初中数学九年级上册《实际问题与一元二次方程》专题复习

- 1 -新人教版初中数学九年级上册实际问题与一元二次方程专题复习列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程，解方程，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步提高分析问题、解决问题的意识和能力。在利用一元二次方程解决实际问题，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性主要学习下列两个内容：1. 列一元二次方程解决实际问题。一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答六个步骤，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组) 的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键. 主要设置了【典例引路】中的例 1、例 2、例 4.【当堂检测】中的第 1、2 题， 【课时作业】中的第 1，2，11 题. 2. 一元二次方程根与系数的关系。一般地，如果一元二次方程 ax2bxc0（a0）的两个根是1x和 2，那么 acxbx=,+2121-主要设置了【典例引路】中的例 3.【当堂检测】中的第 4 题，【课时作业】中的第 6、7 题. 点击一： 列方程解决实际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力，列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程.概括来说就是实际问题数学模型数学问题的解实际问题的答案 .一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：(1)审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系.(2)设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设( 分直接与间接).(3)列：是指列方程，根据等量关系列出方程.(4)解：就是解所列方程，求出未知量的值.(5)验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不满足要求的应舍去.(6)答：即写出答案，不要忘记单位名称.总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组) 的基础，找出相等关系是列方程 (组)解应用题- 2 -的关键.针 对 练 习 1: 某城市 2006 年底已有绿化面积 300 公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到 2008年底增加到 363 公顷设绿化面积平均每年的增长率为 x，由题意，所列方程正确的是（ ）A300(1x)=363 B300(1x) 2=363C300(12x)=363 D363(1x) 2=300【解析】B 设平均增长百分率为 x，由题意知基数为 300 公顷，则到 2004 年底的绿化面积为：300+300x=300（ 1+x）（公顷）；到 2008 年底的绿化面积为： 300（1+x）+300（1+x）x=300（1+x） 2 公顷，而到 2008 年底绿化面积为 363 公顷，所以 300(1x) 2=363 点击二：一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系。一般地，如果一元二次方程 ax2bxc0（a0）的两个根是 1x和2x，那么 acxbx=,+2121-针 对 练 习 2: 先阅读，再填空解题：(1)方程：x 2x2=0 的根是： x1=3, x 2=4，则 x1+x2=1，x 1x2=12；(2)方程 2x27x+3=0 的根是：x 1= , x2=3，则 x1+x2= 7，x 1x2= 3；(3)方程 x23x+1=0 的根是：x 1= , x2= .则 x1+x2= ，x 1x2= ；根据以上（1)(2)(3）你能否猜出：如果关于 x 的一元二次方程 mx2+nx+p=0（m0 且 m、n、p 为常数）的两根为 x1、x 2，那么x1+x2、x 1、x 2 与系数 m、n、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由.【解析】本题首先请同学们阅读两个一元二次方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系，再通过第 3 个方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系特点，归纳猜想出一元二次方程的两个根与系数的关系.【解答】 .253,251=+xx.,3121=猜想 .,211 mpxn=一元二次方程 mx2+nx+p=0(m0，且 m，n，p 为常数) 的两个实数根是.24,4221 xmpnx=+- 3 - mnpnmpnx =+=242421， .4)()22221 mp=【评注】本题是探索一元二次方程根与系数之间的关系.关于 x 的一元二次方程 mx2+nx+p=0(m0，且m，n，p 为常数)的两根为 x1，x 2，那么 .,2121 mpnx=+由方程，的根与系数的关系特点，通过观察、比较、猜想发现一般性规律，并进行验证，培养同学们由特殊到一般的数学思想方法.类型之一：建立一元二次方程模型解应用题例 1 甲、乙两人分别骑车从 A、B 两地相向而行，甲先行 1 小时后，乙才出发，又经过 4 小时两人在途中的 C 地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由 C 地到达 A 地的途中因故停了 20 分钟，结果乙由 C 地到达 A 地时比甲由 C 地到达 B 地还提前了 40 分钟，已知乙比甲每小时多行驶 4 千米，求甲、乙两人骑车的速度.【解答】设甲的速度为 x 千米/时，则乙的速度为 （x+4 ）千米/ 时.根据题意，得 54()204.6解之,得 x1=16，x 2=2.经检验：x 1=16，x 2=2 都是原方程的根，但 x2=2 不合题意，舍去.当 x=16 时，x+4=20.答：甲每小时行驶 16 千米，乙每小时行驶 20 千米.例 2 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出 2 件，若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？【解析】设每件衬衫降价 x 元，则每件衬衫盈利(40x)元，降价后每天可卖出 (20+2x)件，由关系式：总利润= 每个商品的利润 售出商品的总量，可列出方程【解答】设每件衬衫降价 x 元，依题意，得(40x)(20+2x)=1200，整理得：x 230x+200=0，解得：x 1=10，x 2=20，因为要尽快减少库存，所以 x=10 舍去- 4 -答：每件衬衫应降价 20 元类型之二：一元二次方程的根的判别式的应用例 3 阅读材料：如 果 1x， 2是 一 元 二 次 方 程 20axbc的 两 根 ， 那 么 有 1212,bcxxa. 