小学数学思维校本课程教材

回族区南关小学特 色 校 本 课 程数学思维训练教程五年级数学思维训练兴趣小组试用回族区南关小学五年级数学思维训练兴趣小组活动目的：通过配合课堂教学，延伸课内知识，进行有计划、有步骤的课外数学思维能力专项训练，对于进一步激发学有余力学生的学习兴趣、开阔数学视野、培养数学思维、掌握数学学习方法具有莫大的好处，为学生中学阶段学好数学奠定坚实的基础。动内容活：自编数学思维训练教材，主要包括小数的简便运算和循环小数与计算 、数的整除、质数与合数、分解质因数、因数的个数与因数的和、最大公因数与最小公倍数、奇数与偶数、巧算表面积和体积等。活动时间：每周四下午两节课后进行（其中，期中考试和期末考试复习期间暂停 3 次）活动地点：多媒体教室组织办法：在开学第二周，在学生自愿报名的基础上，结合学生平时的数学学习情况，选拔活动小组成员。效果评价：以作业、上课表现和测试结果来进行评价。参加人员：五年级学生指导教师：王建民第一讲 小数乘法的运算技巧探究目标：1、能熟练的根据乘法运算的规则、数字特征、运算定律、性质、公式等，进行简算和速算。2、培养善于观察、灵活运用基础知识的能力，能正确、迅速、合理、灵活的解答有关运算问题。3、养成整体观察、深入理解、有序思考、细心解题的良好习惯。探究过程：例 1 计算：（1）438.95 （2）574.62 25解析：（1）由于 5=102，因此，可以先把 438.9 乘以 10，再除以 2，所得的商就是 438.9 与 5 的积。即解： 438.95=43892=2194.5（2）由于 25=1004，因此，可以先把 574.62 乘以 100，再除以 4，所得的商就是 574.62 乘 25 的积。即解： 574.6225=574624=14365.5或 574.6225=574.624100=14365.5例 2 计算（1）47.390.5 （2）12.3480.25解析： （1）47.390.5=473.95= 473.9210=94.78（2）12.3480.25 或 12.3480.25=1234.825 =1234.825=1234.855 =1234.84100=246.965 =4939.2100=49.392 =49.392例 3:计算 1.250.250.0564解析：根据题目中的数字特点，为了凑整，将 64 分解成248，然后根据乘法交换律和结合律进行简算。解： 1.250.250.0564=1.250.250.05(248)=(1.288)(0.254)(0.052)=1010.1=1例 4：计算：9.7283.22.5解析：全面观察题目，由运算定律性质改变运算顺序，使运算变得简便。解： 9.7283.22.5=9.728（3.22.5）=9.28（0.842.5）=9.7280.8（42.5）=9.728（810）=9.7288=1.216巩固练习：一、填空1.（3.60.751.2）（1.5240.18）=（ ）2.在口里填上合适的数或运算符号。（1）41.25口8=10（2）4.80.40.12=4.8（0.4 口 0.12）（3）320.1250.25=口0.125口0.25二、选择1.选面除法算式商最大的是（ ） 。A. 2.0210.08 B.20218C 20210.8 D. 2.02182.下面的乘法算式积最大的是（ ）A 999.999.99 B. 999.9999.9C 999999 D. 99.9999.993. CDEA.B=A.CDE 是用数字表示的一个小数乘法算式，题种每一个字母表示一个数字，如果 A.CDEC.DE 则，A.B 这个小数是（ ）A. 1.5 B. 0.1 C. 1.1 D. 0.2 三、计算下列各题。1、 0.994.52、 3.62.53、 0.50.80.041.250.20.0254、 0.1250.250.5645、 4.672534.672536、 (4.87.58.1)（2.42.52.7）7、 1.250.25643.1760.58、 4.2726.83.5942.72.6835.99、 0.52.5960.12510、5.616.50.71.1第二讲 循环小数探究目标：1、能根据循环小数的结构特点，正确解答循环小数问题。2、提高分析、推理，综合运用知识的能力，正确、迅速解答有关数学问题。探究过程：例 1 有一个三位小数，四舍五入后成为 8.70，原来的三位小数可能是哪些小数？解析：分两种情况考虑：四舍；五入。解：四舍不进位的 8.70，那么原来千分位上的数字只能是1,2,3,4 所以原数为 8.701, 8.702, 8.703, 8.704。五入进位后的 8.70，那么原数百分为上的数字为 9，十分位上的数字为 6，而千分位上的数字只能是 5,6,7,8,9，所以原数为 8.695, 8.696, 8.697, 8.698, 8.699。