差分方程—种群模型

差分方程 种群模型课本上的模型考虑的是人口 /种群的总量变化，在实际问题中，还要考虑种群的组成结构简单的种群增长模型 v 假设在一个自然生态地区生长着一群鹿 ,在一段时间内 ,鹿群的增长受资源制约的因素较小。试预测鹿群的增长趋势如何 ?下面将建立一个简单的鹿群增长模型。v 假设 : （ 1）公、母鹿占群体总数的比例大致相等 ,所以本模型仅考虑母鹿的增长情况； （ 2）鹿群中母鹿的数量足够大 ,因而可近似用实数来表示； （ 3）将母鹿分成两组 :一岁以下的称为幼鹿组 ,其余的称为成年组；简单的种群增长模型 v 假设 : （ 4）将时间离散化 ,每年观察一次 ,分别用 xn、 yn表示第n年的幼鹿数及成年鹿数，且假设各年的环境因素都是不变的 ; （ 5）分别用 b1,b2表示两个年龄组鹿的出生率 ,用 d1,d2表示其死亡率。出生率、死亡率为常数，记 s1=1-d1, s2=1-d2; （ 6）鹿的数量不受自然资源的影响 ; （ 7）刚出生的幼鹿在哺乳期的存活率为 s， t1=sb1, t2=sb2 简单的种群增长模型v 根据以上假设 ,建立模型如下n=0,1, v 或写成矩阵形式简单的种群增长模型v 令v 则模型可表示为v 于是可得到 un=Anu0， 即 v 其中 x0,y0分别是初始时刻的幼鹿数与成年鹿数。xn、 yn的解法v 假如 A可以对角化 ,先将 A对角化 ,如不能对角化 ,则将其化成约当标准型。对于本例 ,可作如下处理 ,令v 得到特征方程v 判别式v 特征方程有两个相异的实根 ,因此 A可以对角化。对应的特征向量分别为xn、 yn的解法v 由此得到v 因而xn、 yn的解法v 最终有v 即v 其中Leslie人口模型 v 现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用前面提出的差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。v 如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。v 20世纪 40年代提出的 Leslie人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。Leslie人口模型v 模型假设 (1) 将时间离散化，假设男女人口的性别比为 1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变化。假设女性最大年龄为 S岁，将其等间隔划分成 m个年龄段（不妨假设 S为 m的整数倍），每隔 S/m年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化 ; (2) 记 ni（ t）为第 i个年龄组次观察的女性总人数，记 n（ t） =n1（ t）， n2（ t）， n3（ t）， nm（ t）， T。第 i年龄组女性生育率为 bi （注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为 di，记si=1-di，假设 bi， di不随时间变化 ;Leslie人口模型v 模型假设v (3) 不考虑生存空间等自然资源的制约 ,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响 ;v (4) 生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。Setting up the Leslie Matrixv Concept of population vectorv Birthsv DeathsPopulation VectorN0N1N2N3.Nss+1 rows by 1 column(s+1) x 1Where, s=maximum ageBirthsN0 = N1F1 + N2F2 +N3F3 .+ FsNsNewborns = (Number of age 1 females) times (Fecundity of age 1 females) plus(Number of age 2 females) times (Fecundity of age 2 females) plus Note: fecundity here is defined as number of female offspringAlso, the term “newborns” may be flexibly defined (e.g., as eggs, newlyhatched fry, fry that survive past yolk sac stage, etc.MortalityNa,t = Na-1,t-1SaAnother way of putting this is, for age 1 for example:N1,t = N0,t-1S0-1 + N1,t-1 (0) + N2,t-1 (0) + N3,t-1 (0) + Number at age in next year = (Number at previous age in prior year) times (Survival from previous age to current age)Leslie MatrixN0N1N2N3.NsF0 F1 F2 F3 . F sS0 0 0 0 . 00 S1 0 0 . 0 0 0 S2 0 . 0.0 0 0 0 Ss-1 0=N0N1N2N3.Ns(s+1) x 1 (s+1) x (s+1) (s+1) x 1Leslie MatrixN0N1N2N3.NsF0 F1 F2 F3 . F sS0 0 0 0 . 00 S1 0 0 . 0 0 0 S2 0 . 0.0 0 0 0 Ss-1 0=N0N1N2N3.Nss x 1 s x s s x 1Leslie MatrixN0N1N2N3.NsF0 F1 F2 F3 . F sS0 0 0 0 . 00 S1 0 0 . 0 0 0 S2 0 . 0.0 0 0 0 Ss-1 0=N0N1N2N3.NsNt+1 = A Nt建立模型与求解v 根据以上假设，可得到方程i=1,2.,- 1建立模型与求解v 写成矩阵形式为 n(t+1)=L n(t)v 记v 假 设 n(0)和矩 阵 L已 经 由 统计资 料 给 出， 则n(t)=Ltn(0) t=1， 2， 其中 L=建立模型与求解v 为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件： (i) si 0， i=1， 2， ， m-1; (ii) bi0， i=1， 2， ， m，且 bi不全为零。 易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的。v 在条件（ i）、（ ii）下，下面的结果是成立的：v 定理 1 v L矩阵有唯一的单重正特征根 ，且对应的一个特征向量为v 定理 2 v 若 是矩阵 L 的任意一个特征根，则必有 v 定理 3 v 若 L第一行中至少有两个顺次的 bi， bi+10，则 i）若 是矩阵 L 的任意一个特征根，则必有 ii） v 其中 c是与 n（ 0）有关的常数。v 由定理 3的结论知道，当 t充分大时，有v 所以当时间充分大时，女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定形态，而各个年龄组的人口数近似地按 1的比例增长。可得到如下结论：v (i) 当 1时，人口数最终是递增的；v (ii) 当 1时，人口数最终是递减的；v (iii) 当 =1时，人口数是稳定的。 2007全国赛 A题：中国人口增长预测v 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测。v 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。 2007年初发布的 国家人口发展战略研究报告 (附录 1) 还做出了进一步的分析。2007全国赛 A题：中国人口增长预测v 关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录 2就是从 中国人口统计年鉴 上收集到的部分数据。v 试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录 2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的 中短期 和 长期 趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。v 看一看所给的数据！2007全国赛 A题：中国人口增长预测v 已有数据包括（分为 城市 、 城镇 和 乡村 三类） 各年龄段男、女性占总人口的比率 各年龄段育龄妇妇女生育率 各年龄段男、女性人口死亡率v 题目中涉及的因素还有 总和生育率 人口扶养比 老龄化率 出生人口性别比 人口红利这些因素之间是什么样的因果关系？谁决定了谁？用什么样的模型来描述这个问题？v 题目中给出了 2001年到 2005年的市、镇和乡人口不同性别的人在该类人口中所占的百分比（），以及死亡率数据和生育率数据 v 非机理模型 ：内部机制未知，从外部观测 (黑盒模型) 将各年总人口数据进行插值外推得到 这个模型对这个问题合适吗？v 机