数与几何图形

专项 (十二 ) 二次函数与几何图形的综合题 类型 1 探究图形面积的数量关系及最值问题 1 (2016安徽 )如图 ， 二次函数 y 图象经过点 A(2， 4)与 B(6， 0) (1)求 a， b 的值； (2)点 C 是该二次函数图象上 A， B 两点之间的一动点 ， 横坐标为 x(2 x 6)写出四边形 面积 S 关于点 x 的函数解析式 ， 并求 S 的最大值 解： (1)将 A(2， 4)与 B(6， 0)代入 y 4a 2b 4，36a 6b 0. 解得a 12，b 3.(2)过点 A 作 x 轴的垂线 ， 垂足为 D(2， 0)， 连接 过点 C 作 x 轴 ， 垂足分别为点 E， F. S 12D 12 2 4 4， S 12E 12 4 (x 2) 2x 4， S 12F 12 4 ( 123x) 6x， 则 S S S S 4 (2x 4) ( 6x) 8x. S 关于 x 的函数解析式为 S 8x(2 x 6) S (x 4)2 16. 当 x 4 时 ， 四边形 面积 S 取最大值 ， 最大值为 16. 2 (2016雅安中学一诊 )如图 ， 已知抛物线 y 32x c 与 x 轴相交于 A， B 两点 ， 并与直线 y 12x 2 交于 B， 其中点 C 是直线 y 12x 2 与 y 轴的交点 ， 连接 (1)求抛物线解析式； (2)求证： 直角三角形； (3)在抛物线 上存在点 P 使得以 A， C， P， B 为顶点的四边形面积最大 ， 请求出点 P 的坐标以及此时以 A， C，P， B 为顶点的四边形面积 解： (1) 直线 y 12x 2 交 x 轴 ， y 轴于 B， C 两点 ， B(4， 0)， C(0， 2) y 32x c 经过点 B， C， 16a 6 c 0，c 2. 解得 a 12，c 2. y 1232x 2. (2)令 1232x 2 0， 解得 1， 4. 1， 4. 5. 5， 20， 25. 直角三角形 (3)连接 过点 P 作 垂足为点 E， 直线 线段 点 D. 设直线 解析式为 y b. 将 B(4， 0)， C(0， 2)代入 ， 得 b 2，4k b k 12，b 2. 直线 解析式为 y 12x 2. 设点 D(a， 12a 2)， 则点 P(a， 1232a 2) 1232a 2 (12a 2) 122a， 当 a 2 时 ， 最大值 ， 最大值为 2. S 四边形 S S 12C 12P 12 5 2 12 45 2 当 大时 ， 四边形 面积最大 当点 P 的坐标为 (2， 3)时 ， 四边形 面积的最大值为 5 2 2 9. 3 (2015攀枝花 )如图 ， 已知抛物线 y c 与 x 轴交于 A( 1， 0)， B(3， 0)两点 ， 与 y 轴交于点 C， 抛物线的对称轴与抛物线交于点 P， 与直线 交于点 M， 连接 (1)求抛物线的解析式； (2)在 (1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点 D， 使得 面积最大？若存在 ， 求出点 D 坐标及 积的最大值；若不存在 ， 请说明理由； (3)在 (1)中的抛物线上是否存在点 Q， 使得 面积相等？若存 在 ， 求出点 Q 的坐标；若不存在 ，请说明理由 解： (1)把 A， B 两点坐标代入抛物线解析式 ， 得 1 b c 0， 9 3b c 0. 解得 b 2，c 3. 抛物线解析式为 y 2x 3. (2)设 D(t， 2t 3)， 过点 D 作 x 轴于点 H， 连接 D B. 