数模(差分方程模型)1

数学建模电子教案重庆邮电大学数理学院沈世-数学建模差分方程模型重庆邮电大学数理学院沈世云-数学建模7.1 差分方程基本知识7.2 市场经济中的蛛网模型7.3 减肥计划 节食与运动7.4 差分形式的阻滞增长模型7.5 按年龄分组的种群增长第七章 差分方程模型-数学建模7.1 差分方程基本知识 1、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。-数学建模Fibonacci 数列问题问题13世纪意大利著名数学家 Fibonacci在他的著作 算盘书 中记载着这样一个有趣的问题：一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔 . 若不计兔子的死亡数，问一年之后共有多少对兔子？月份 0 1 2 3 4 5 6 7 幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 总 数 1 1 2 3 5 8 13 21 -数学建模将兔群总数记为 fn, n=0,1,2, ， 经过观察可以发现，数列 fn满足下列递推关系：f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2,这个数列称为 Fibonacci数列 . Fibonacci数列是一个十分有趣的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用 .Fibonacci数列的一些实例 . 1. 蜜蜂的家谱2. 钢琴音阶的排列3. 树的分枝4. 杨辉三角形-数学建模日常的经济问题中的差分方程模型1. 银行存款与利率银行存款与利率假如你在银行开设了一个 1000元的存款账户，银行的年利率为 7%. 用 an表示 n年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：a0, a1, a2, a3, , a n,设 r为年利率，由于 an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型是：a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3, -数学建模2. 家庭教育基金家庭教育基金从 1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度 . 为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入 x元作为家庭教育基金 . 若银行的年利率为 r， 试写出第n年后教育基金总额的表达式 . 预计当子女 18岁入大学时所需的费用为 100000元，按年利率 3% 计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元 ?设 n年后教育基金总额为 an， 每年向银行存入 x元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,-数学建模3 . 抵押贷款抵押贷款小李夫妇要购买二居室住房一套，共需 30万元 . 他们已经筹集 10万元，另外 20万元申请抵押贷款 . 若贷款月利率为 0.6% ，还贷期限为 20年，问小李夫妇每月要还多少钱？设贷款额为 a0， 每月还贷额为 x，月 利率为 r，第 n个 月后 的 欠款额为 an， 则a0=200000,a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,-数学建模一阶线性差分方程一阶线性差分方程在上述模型中，给出了 an+1与 an之间的递推公式 . 将它们写成统一的形式：a0=c, an+1=an+b, n=0,1,2,3,称此类递推关系为 一阶线性差分方程一阶线性差分方程 . 当 b=0时称为齐次差分方程，否则称为非齐次差分方程 .定义定义 1 对任意数列 A=a1,a2,a n, ， 其差分算子 定义如下：a1=a2-a1, a2=a3-a2, an=an+1-an, 定义定义 2 对数列 A=a1,a2,a n, ， 其一阶差分的差分称为二阶差分 , 记为 2A=(A). 即：2an= an+1- an=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an一般地，可以定义 n阶差分 .-数学建模差分方程差分方程 an+1= an+b的解的解定理定理 1 一阶线性差分方程 an+1= an+b 的通解是：定理定理 2 对一阶线性差分方程 an+1= an+b,若 | |1, 则 an逐渐远离平衡解 b/(1- ) (发散型不动点 ).-数学建模则被称为方程对应的 齐次线性差分方程 。若所有的 ai(t)均为与 t无关的常数，则称其为 常系数差分方程 ，即 n阶常系数线性差分方程可分成（ 7.1） 的形式，其对应的齐次方程为（ 7.2） 容易证明，若序列 与 均为方程（ 7.2）的解，则也是方程（ 7.2）的解，其 中 c1、 c2为任意常数，这说明，齐次方程的解构成一个 线性空间 （解空间）。 此规律对于（ 7.1）也成立。