2014高考数学理二轮专题突破文档：1.3函数与方程及函数的应用

第 3 讲 函数与方程及函数的应用 来源:中+国教+育出+ 版网【高考考情解读】 1.本讲主要考查函数的零点，常以分式、绝对值不等式、对数式、三角函数为载体；考查确定零点的个数、存在区间及应用零点存在情况求参数值或取值范围；函数的实际应用常以实际生活为背景，与最值、不等式、导数、解析几何等知识交汇命题.2.函数的零点主要是以选择题、填空题的形式考查，以基础知识为主，而函数的实际应用则主要以解答题的形式出现，属中、高档题1 函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数 f(x)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 f(x)的零点(2)函数的零点与方程根的关系函数 F(x)f( x)g(x )的零点就是方程 f(x)g(x) 的根，即函数 yf(x) 的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标(3)零点存在性定理如果函数 yf(x )在区间a ，b 上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a)f(b)0 ，f (b)(bc)( ba)0.因此有 f(a)f(b)0 时，在同一个直角坐标系中分别作出 yln x 和 yx 22x(x1)21 的图象，可知它们有两个交点；当 x0 时，作出 y2x1 的图象，可知它和 x轴有一个交点综合知，函数 yf (x)有三个零点(1)函数零点(即方程的根 )的确定问题，常见的有函数零点值大致存在区间的确定；零点个数的确定；两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解(2)提醒：函数的零点不是点，是方程 f(x)0 的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零函数的零点也就是函数 yf (x)的图象与 x 轴的交点的横坐标(1)(2012天津) 函数 f(x)2 xx 32 在区间(0,1)内的零点个数是 ( )A0 B1 C2 D3(2)已知函数 f(x)a xx b 的零点 x0( n，n1)(nZ )，其中常数 a、b 满足2a3,3 b2，则 n_.答案 (1)B (2) 1解析 (1)先判断函数的单调性，再确定零点因为 f(x) 2 xln 23x 20，所以函数 f(x)2 xx 32 在(0,1)上递增，且 f(0)10210，所以有 1 个零点(2)f(x)a xxb 的零点 x0 就是方程 axx b 的根设 y1a x，y 2x b，故 x0 就是两函数交点的横坐标，如图，河北饶阳中学 2014 年数学理二轮复习专题第 3 页 共 14 页当 x1 时，y 1 log 320)，若点对(P ，Q)是函数 f(x)的图象上的一个“镜像点对”，则有Error!所以 log3x0cos x 0，即 x0 是方程 log3xcos x 的根在同一个直角坐标系中画出函数 ylog 3x 与 ycos x 的图象，可知这两个图象共有 3个交点，即函数 f(x)的图象的“镜像点对”共有 3 对故选 C.考点三 函数模型及其应用例 3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数 f(x)与时刻 x(时) 的关系为 f(x)| a|2a ，x0,24，其xx2 1 23中 a 是与气象有关的参数，且 a0， ，若用每天 f(x)的最大值为当天的综合放射性12污染指数，并记作 M(a)(1)令 t ，x 0,24 ，求 t 的取值范围；xx2 1(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过 2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？(1)分 x0 和 x0 两种情况，当 x0 时变形使用基本不等式求解(2)利用换元法把函数 f(x)转化成 g(t)| ta| 2a ，再把函数 g(t)写成分段函数后求23M(a)解 (1)当 x0 时，t0；河北饶阳中学 2014 年数学理二轮复习专题第 5 页 共 14 页当 04 时 4，解得 44 时，y 0，那么，函数 f(x)在区间(a，b)内不一定没有零点来源:如果函数 f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，那么当函数 f(x)在区间(a，b)内有零点时不一定有 f(a)f(b)0.2 函数综合题的求解往往应用多种知识和技能因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决3 应用函数模型解决实际问题的一般程序 读 题文 字 语 言 建 模数 学 语 言 求 解数 学 应 用 反 馈检 验 作 答 与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答1 已知函数 f(x)( )xlog 2x，实数 a，b，c 满足 f(a)f(b)f(c)bCx 0c答案 D解析 函数 f(x)( )xlog 2x13在其定义域(0，)上是减函数，0f(b)f(c)又f(a) f(b)f(c)0，f(b)0，f(c )0，f( b)0，f(c )c 不可能成立，故选 D.2 若 f(x)1 ，当 x0,1时，f (x)x，若在区间(1,1 内，g(x)f( x)mxm 有1fx 1两个零点，则实数 m 的取值范围是 ( ) 来源:中。