令 x 0， 则 y 3， C(0， 3) S S 梯形 S S 12( 2t 3 3)t 12(3 t)( 2t 3) 12 3 3 3292t. 32 0， 当 t922 （ 32） 32时 ， 即点 D 坐标为 (32， 154 )时 ， S 且最大面积为 278 . (3)存在 P(1， 4)， 过点 P 且与 行的直线与抛物线的 交点即为所求 Q 点之一 ， 直线 析式为为 y x 3， 过点 P 且与 行的直线为 y x 5. 由 y x 5，y 2x 3， 解 得 x 2，y 3. ， 3) 直线 解析式为 x 1， 直线 解析式 y x 3， M(1， 2) 设 x 轴交于点 E， 2， 过点 E 且与 行的直线为 y x 1. 从而过点 E 且与 行的直线与抛物线的交点也为 所求 Q 点之一 联立 y x 1，y 2x 3， 解得3 172 ， 1 172 ， 3 172 ， 1 172 . 172 ， 1 172 )， 172 ， 1 172 ) 满足条件的 Q 点坐标为 (2， 3)， (3 172 ， 1 172 )或 (3 172 ， 1 172 ) 类型 2 探究线段的数量关系及最值问题 4 (2016成都青羊区二诊改编 )已知抛物线 y 1(2a 1)x 2(a 0)与 x 轴交于 A， B 两点 ， 与 y 轴相交于点 C，且点 A 在点 B 的左侧 (1)若抛 物线过点 D(2， 2)， 求实数 a 的值； (2)在 (1)的条件下 ， 在抛物线的对称轴上找一点 E， 使 小 ， 求出点 E 的坐标 解： (1) 抛物线过点 D(2， 2)， 1a 4 (2a 1) 2 2 2， 解得 a 4. (2) 点 A， B 是抛物线与 x 轴的交点 ， 点 B 是点 A 关于抛物线对称轴的对称点 连接 对称轴于点 E， 则点 E 即为使 小的点 a 4， 抛物线解析式为 y 1412x 2. 令 y 0， 则 1412x 2 0， 解得 2， 4. 令 x 0， 则 y 2. A( 2， 0)， B(4， 0)， C(0， 2)， 对称轴为直线 x 1. 直线 析式为 y 12x 2. 当 x 1 时 ， y 32， E(1， 32) 5 (2015南充 )已知抛物线 y c 与 x 轴交于点 A(m 2， 0)和 B(2m 1， 0)(点 A 在点 B 的左侧 )， 与 y 轴相交于点 C， 顶点为 P， 对称轴为 l： x 1. (1)求抛物线解析式； (2)直线 y 2(k 0)与抛物线相交于两点 M( N(x1 当 |小时 ， 求抛物线与直线的交点 M 和 N 的坐标； (3)首尾顺次连接点 O， B， P， C 构成多边形的周长为 B 在 x 轴上移动 ， 求 L 最小时点 O， B 移动后的坐标及 L 的最小值 解： (1)由题意 ， 得 （ 1） 1， b 2. 抛物线 y c 与 x 轴交于点 A(m 2， 0)和 B(2m 1， 0)， c 0 的解为 m 2 和 2m 1. (m 2) (2m 1) b， (m 2)(2m 1) c. m 1， c 3. 抛物线解析式为 y 2x 3. (2)联立y 2，y 2x 3得 (k 2)x 1 0. (k 2)， 1， ( ( 4(k 2)2 4. 当 k 2 时 ， (的最小值为 4， 即 |最小值为 2. 0， 1. 解得 1， 1， 则 0， 4. 当 |小时 ， 抛物线与直线的交点为 M( 1， 0)， N(1， 4) (3)由 (1)得 O(0， 0)， B(3， 0)， P(1， 4)， C(0， 3) L 又 线段 移过程中 ， 长度不变 ， 要使 L 最小 ， 只需 短 如图 ， 平移线段 四边形 是矩形 C(3， 3) 作点 P 关于 x 轴 (或 对称点 P(1， 4)， 连接 CP与 x 轴交于点 B. 设 CP解析式为 y n. a n 4，3a n 3. 