-数学建模方程（ 7.1）可用如下的代数方法求其通解：（ 步一 ）先求解对应的特征方程 （ 7.3） （ 步二 ）根据特征根的不同情况，求齐次方 程 (7.2） 的通解情况 1 若特征方程（ 7.3）有 n个互不相同的实根, , ，则齐次方程（ 7.2）的通解为(C1, ,Cn为任意常数 )，情况 2 若 是特征方程（ 7.3）的 k重根，通解中对应 于 的项为为任意常数， i=1, ,k。情况 3 若特征方程（ 7.3）有单重复根 通解中对应它们的项为 为 的模， 为 的幅角。 -数学建模情况 4 若 为特征方程（ 7.3）的 k重复根，则通 解对应于它们的项为为任意常数， i=1, ,2k。 .若 yt为方程 (7.2)的通解 ,则非齐次方程 (7.1)的通解为（ 步三 ） 求非齐次方程 (7.1)的一个特解求非齐次方程（ 7.1）的特解一般要用到 常数变易法 ，计算较繁。对特殊形式 的 b(t)也可使用 待定系数法 。 -数学建模初始条件为 y(0)=2和 y(1)=3，求方程的齐次解。例 2.系统的差分方程特征根为于是由初始条件解得：故齐次解解：特征方程为-数学建模2、特解特解得求法：将激励 x(n)代入差分方程右端得到自由项，特解的形式与自由项及特征根的形式有关。（ 1）自由项为 nk的多项式1不是特征根：1是 K重特征根：-数学建模（ 2）自由项为不是特征根， 则特解是特征单根， 则特解是 k重特征根， 则特解-数学建模（ 3）自由项为正弦 或余弦 表达式（ 4）自由项为正弦不是特征根是特征根-数学建模例 3： 求下示差分方程的完全解其中激励函数 ，且已知解：特征方程：齐次通解：将 代入方程右端，得12)1()1()( 22 -=-=- nnnnxnx设特解为 形式，代入方程得-数学建模-数学建模-数学建模日常的经济问题中的差分方程模型1. 银行存款与利率银行存款与利率假如你在银行开设了一个 1000元的存款账户，银行的年利率为 7%. 用 an表示 n年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：a0, a1, a2, a3, , a n,设 r为年利率，由于 an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型是：a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3, -数学建模2. 家庭教育基金家庭教育基金从 1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度 . 为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入 x元作为家庭教育基金 . 若银行的年利率为 r， 试写出第n年后教育基金总额的表达式 . 预计当子女 18岁入大学时所需的费用为 100000元，按年利率 3% 计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元 ?设 n年后教育基金总额为 an， 每年向银行存入 x元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,-数学建模家庭教育基金模型的解家庭教育基金模型的解由 a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,得 通解 :将 a0=x, =1+r, b=x 代 入 , 得 c =x(1+r)/r, 因此方程的特解是 :将 a18=100000,r=0.03 代 入计算出 x=3981.39.-数学建模3 . 抵押贷款抵押贷款小李夫妇要购买二居室住房一套，共需 30万元 . 他们已经筹集 10万元，另外 20万元申请抵押贷款 . 若贷款月利率为 0.6% ，还贷期限为 20年，问小李夫妇每月要还多少钱？设贷款额为 a0， 每月还贷额为 x，月 利率为 r，第 n个 月后 的 欠款额为 an， 则a0=200000,a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,-数学建模购房抵押贷款模型的解购房抵押贷款模型的解由 a0=200000, an+1=(1+r)an-x, n=0,1,2,3,将 =1+r, b=-x 代入得到方程的特解 :若在第 N个月还清贷款，令 aN=0, 得 :将 a0=200000, r =0.006, N=20*12=240 代 入计算出 x=1574.70-数学建模4 . 分期付款分期付款小王看到一则广告：商场对电脑实行分期付款销售 . 一台售价 8000元的电脑，可分 36个月付款，每月付 300元即可 . 同时他收到了银行提供消费贷款的消息： 10000元以下的贷款，可在三年内还清，年利率为 15%. 那么，他买电脑应该向银行贷款，还是直接向商店分期付款？经过分析可知，分期付款与抵押贷款模型相同 . 设第 n个月后的 欠款额为 an， 则a0=8000,an+1=(1+r)an-300, n=0,1,2,3,贷款模型a0=8000,an+1=(1+0.15/12)an-x, n=0,1,2,3,-数学建模7.2 市场经济中的蛛网模型问 题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降 减少产量增加产量 价格上涨 供不应求描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡-数学建模蛛 网 模 型gx0y0 P0fxy0x