国教。育出。版网A0， ) B ，)12 12C0， ) D(0 ， 13 12答案 D解析 根据方程与函数关系设 x( 1,0)，则 x1(0,1)，f(x) 1 1，1fx 1 1x 1画出 f(x)在(1,1上的图象(如右图) ，g(x)f(x) mxm 在( 1,1上有两个零点，即 f(x)m(x 1)有两个不同根，即 yf(x) 与 ym(x1)有两个不同交点如右图，当过(1,0)的直线处于 l 与 x 轴之间时，满足题意，则 00，12 12 12f(3)log 23 1 0，13 13 23即 f(1)f(2)0，不成立，所以选 D.3 (2013天津)函数 f(x)2 x|log0.5 x|1 的零点个数为 ( )A1 B2 C3 D4答案 B解析 当 01 时，f( x)2 xlog0.5x12 xlog2x1， 来源:中国教育出版网 令 f(x)0 得 log2x x，(12)由 ylog 2x，y x的图象知在(1，) 上有一个交点，即 f(x)在(1，) 上有一个(12)零点，故选 B.4 根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位：分钟 )为f(x)Error!(A，c 为常数)已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件产品用时 15 分钟，那么 c 和 A 的值分别是 ( )A75,25 B75,16C60,25 D60,16答案 D解析 因为组装第 A 件产品用时 15 分钟，所以 15， cA所以必有 40)的解集为 P，则 P 中所有元素的和可能是 ( )A3,6,9 B6,9,12C9,12,15 D6,12,15答案 B解析 令 f(x)|x 26x| ，作图象如下：河北饶阳中学 2014 年数学理二轮复习专题第 11 页 共 14 页知 f(x)|x 26x| 的图象关于直线 x3 对称，它与直线 ya 交点的个数为 2,3 或 4 个所以方程根的和为 6,9,12.选 B.来源:中#教#网 z#z#s#tep6 (2013辽宁)已知函数 f(x)x 22( a2)xa 2，g(x) x 22(a2)x a 28.设 H1(x)maxf( x)，g( x)，H 2(x)minf (x)，g(x)(maxp，q表示 p，q 中的较大值，minp，q表示 p，q 中的较小值)记 H1(x)的最小值为 A，H 2(x)的最大值为 B，则AB 等于( )Aa 22a16 Ba 22a16C16 D16答案 C解析 f(x) x(a2) 244a，g(x)x( a2) 2124a，在同一坐标系内作 f(x)与 g(x)的图象(如图)依题意知，函数 H1(x)的图象(实线部分) ，函数 H2(x)的图象(虚线部分)H 1(x)的最小值 Af(a2) 44a，H2(x)的最大值 Bg(a2) 124a，因此 AB (44a)(124a)16.二、填空题7 函数 f(x)x 22 x的零点个数为_答案 3解析 由于 f(1)12 1 0，12又 f(0)011.三、解答题11已知函数 f(x)2 x，g(x ) 2.12|x|(1)求函数 g(x)的值域；(2)求满足方程 f(x)g( x)0 的 x 的值解 (1)g(x) 2 |x|2，12|x| (12)因为|x| 0，所以 00 时，由 2x 20，12x整理得(2 x)222 x10，(2 x1) 22，故 2x1 ，因为 2x0，所以 2x1 ，2 2即 xlog 2(1 )212某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3 元，并且每件产品需向总公司交 a元(3a5)的管理费，预计当每件产品的售价为 x 元(9x11)时，一年的销售量为(12x )2 万件(1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 L 最大？并求出 L 的最大值Q(a)解 (1)分公司一年的利润 L(万元)与售价 x 的函数关系式为 L(x3a)(12 x)2，x9,11 (2)L(x) (12x) 22(x 3a)(12x)(12x)(182a3x)令 L0 得 x6 a 或 x12(不合题意，舍去) 233a5，86 a .23 283在 x6 a 两侧，L的值由正变负23所以当 86 a1 时，判断 f(x)在0,2m上零点的个数，并说明理由解 (1)f(x) exm 1，令 f(x )0，得 xm.故当 x(，m)时，e xm 1，f ( x)0，f (x)单调递增当 xm 时，f (m)为极小值，也是最小值