解得a 72，n 152 . y 72x 152 . 当 y 0 时 ， x 157， B (157， 0) 又 3 157 67， 故点 B 向左平移 67个单位 ， 平移到 B. 同时 ， 点 O 向左平移 67个单位 ， 平移到 O( 67， 0)， 即线段 左平移 67个单位时 ， 周长 L 最短 此时 ， 线段 和最短为 PC 72 22 53， O B 3， 2. 当线段 左平移 67个单位 ， 即点 O 平移到 O( 67， 0)， 点 B 平移到 B(157， 0)时 ， 周长 L 最短为 53 2 3. 类型 3 探究特殊三角形的存在性问题 6 如图 ， 已知抛物线 y (1， m)， 以原点为顶点的抛物线 (2， 2)， 点 A， B 关于 y 轴的对称点分别为点 A， B . (1)求 m 的值； (2)求抛物线 (3)在第一象限内 ， 抛物线 ， 使得以点 Q， B， B 为顶点的三角形为直角三角 形？若存在 ， 求出点 Q 的坐标；若不存在 ， 请说明理由 解： (1) 抛物线 (1， m)， m 12 1. (2) 抛物线 可设它对应的函数解析式为 y a 0)， 又 点 B(2， 2)在抛物线 2 a a 12 . 抛物线 y 12(3)假设在抛物线 ， 使得以点 Q， B， B 为顶点的三角形为直角三角形 当点 B 为直角顶点时 ， 过点 B 作 交抛物线 1， 则点 的横坐标相等且为 2. 将 x 2 代 入 y 得 y 4. 点 ， 4)； 当点 则有 2 B 过点 2G 于点 G. 设点 t， t 0)， 则有 (t 2)2 (2)2 (2 t)2 (2)2 42， 整理得 30. t 0， 3 0， 解得 3， 3(舍去 ) 点 3， 3) 综上所述 ， 存在 符合条件的点 Q 坐标为 (2， 4)与 ( 3， 3) 7 (2016雅安中学二诊 )如图 ， 已知抛物线与 y 轴交于点 C(0， 4)， 与 x 轴交于 A(0)， B(0)两点 ， 其中 x1，2x 8 0 的两个根 (1)求该抛物线的解析式； (2)点 Q 是线段 的动点 ， 过点 Q 作 交 点 E， 连接 设 Q(x， 0)， 面积为 y， 求 x 的函数关系式及 面积的最大值； (3)点 M 的坐标为 (2， 0)， 问：在直线 ， 是否存在点 F， 使得 等腰三角形？若 存在 ， 请求出点 F 的坐标 ， 若不存在 ， 请说明理由 解： (1)解方程 2x 8 0， 得 4， 2. A(4， 0)， B( 2， 0) 设抛物线解析式为 y a(x 4)(x 2) 将 C(0， 4)代入 ， 解得 a 12. 抛物线解析式为 y 12x 4. (2)由 Q(x， 0)， 可得 x 2， 4 x， 过点 E 作 点 H. 又 x 26 ， 即 23(x 2) S S S 12(x 2)4 12(x 2)23(x 2)， y 关于 x 的函数关系式为 y 1323x 83 13(x 1)2 3( 2 x 4) 面积的最大 值为 3. (3)存在点 F 使得 等腰三角形 设 解析式为 y b. 直线 点 A(4， 0)和 C(0， 4)， 4k b 0，b 4. 解得 k 1，b 4. 直线 解析式为 y x 4. 点 F 在 ， 设 F(x， x 4)， x 4） 2， （ x 2） 2（ x 4） 2， 2. 若 等腰三角形 ， 则可能有三种情况： 如图 1， 当 ， F 的横坐标应为 1， F(1， 3)； 当 2 时 ， x 4） 2 2， 化简得 4x 6 0. 