答：原来的三位小数可能是 8.695,8.697,8.698,8.699. 8.701, 8.702, 8.703, 8.704。例 2 把小数 0.987654321 变成循环小数。（1）如果把表示循环节的两个点加载 7 和 1 上面，则此循环小数第 200 位上是几？（2） 如果要第 100 位上数字是 5，那么表示循环节的两个点应分别加在哪两个数字上面？解析：（1） 由于循环节的两个点加在 7 和 1 上面那么循环节应是 7 位数。因为（200-9）7=272（即循环节的第二位） ，所以此循环小数的第 200 位上的数是 6.（3） 由已知可知，第 100 位上的数字是 5，则后面四位的数字应依次是 4,3,2,1。那么（104-9）=95 位包含的是若干个完整的循环节。又因为 95=519，所以循环节应是 5 位，即表示循环节的两个点应加在 5 或 1 的上面。答：（1）第 200 位上的数字是 6.（2）表示循环节的两个点因分别在 5 和 1 的上面。例 3 一个数与它自己相加、相减、相除，其和、差、商相加和为 8.6，这个数是几？解析：一个数与它自己相减的差等于 0，一个不等于 0 的数与它自己相除的商等于 1.根据“和、上、差、商相加的和是 8.6”这一条件可知 解： 一个数20+1=8.6（8.6-1）2=3.8答：这个数是 3.8。例 4 循环小数 0.2837564（2837564 循环）与0.2837564（2837564 循环）在小数后面第几位时，在该位上的数字都是 6。解析：循环小数 0.2837564（2837564 循环）的循环节是七位与0.2837564（2837564 循环）的循环节是五位，7 与 5 的最小公倍数是 35，所以两个循环小数在小数点后面第 35 位上的数字都是 6。例 5 两个小数相乘，他们的乘积四舍五入后是 60.0，这两个数都是一位小数，这两个小数的整数部分都是 7，那么两个小数的乘积四舍五入以前是多少？解析：由题意，可知这两个带小数在 7.1 到 7.9 之间，又因为60.08=7.5，所以这两个数都必须大于 7.5，即在 7.6 到 7.9 之间。对此进行逐个检验：7.67.9=60.04；7.67.8=59.28.则这两个小数的乘积四舍五入前是：60.04.巩固练习：1、在混循环小数 3.62890123（3 循环）的某一位上再添一个表示循环的点后，使得：（1）新的循环小数尽可能大（2）新的循环小数尽可能小。分别求出新的循环小数各是多少？2.甲、乙两个数的和是 303.49，若果乙数的小数点向左移动一位就等于甲数，那么甲、乙数各是多少？3、有一个四位数在他某位数上加以个小数点，在和这个四位数相加得 1258.46，问这个四位数是多少？4、一个小数，若把小数点向右移动一位，所得的数比原数增大了 42.84，问原数是多少？5、循环小数 0.28375463（28375463 循环）与0.4972163（72163 循环）在小数点后几位时，在该位上数字是 3？6.在小数 0.7082169453 中，添上表示循环节的两个点，使它变成循环小数。（1）如果把两个点加在 8 和 3 的上面，那么第 100 位的数应该是几？（2）如果要使第 100 位上的数字是 5，那么表示循环节的两个点应分别加在哪两个数字的上面？ 第三讲 灵活求和差积商探究目标1、根据运算定律和性质，运用“凑整” “拆数” “等积变形”改变运算顺序和方法，进行速算和巧算。2、培养整体观察，综合运用知识及合理灵活的理解能力。3、养成对任何一个算式，都要作整体观察，全面统筹，深入理解，不盲目硬算，在千变万化的运算过程中，随时注意运用简算，速算的良好习惯。探究过程例 1 计算：7.4636+74.664解析：通过整体观察，将 6.4 扩大 10 倍，74.6 缩小 10 倍，利用乘法分配律使计算简便。解：原式=7.46 36+7.4664=7.46（36+64 ）=7.46100例 2 计算：12403.4+1.242300+12.4 430解析：先把题中的 1240,1.24 和 12.4 转化为 124，然后再想有多少个 124.解：原式=124 34+12423+12443=124（34+23+43）=124100=12400例 3 计算：4311.8+8600.91解析：将 860 分解成 4320,43 是两个乘法计算的共同因数，利用乘法分配律使运算简便。解：原式=43 11.8+43200.91=4311.8+43（20 0.91）=4311.8+4318.2=43（11.8+18.2）=4330=1290例 4 计算：7.52.3+1.92.5+12.5 0.4解析：7.5 与 2.5 互为补救，将 2.3 拆成 1.9+0.4，得7.51.9+7.50.4，利用乘法分配律使运算简便。