这是一元 二 次方 程 根 与 系 数 的 关 系 ， 我 们 利 用 它 可 以 用 来 解 题 ， 例 如 ,是 方 程 630的 两 根 ， 求21x的 值 .解 法 可 以 这 样 ： 126,x123,x则22112()x()()4.请你根据以上解法解答下题：已知 12,x是方程 240x的两根，求：（1） 12的值；（2） ()x的值.【解析】先由公式 x1+x2= ab,x1x2= c,求出 x1+x2,x1x2,再化 + 化为 , (x1x 2)2 化为(x 1+x2)1x1 1x2 x1+x2x1x224x 1x2.【答案】 x 1+x2=4, x1x2=2. (1) + = = =2. (2) (x1x 2)2=(x1+x2)24x 1x2=4242=8.1x1 1x2x1+x2x1x2 42【感悟】本题属于阅读理解题,解此类问题关键理解材料中知识与方法,从中获得知识迁移.类型之三：综合应用例 4. 某商场将每件进价为 80 元的某种商品原来按每件 100 元出售，一天可售出 100 件后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低 1 元，其销量可增加 10 件（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价 x 元，商场一天可获利润 y 元若商场经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价多少元？求出 y 与 x 之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当 x 取何值时，商场获利润不少于 2160 元？【解析】本题是以商场经营为素材的利润问题，解题的关键是理解降价与销售数量增加量之间的关系，根据每天盈利的计算，即“每天盈利每件的利润销售数量”作为等量关系列方程或列函数关系式，第（2）的第小题，考查了函数及其图象，并用图象确定商场获利润不少于 2160 元的 x 的取值范围，体现了数形结合的数学思想。- 5 -【解答】若商店经营该商品不降价，则一天可获利润 100（10080）2000（元） 依题意得：（10080x）（100+10x）2160 即 x 210x+16=0 解得：x 1=2,x 2=8 经检验：x =2,x =8 都是方程的解，且符合题意. 答：商店经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价 2 元或 8 元. 依题意得：y=（10080x）（100+10x） y= 10x 2+100x+2000=10(x 5) 2+2250 画草图（略） 观察图像可得：当 2x8 时，y2160当 2x8 时，商店所获利润不少于 2160 元 1.如果一个不为零的数的平方等于这个数的两倍,那么这个数是( )A.偶数 B.奇数 C.偶数或奇数 D.不一定是整数【解析】A 设这个数为 x.由题意 ,得 x2=2x,解得 x1=0,x2=2.故选 A.2. 在一幅长 80 cm,宽 50 cm 的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边 ,制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个挂图的面积是 5 400 cm2,设金色纸边的宽为 x cm,那么 x 满足的方程是( )A.x2+130x1 400=0 B.x2+65x350=0C.x2130x1 400=0 D.x265x350=0【解析】B 上、下两条金色纸边的面积一样 ,左、右两条金色纸边的面积一样,2(80+x)x+2(50+x)x+8050=5 400.3. 恒利商厦九月份的销售额为 200 万元，十月份的销售额下降了 20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了 193.6 万元，求这两个月的平均增长率- 6 -【解析】这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式 m(1+x)2n 求解，其中 mn对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式 m(1x) 2n 即可求解，其中 mn【解答】设这两个月的平均增长率是 x，则根据题意，得 200(120%)(1+ x)2193.6，即(1+x) 21.21，解这个方程，得 x10.1，x 22.1（舍去）答：这两个月的平均增长率是 10%4. 若 ， 是方程 205x的两个实数根，则 23的值为（ ）2005 2003 2005 4010【解析】B 由于所求的两根代数式非对称，故只用韦达定理难于解决，结合根的定义，把23化为对称式因为 是方程 205x的根，故 205，从而 205，所以=2005 ，而 2，故 32003.1. 从一块正方形的铁片上剪掉 2 cm 宽的长方形铁片，剩下的面积是 48 cm2，则原来铁片的面积是( )A.64 cm2 B.100 cm2 C.121 cm2 D.144 cm2【解析】A 本题用间接设元法较简便，设原铁片的边长为 xcm.由题意，得 x(x2)=48，解得x1= 6(舍去)，x 2=8.x 2=64，即正方形面积为 64 cm2.2. 如图，某工厂直角墙角处，用可建 60 米长围墙的建筑材料围成一个矩形堆货场地，中间用同样的材料分隔成两间，问 AB 为多长时，所围成的矩形面积是 450 平方米？【解析】等量关系为：长宽=450，如果设 AB 为 x 米，那么 BC 的长可表示为(60 2x)米，根据矩形的面积公式可列出方程.【解答】设 AB 的长为 x 米，则 BC=(602x)米.根据题意，得 x(602x)=450. 解得 x=15.即 AB=15 米.答：AB 为 15 米时，所围成的矩形面积是 450 平方米.3. 某厂制造某种商品 ,原来每件产品的成本是 100 元,由于不断改进设备 ,提高生产技术,连续两次降低成本,两次降价后的成本是 81 元,则平均每次降低成本的百分率是 ( )A.8.5% B.9% C.9.5% D.10%- 7 -【解析】D 降低百分率与增长率问题类似,这里依据的基本等量关系为基础数(1降低率) 降低次数 =降低后的数量.5. 某厂制造某种商品，原来每件产品的成本是 100 元，由于不断改进设备，提高生产技术，连续两次降低成本，两次降价后的成本是 81 元，则平均每次降低成本的百分率是 ( )A.8.5% B.9% C.9.5% D.10%【解析】D 降低百分率与增长率问题类似，这里依据的基本等量关系为基础数(1降低率) 降低次数=降低后的数量 .设平均每次降低成本的百分率为 x.由题意，得 100(1x) 2=81.解得 x1=0.1=10%，x 2=1.9(舍去) ，x=10%.6. 已知 、 是方程 ,03的两个根，那么 21x的值是（ ）A.1 B.5 C.7 D. 49【解析】C 根据根与系数的关系， 12x， 32x，又因为 21x = 2121)(xx，所以 21x=7.7. 某两位数的十位数字是方程 x28x=0 的解，则其十位数是_.【解析】解方程 x28x=0，得 x1=0，x 2=8，由于两位数的十位数字不能为 0，x=0(舍去).十位数字为 8.【答案】88