8 0 这种情况不存在； 如图 2， 当 ， （ x 2） 2（ x 4） 2 4， 化简得 6x 8 0， 解得 2， 4(舍去 ) F(2， 2) 综上所述 ， 当 等腰三角形 时 ， F(1， 3)或 (2， 2) 8 (2016凉山模拟 )如图 ， 已知正方形 边长为 2， 顶点 A， C 分别在 x 轴 ， y 轴的正半轴上 ， 点 E 是 中点 ， F 是 长线上一点且 1. (1)求经过点 O， A， E 三点的抛物线解析式； (2)点 P 在抛物线上运动 ， 当点 P 运动到什么位置时 面积为 2， 请求出点 P 的坐标； (3)在抛物线上 是否存在一点 Q， 使 等腰直角三角形？若存在直接写出点 Q 的坐标；若不存在 ， 请说明理由 解： (1)点 A 的坐标是 (2， 0)， 点 E 的坐标是 (1， 2) 设抛物线的解析式是 y c， 根据题意 ， 得 c 0，4a 2b c 0，a b c a 2，b 4，c 0. 抛物线的解析式是 y 24x. (2)当 面积是 2 时 ， 点 P 的纵坐标是 2 或 2. 当 24x 2 时 ， 解得 x 1， 点 P 的坐标是 (1， 2)； 当 24x 2 时 ， 解得 x 1 2， 此时点 P 的坐标是 (1 2， 2)或 (1 2， 2) 综上 ， 点 P 的坐标为 (1， 2)， (1 2， 2)或 (1 2， 2) (3) 2 1 3， 2. 则点 A 是直角 顶点时 ， Q 不可能在抛物线上； 当点 F 是直角顶点时 ， Q 不可能在抛物线上； 当点 Q 是直角顶点时 ， Q 到 距离是 1232， 若点 Q 存在 ， 则 Q 的坐标是 (12， 32)将 Q(12， 32)代入抛物线解析式成立 抛物线上存在点 Q(12， 32)使 等腰直角三角形 类型 4 探究特殊四边形的存在性问题 9 (2016雅安中学三诊 )如图 ， 已知二次函数 y c 的图象经过 A( 2， 1)， B(0， 7)两点 (1)求该抛物线的解析式及对称轴； (2)当 x 为何值时 ， y 0? (3)在 x 轴上方作平行于 x 轴的直线 l， 与抛物线交于 C， D 两 点 (点 C 在对称轴的左侧 )， 过点 C， D 作 x 轴的 垂线 ，垂足分别为点 F， 正方形时 ， 求点 C 的坐标 解： (1)把 A( 2， 1)， B(0， 7)两点的坐标代入 y c， 得 4 2b c 1，c 7. 解得b 2，c 7. 该抛物线的解析式为 y 2x 7. y 2x 7 (x 1)2 8， 对称轴为直线 x 1. (2)当 y 0 时 ， 2x 7 0， 解得 x 12 2， 由图象知 1 2 2 x 1 2 2时 ， y 0. (3)设 C 点的坐标为 (m， n)， 矩形 正方形 ， n 2m 7， 即 2m 7. C， D 两点 的纵坐标相等 ， C， D 两点关于对称轴 x 1 对称 设点 D 的横坐标为 p， 则 1 m p 1， p 2 m， (2 m) m 2 2m. 2 2m 2m 7. 解得 1， 5. 点 C 在对称轴的左侧 ， m 只能取 1. 当 m 1 时 ， n 2m 7 ( 1)2 2 ( 1) 7 4. 点 C 的坐标为 ( 1， 4) 10 (2016德 阳旌阳区一模 )如图 ， 矩形 平面直角坐标系 ， 点 A 在 x 轴的正半轴上 ， 点 C 在 y 轴的正半轴上 ， 4， 3， 若抛物线的顶点在 上 ， 且抛物线经过 O， A 两点 ， 直线 抛物线于点 D. (1)求抛物线的解析式； (2)求点 D 的坐标； (3)若点 M 在抛物线上 ， 点 N 在 x 轴上 ， 是否存在以 A， D， M， N 为顶点的四边形是平行四边形 ？若存在 ， 求出点N 的坐标；若不存在 ， 请说明理由 解 ： (1)设抛物线顶点为 E， 根据题意 4， 3， 得 E(2， 3) 设抛物线解析式为 y a(x 2)2 3. 