解：原式=7.5 （1.9+0.4）+2.51.9+12.5 0.4=7.51.9+7.50.4+2.51.9+12.50.4=（7.5 1.9+2.51.9）+（7.50.4+12.50.4）=1.9（7.52.5）+0.4 （7.5+12.5 ）=27例 5 计算：0.169.85+2640.0985+72 0.985解析：先利用积的变化规律，再利用乘法分配律使运算简便。解：原式=1.6 0.985+26.40.985+720.985=0.985（ 1.6+26.4+72）=0.985100=98.5巩固练习1. 1 52.34.84.831.154.821.152. 6.327+1.9213. 2.47.6+6.57.6+0.76+7.64. 0.04952500+4950.24+514.956. 0.9+9.9+99.9+999.9+9999.9+99999.9+999999.97. 15.377.889.377.8815.372.128. 4.6532+2.546.5+0.465430第四讲 数的整除 探究目标：1.在掌握能被 2、3、4、5、7、9、11 等特殊数整除特征的基础上，能判断整除，并根据整出性求整数。2.灵活运用数的整除概念、性质及特征，熟悉数的整除的主要问题及其解题方法和技能技巧。探究过程：例 1： 在 568 后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被 3.、4、5 整除，并且要求这个数值尽可能小，这个六位数是多少？解析： “首先根据能被 5 整除数的特征，确定这个六位数的个位是 0 或 5。根据能被 4 整除的数的特征：这个数的未两位数能被 4 整除，确定这个六位数的个位只能是 0，十位可能是0、2、4、6、8。根据能被 3 整除的数的特征：个位上的数字和能被3 整除，5+6+8=19，且“这个数尽可能小” ，19+2=21, 21 能被 3 整除则百位上数字与十位上数字和最小为 2，所以百位上数字是 0，十位上数字是 2.解：根据能被 3、4、5 整除的数的特征判断，这个数最小是568020。例 2：2002 年 5 月 25 日是星期六，问在经过 2003 2003 20032003 天是星期几？解析： 这道题首先考虑 2003 2003 20032003 能否被 7 整除，或者被 7 除余数是几。解： 200320032003=2003100010001=2003（714287143）所以，200320032003 可以被 7 整除，从而可以把 3 个 2003 看成一“节” ，20043=668，共 688 节，每一节能被 7 整除，688 节也可以被 7 整除。所以再过 2003 2003 20032003 天仍然是星期六。例 3： 超市里有 6 筐货物，分别重16、19、20、18、15、31 千克。两顾客买走其中 5 箱货物，而且一个顾客的货物重量是另一个顾客的 2 倍，超市里剩下的那箱货物是多少千克？解析： 由“一个顾客买的货物重量是另一个顾客的 2 倍” ，可知，两个顾客买走的 5 箱货物总量应是（1+2）=3 的倍数，6 箱的总重量是 16+19+20+18+15+31=119（千克） 119+3=392，因为卖出的 5 箱货物总量是 3 的倍数，所以剩下的那箱货物重量除以 3应余 2，6 箱中只有 29 除以 3 余 2，所以剩下的货物时 20 千克。解：（16+19+20+18+15+31）（1+2）=392203=62答：剩下的那箱货物重量是 20 千克。巩固练习1、 一个四位数 92既有因数 2，又是 3 的倍数，同时又能被 5 整除。这个四位数最大是多少？2、把 789 连续写几次得到的数，能被 9 整除，这个数最小是多少？3、 7 箱油分别是汽油、柴油、机油，它们的容量分别是 12 升、13 升、16 升、17 升、22 升、27 升和 32 升。现在知道汽油有一箱，而柴油总量是机油的 3 倍，但不知哪箱是什么油。请判断出每只箱里装的各是什么油？4、一个五位数，能被 3 整除，而且读这个数时必须读出两个零，这样的五位数最小是什么数？5、五年级有 72 名学生每人买了一本新华字典 。共交书费43.5元。首位数字被污迹遮盖。每本新字典多少元？6、植树节那天，学生把 55 棵树分给三个班栽，一班分到的棵树是二班的 2 倍，三班最少，但也多于 10 棵，这三个班各栽树多少棵？第五讲 质数与合数探究目标：1. 掌握指数，合数的定义。2. 养成准确掌握数学概念、区分概念和灵活运用概念的良好习惯。探究过程：例 1： 判断 119 和 227 两个数是质数还是合数解析： 先找一个大于 119 且接近 119 的平方数 a2，再写出比 a小的所有质数，然后判断 119 能否被这些质数整除。 