数学模型姜启源第二章初等模型

第 二 章 初等模型2.1 公平的席位分配2.2 录像机计数器的用途2.3 双层玻璃窗的功效2.4 汽车刹车距离2.5 划艇比赛的成绩2.6 实物交换2.7 核军备竞赛2.8 启帆远航2.9 量纲分析与无量纲化2.1 公平的席位分配系别 学生 比例 20席的分配人数 （ % ） 比例 结果甲 103 51.5 乙 63 31.5丙 34 17.0总和 200 100.0 20.0 2021席的分配比例 结果10.8156.615 3.570 21.000 21问题三个系学生共 200名（甲系 100，乙系 60，丙系 40），代表会议共 20席，按比例分配，三个系分别为 10， 6， 4席。现因学生转系， 三系人数为 103, 63, 34, 问 20席如何分配。若增加为 21席，又如何分配。比例加惯例对丙系公平吗系别 学生 比例 席的分配人数 （ % ） 比例 结果甲 103 51.5 10.3 乙 63 31.5 6.3 丙 34 17.0 3.4 总和系别 学生 比例 席的分配人数 （ % ） 比例 结果甲 10乙 6丙 4总和席的分配比例 结果10.815 1173“公平 ”分配方法 衡量公平分配的数量指标人数 席位 A方 p1 n1B方 p2 n2当 p1/n1= p2/n2 时，分配公平p1/n1 p2/n2 对 A的 绝对不公平度p1=150, n1=10, p1/n1=15p2=100, n2=10, p2/n2=10p1=1050, n1=10, p1/n1=105p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者对 A的 不公平程度已大大降低 !虽二者 的 绝对不公平度相同若 p1/n1 p2/n2 ， 对 不公平A p1/n1 p2/n2=5公平分配方案应使 rA , rB 尽量小设 A, B已分别有 n1, n2 席，若增加 1席，问应分给 A, 还是 B不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ， 即对 A不公平 对 A的 相对不公平度将绝对度量改为相对度量类似地定义 rB(n1,n2)将一次性的席位分配转化为动态的席位分配 , 即“公平 ”分配方法若 p1/n1 p2/n2 ， 定义1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 则这席应给 A2）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，应计算 rB(n1+1, n2)应计算 rA(n1, n2+1)若 rB(n1+1, n2) p2/n2 问： p1/n1rA(n1, n2+1), 则这席应给 B当 rB(n1+1, n2) 车身的平均长度 15英尺 (=4.6米 )“2秒准则 ”与 “10英里 /小时加一车身 ”规则不同刹车距离反应时间制动器作用力、车重、车速、道路、气候 最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。车速常数反应距离制动距离司机状况制动系统灵活性常数假 设 与 建 模 1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和2. 反应距离 d1与车速 v成正比3. 刹车时使用最大制动力 F，F作功等于汽车动能的改变 ;F d2= m v2/2 F mt1为反应时间且 F与车的质量 m成正比 反应时间 t1的经验估计值为 0.75秒参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k模 型最小二乘法 k=0.06 计算刹车距离、刹车时间车速(英里 /小时 ) (英尺 /秒 )实际刹车距离（英尺）计算刹车距离（英尺）刹车时间（秒）20 29.3 42（ 44） 39.0 1.530 44.0 73.5（ 78） 76.6 1.840 58.7 116（ 124） 126.2 2.150 73.3 173（ 186） 187.8 2.560 88.0 248（ 268） 261.4 3.070 102.7 343（ 372） 347.1 3.680 117.3 464（ 506） 444.8 4.3“2秒准则 ”应修正为 “t 秒准则 ”模 型车速(英里 /小时 )刹车时间（秒）20 1.530 1.840 2.150 2.560 3.070 3.680 4.3车速（英里 /小时） 010 1040 4060 6080t（秒） 1 2 3 42.5 划艇比赛的成绩赛艇 2000米成绩 t (分 )种类 1 2 3 4 平均单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84艇长 l 艇宽 b(米 ) (米 ) l/b 7.93 0.293 27.09.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0空艇重w0(kg)浆手数 n16.313.6 18.114.7对四种赛艇（ 单人、双人、四人、八人） 4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。问题准备调查赛艇的尺寸和重量 l /b, w0/n 基本不变问题分析 前进阻力 浸没部分与水的摩擦力 前进动力 浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定划浆功率 赛艇速度赛艇速度前进动力前进阻力浆手数量 艇重浸没面积 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 运用合适的物理定律建立模型模型假设1）艇形状相同 (l/b为常数 ), w0与 n成正比2） v是常数，阻力 f与 sv2成正比符号：艇速 v, 浸没面积 s, 浸没体积 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 浆手数 n, 浆手功率 p, 浆手体重 w, 艇重 W艇的静态特性艇的动态特性3） w相同， p不变， p与 w成正比 浆手的特征模型建立f sv2 p w v (n/s)1/3s1/2 A1/3 A W(=w0+nw) n s