将 A(4， 0)代入 ， 得 0 4a 3， 解得 a 34. 抛物线解析式为 y 34(x 2)2 3 343x. (2)设直线 析式为 y b(k 0) 将 A(4， 0)与 C(0， 3)代入 ， 得 4k b 0，b 3. 解 得 k 34，b 3. 直线 析式为 y 34x 3. 与抛物线解析式联立 ， 得 y 34x 3，y 341，94， 4，0. 点 D 坐标为 (1， 94) (3)假设存在以 A， D， M， N 为顶点的四边形是平行四边形 ， 分两种情况考虑： 当点 M 在 x 轴上方时 ， 如图 1 所示 四边形 平行四边形 ， 由对称性得到 M(3， 94)， 即 2， 故 2， ， 0)， ， 0)； 当点 M 在 x 轴下方时 ， 如图 2 所示 过点 D 作 x 轴于点 Q， 过点 M 作 x 轴于点 P， 可得 94， 3， 将 94代入抛物线解析式得 94 343x， 解得 2 7或 2 7， 3 7 1 或 7 1， 7 1， 0)， 7 1， 0) 假设成立 综上所述 ， 满足条件的点 N 有 4 个： ， 0)， ， 0)， 7 1， 0)， 7 1， 0) 11 (2016成都 )如图 ， 在平面直角坐标系 ， 抛物线 y a(x 1)2 3 与 x 轴交于 A， B 两点 (点 A 在点 B 左侧 )，与 y 轴交于点 C(0， 83)， 顶点为 D， 对称轴与 x 轴交于点 的直线 l 交抛物线于 P， Q 两点 ， 点 Q 在 y 轴右侧 (1)求 a 的值及点 A， B 的坐标； (2)当直线 l 将四边形 为面积比为 3 7 的两部分时 ， 求直线 l 的函数解析式； (3)当点 P 位于第二象限时 ， 设 中点为 M， 点 N 在抛物线上 ， 则以 对 角线的四边形 否成为菱形？若能 ， 求出点 N 的坐标；若不能 ， 请说明理由 解： (1) 抛物线 y a(x 1)2 3 与 y 轴交于点 C(0， 83) a 3 83， 解得 a 13. y 13(x 1)2 3. 当 y 0 时 ， 有 13(x 1)2 3 0， 2， 4. A( 4， 0)， B(2， 0) (2) A( 4， 0)， B(2， 0)， C(0， 83)， D( 1， 3)， S 四边形 S S 梯形 S 12 3 3 12 (83 3) 1 12 2 83 10. 从面积分析知 ， 直线 l 只能与边 交 ， 所以有两种情况： 当直线 l 与边 交于点 则 S 310 10 3， 12 3 ( 3. 2， 点 2， 2)， 过点 H( 1， 0)和 2， 2)的直线 l 的解析式为 y 2x 2； 当直线 l 与边 交于点 同理可得点 2， 2)， 过点 H( 1， 0)和 2， 2)的直线 l 的解析式为 y 43x 43. 综上：直线 l 的函数解析式为 y 2x 2 或 y 43x 43. (3)假设以 对角线的四边形 成为菱形 设 P( Q(过点 H( 1， 0)的直线 解析式为 y k x b. k b 0， y k. 联立y k，y 1323x 83， 得13(23 k)x83 k 0. 2 3k， k k 3 点 M 是线段 中点 ， 由中点坐标公式得点 M(32k 1， 32 假设存在这 样的 N 点如图所示 ， 直线 设直线 解析式为 y k 3. 联立y k 3，y 1323x 83. 解得 1， 3k 1. N(3k 1， 33) 四边形 菱形 ， (3k)2 (3 (32 (323)2. 整理得 34 0， (1)(34) 0. 1 0， 34 k 2 33 . k 0， k 2 33 . P( 3 3 1， 6)， M( 3 1， 2)， N( 2 3 1， 1) 2 7. 