解：因为 119 小于 11, 质数有 2.3.5.7。119 是合数。因为 227小于 16，小于 16 的质数有 2.3.5.7.11.13。227 不能被 2.3.5.7.11.13整除所以 227 是质数。例 2： A 是一个互质数，而且 A+6,A+8，A+12,A+14 都是互质数，则 A 最小是多少？解析： 这道题可从最小的质数试算，A=2 不可能，因为偶+偶=偶数，不是质数。A=3，则 A=6=9,9 是合数，所以 A#3,。A=5,则 A+6=11,A+8=13.A+12=17，A+14=19，11 、13、17、19 都是质数，所以 A=5。解：试算 A=2、A=3、A=5可知 A=5答：A 最小是 5.例 3： 三个质数的和为 38，求这三个质数的乘积最大值是多少？解析： 三个质数的和是偶数，所以这三个数中必有一个是偶数，在质数中只有 2 是偶数，那么三个数中一定有一个质数是 2.另外两个数的和是 36，要使乘积尽可能大，那么这两个质数尽可能接近。解：38=2+17+1921719=646答：这三个质数的乘积最大是 646。巩固练习1、 判断 437、541 是质数还是合数？2、 N 是质数，并且 N+4、N+6、N+10 都是质数，求 N 最小是多少？3、 两个质数的和为 50，求这两个质数的乘积最大是多少？4、判断 299 和 461 两个数是质数还是合数？5、有这样一个质数，它分别加上 2、8、14、26 后，得到的仍为质数，这个质数最小是多少？6、 将 80 分成 8 个质数的和，要求其中一个质数尽可能大，那么这个最大的质数是多少？第六讲 分解质因数探究目标：1. 掌握分解质因数的方法，能用质因数的积的形式表示一个合数。2. 灵活运用相关知识解答综合问题。探究过程：例 1： 长、宽均为自然数，面积为 105 的形状不同的长方形共有多少种？解析： 面积为 105，105 是长与宽的乘积。可把 105 分解质因数，再写成两个自然数相乘的形式。解：105=3 57=1105=325=521=715答：面积为 105 的形状不同的长方形共有 4 种。例:2： 用 216 元去买一种拖鞋，正好将钱用完，如果每双拖鞋便宜 1 元，则可多买 3 双，钱正好用完，求一共买了多少双拖鞋？解析： 根据单价数量=总价，可将总价 216 元分解质因数，再写成两个数相乘的形式。解：216=2 22333216=（33）（2223）=（222）（333）=924=827答：一共买了 24 双拖鞋。例 3： 在 12345200 的末尾连续有多少个零？解析： 25=10,2252 =100，2 353 =1000在相乘的各个因数中，如果把它们分解质因数，产生一个 2 和一个 5，末尾就会出现一个 0，在这一串因数中，含有因数 2 的个数远多于含有因数 5 的个数。因此，只需求出乘积中有几个 5 的因数，就只有几个零。解： 2005=40（个）200（55）=8（个）200 （555）=1（个）7540+8+1=49（个） 答：积的末尾有 49 个零。巩固练习1、 学校进行大型团体操表演，用 180 名学生参加，现在排成每行人数在 10 至 20 之间，共有几种排法？2、 刘聪是个小学生，他对妈妈说：“这才考试（百分制） ，我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数，结果是 5335 分。 ”你能算出刘聪的名次、年龄与他的考试分数吗？3、123499100 的末尾有几个 0?4、要是 252627282930积的末五位数都是 0，里填入的自然是最小是多少？5、把 7、14、20、21、28、30 这六个数分成两组，每组三个数相乘是它们的积相等，应如何分？6，商店讲积压的圆珠笔降价到每支不足 4 角出售，共卖得31.93 元，积压的圆珠笔有多少支？第七讲 巧用质因数探究目标：1.掌握分解质因数的方法，能用质因数的积的形式表示一个合数。2.灵活运用相关知识解答综合问题。解题思路：任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每一个质数都是这个合数的质因数。有些数学问题用分解质因数的方法解答，不仅可以简化思路，有利于问题的解决，而且能够锻炼同学们的思维，拓展同学们的解决思路。探究过程：例 1： 甲、乙、丙三个数的乘积是 26250.甲数比乙数大 5，乙数比丙数大 5.求甲、乙、丙各是多少？解析：如果是中学生做这道题，可以列方程组解答，但是小学生怎么做呢？题中告诉我们三个数的乘积是 26250，这就提示我们尝试用分解质因数的方法分析解答。解： 26250=5555327=（55）（523）（57）=253035正好符合题中的要求。