四边形 菱形 假设成立 ， 即以 对角线的四边形 成为菱形 ， 此时点 N 的坐标为 ( 2 3 1， 1) 类型 5 探究三角形相 似问题 12 已知直线 y 12x 1 与 x 轴交于点 A， 与 y 轴交于点 B， 将 点 O 顺时针旋转 90 ， 使点 A 落在点 C，点 B 落在点 D， 抛物线 y c 过点 A， D， C， 其对称轴与直线 于点 P， (1)求 抛物线的解析式； (2)求 正切值； (3)若点 M 在 x 轴上 ， 且 似 ， 求点 M 的坐标 解： (1)当 y 0 时 ， 12x 1 0， 解得 x 2. 当 x 0 时 ， y 1， A( 2， 0)， B(0， 1) 时针旋转 90 得到 C(0， 2)， D(1， 0) 抛物线 y c 过点 A， D， C， 4a 2b c 0，a b c 0，c a 1，b 1，c 2. 抛物线解析式为 y x 2. (2)根据 (1)， 抛物线对称轴为 x 12 （ 1） 12， 12 (12) 134， 点 P 的坐标为 (12，34) 过点 P 作 x 轴于点 Q， 则 y 轴 ， 234 23， 23. (3) 点 M 在 x 轴上 ， 且 似 ， 点 M 必在点 A 的右侧 ， 2（ 12） 2（ 0 34） 2 3 54 ， 22 12 5， 1 ( 2) 1 2 3. A A， 对应边时 ， 即3 545 3解得 4. 设点 M 坐标为 (x， 0)， 则 x ( 2) 4， 解得 x 2. 点 M 的坐标为 (2， 0)； 对应边时 ， 即3 545， 解得 4. 设点 M 坐标为 (x， 0)， 则 x ( 2) 54， 解得 x 34. 点 M 的坐标为 ( 34， 0) 综上所述 ， 当点 M(2， 0)或 ( 34， 0)时 ， 似 13 (2016大邑县一诊改编 )如图 ， 二次函数 y 434的图象 c 交 x 轴于 A， B 两点 (A 在 B 的左侧 )， 过点A 的直线 y 3k(k 14)交 c 于另一点 C( 交 y 轴于点 M. (1)求点 A 的坐标 ， 并求二次函数的解析式； (2)过点 B 作 点 D， 若 M(0， 3 3)且 Q 点是直线 的一个动点求出当 的坐标 解： (1)设 y 0， 即 3k 0， 解得 x 3. A( 3， 0) A( 3， 0)在 y 434的图 象上 ， 0 9a 12a 34， 解得 a 14. 该二次函数的解析式为 y 14x 34. (2)在 ， 3， 3 33， 60 . 如图 1 中 ， 当 Q 在 延长线上时 ， 30 ， 在 ， 3. 在 ， 3， 解得 2 3. 过点 Q 作 x 轴于点 Q. 60 30 ， 30 . 在 中 ， 30 ， 2 3， 3， 3. Q( 4， 3)； 当点 Q 与点 A 重合时 ， 60 ， 此时点 Q( 3， 0)； 如图 2 中 ， 当点 Q 在线段 时 ， 60 ， 在 ， 60 ， 得 2. Q( 2， 3)； 如图 3 中 ， 当 30 时 ， 此时 设 Q( 1， y)在直线 y 3x 3 3上 ， 解得 y 2 3. Q( 1， 2 3) 综上所述 ， Q( 4， 3)或 Q( 3， 0)或 Q( 2， 3)或 Q( 1， 2 3) 14 (2016攀枝花 )如图 ， 抛物线 y c 与 x 轴交于 A， B 两点 ， 点 B 坐标为 (3， 0)， 与 y 轴交于点 C(0， 3) 的三角形相似？若存在 ， 求出直线 m 的解析式 ， 若不存在 ， 请说明理由 解： (1)把 B， C 两点坐标代入抛物线解析式 ， 得9 3b c 0，c 3. 解得 b 2，c 3. 