所以甲数是 35，乙数是 30，丙数是25。例 2： 甲、乙两数的乘积是 1728，甲数比乙数大 12.两个数分别是多少？解析：由于甲乙两数的乘积是 1728，只要把 1728 分解质因数即可。解： 1728=222222333=123124=（123）（124）知道甲数比乙数大 12，所以甲数是 124=48，乙数是123=36。例 3: 144 的因数有多少个？360 的因数有多少个？解析：如果是一个比较小的数，我们可以用一一列举的方法找出这个数的所有因数，但是，144 和 360 这两个数都比较大，因数比较多，要想用一一列举的方法找出它们的所有因数当然比较困难。这就启发我们思考，还有没有其他更简便的方法。借助分解质因数地方法，可以更快捷更方便地找出一个数的因数的个数。解： 144=222233=2432所以 144 的因数有(4+1)（2+1）=15（个）360=222335=23325所以 360 的因数有（3+1）（2+1）(1+1)=24(个)例 4： 有 168 颗糖，平均分成若干份，没份不得少于 10 颗，也不能多于 50 颗，共有多少种不同的分法？解析：把 168 分解质因数：168=22237。根据每份不得少于 10 颗，也不能多于 50 颗得到每份是多少颗，再求出份数。解：每份可以是 223=12（颗） ，可以分成 16812=14（份）；每份可以是 27=14（颗） ，可以分成 16814=12（份） ；每份还可以是 227=28（颗） ，可以分成 16828=6（份） ；每份还可以是 37=21（颗） ，可以分成 16821=8（份） ；每份还可以是 2223=24（颗） ，可以分成 16824=7（份） ；每份还可以是 237=42（颗） ，可以分成 16842=4（份） 。答：共有 6 种不同的分法。例 5：用 2100 个棱长 1 厘米的正方体堆成一个长方体，它的高是 1 分米用长和宽都大于高。它的长和宽各是多少？解析：用 2100 个棱长 1 厘米的正方体堆成一个长方体，要知道成的长方体到底有多大，首先要知道长上放几块，因为正方体的棱长是 1 厘米，那么放几块就是几厘米。题中告诉我们，堆成的长方体的高是 1 分米（10 厘米）,所以高上放了 10 块，用分解质因数的方法可以求出长和宽上各放了几块。解：2100=2 25537因为，高是 1 分米（10 厘米）,长和宽都大于高，所以2100=225537=15410即：堆成的长方体是 15 厘米，宽是 14 厘米。答：它的长是 15 厘米，宽是 14 厘米。例 6： 把 14，30，33，35，39，75，143，169 这八个数平均分成两组，使每组里 4 个数的乘积相等，求这组数。解析：依据题意可知，这两组数一定都含相同的因数，因此，可以先把 8 个数分别分解质因数，然后再根据这 8 个质因数情况进行分组。解：14=2 7 39=313 30=235 35=35533=311 143=1113 35=57 169=1313上面 8 个数的质因数共有 2 个 2，4 个 3，4 个 5，2 个 7，2 个11，4 个 13。根据题目要求要将 8 个数平均分成两组，要是每组里4 个数的乘积相等，每组 4 个数中的质因数就一定相同。都应该包含 1 个 2,2 个 3,2 个 5,1 个 7,1 个 11,2 个 13。因此，分成的两组数分别是 14,39,75,143 和 30、33、35、169。例 7： 两个数最大公因数是 45，最小公倍数是 945， （大数不是小数的倍数）求这两个数。解析：想一想，怎么样求两个数的最大公因数，怎么样求两个数的最小公倍数？求两个数的最大公因数和两个数的最小公倍数都用短除法来做，不同的是，两个数的最大公因数包含两个数中所有相同分的因数，而两个数的最小公倍数不但包含两个数中所有相同的因数，还包含各自独有的因数。如：12=23330=23512 和 30 相同的因数是 2 和 3，除了 2 和 3 外 12 还有因数 2,30还有因数 5。2 和 30 的最大公因数是 23=6,12 和 30 的最小公倍数是 2325=60。解：因为 45=335,945=33537 意知大数不是小数的倍数，所以这两个数分别是 3353=135 和 3357=315。答：这两个数分别是 135 和 315。巩固练习1、 一个长方体的面积是 375 平方米，长比宽多 10 米长和宽各是多少米？ 2、 王老师有一张电影票，这张电影票的排数与座位数的最小公倍数是 84，最大公因数是 3，那么，王老师的电影票是几排几座？3、 小明的哥哥参加了今年中学数学竞赛，小明问哥哥：“这次竞赛你得了多少分？获了第几名？”哥哥告诉他：“我的的名次和我的年龄及我的分数乘起来是 2910，你猜我的成绩是多少？”4、