抛物线解析式为 y 2x 3. (2)连接 过点 P 作 y 轴的平行线 ， 交 点 M， 交 x 轴于点 H. 在 y 2x 3 中 ， 令 y 0， 则 0 2x 3， 解得 x 1 或 x 3. A 点坐标为 ( 1， 0) 3 ( 1) 4， 且 3. S 12C 12 4 3 6. B(3， 0)， C(0， 3)， 直线 析式为 y x 3. 设 P 点坐标为 (x， 2x 3)， 则 M 点坐标为 (x， x 3) P 点在第四象限 ， x 3 (2x 3) 3x. S 12H 12B 12 12B 32 当 最大值时 ， 面积最大 ， 则四边形 面积最大 3x (x 32)2 94， 当 x 32时 ， 94， 则 S 32 94 278 . 此时 P 点坐标为 (32， 154 )， S 四边形 S S 6 278 758 . 即当 P 点坐标为 (32， 154 )时 ， 四边形 面积最大 ， 最大面积为 758 . (3)设直线 m 交 y 轴于点 N， 交直线 l 于点 G， 则 当 似时 ， 必有 又 180 ， 90 . 在 ， C 1. N 点坐标为 (0， 1) 设直线 m 解析式为 y d. 把 B， N 两点坐标代入 ， 得3k d 0，d 1. 解得k 13，d 1. 直线 m 解析式为 y 13x 1. 故存在满足条件的直线 m， 其解析式为 y 13x 1. 拓展类型 其他问题 1 (2016巴中 )如图 ， 在平面直角坐标系中 ， 抛物线 y 45m(m 0)与 x 轴交于点 A， B(点 A 在点 B 的左侧 )， 该抛物线的对称 轴与直线 y 33 x 相交于点 E， 与 x 轴相交于点 D， 点 P 在直线 y 33 x 上 (不与原点重合 )， 连接 过点 P 作 y 轴于点 F， 连接 (1)如图 所示 ， 若抛物 线顶点的纵坐标为 6 3， 求抛物线的解析式； (2)求 A， B 两点的坐标； (3)如图 所示 ， 小红在探究点 P 的位置时发现：当点 P 与点 E 重合时 ， 大小为定值 ， 进而猜想：对于直线 y 33 x 上任意一点 P(不与原点重合 )， 大小为定值请你判断该猜想是否正确 ， 并说明理由 解： (1) y 45m， y m(4x 5) m(x 5)(x 1) 令 y 0， 则 m(x 5)(x 1) 0. m 0， x 5 或 x 1. A( 5， 0)， B(1， 0) 抛物线的对称轴为 x 2. 抛物线的顶点坐标为 ( 2， 6 3)， 9m 6 3， 即 m 2 33 . 抛物线的解析式为 y 2 33 8 33 x 10 33 . (2)由 (1)可知： A( 5， 0)， B(1， 0) (3)如图所示 ， 解析式为 y 33 x， 30 . 60 . 90 . 180 . 点 O， D， P， F 共圆 60 . 2 如图 ， 抛物线 y c 的顶点为 D， 与 y 轴交于点 C， 直线 解析式为 y 3x 2 3. (1)求 b， c 的值； (2)过点 C 作 x 轴交抛物线于点 E， 直线 x 轴于点 F， 且 F(4， 0)， 求抛物线的解析式； ( 3)在 (2)条件下 ， 抛物线上是否存在点 M， 使得 存在 ， 求出点 M 的坐标；若不存在 ， 请说明理由 解： (1) 直线 解析式为 y 3x 2 3， C(0， 2 3) c 2 3. 设直线 x 轴于点 A， A( 2， 0) 22 3 33 . 30 ， 过点 D 作 y 轴于点 M， 30， 3 设抛物线的顶点横坐标为 h， 则 3h， D(h， 2 3 3h) y a(x h)2 2 3 3h. C(0， 2 3)， 2 3 2 3 3h. 解得 0(舍 )， 3a . y a(x 3a )2