初中数学《圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系》学案

第 - 1 - 页 共 7 页【基础知识精讲】1.基本概念(1)顶点在圆心的角叫圆心角.(2)从圆心到弦的距离叫弦心距.(3)1的圆心角所对的弧叫 1的弧.2.定理(1)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等.(3)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等.3.应注意的问题(1)解题时作圆心的弦心距是常用辅助线.(2)等弧的度数一定相等，相等度数的弧不一定是等弧.【重点难点解析】本节的重点是掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系，并能运用这些关系解决有关的证明、计算题，难点在于选择适当的辅助线，运用这几个量的相等关系解题.例 1 如图 7-20，O 是 RtABC 三条角平分线的交点，C=90，O 经过 C 点分别交 AC、BC 于 D、E，交 AB 于 F、G，求证CD= E=FG证明：作弦 CD、CE、FG 的弦心距 OM、ON、OP，O 是ABC 的三条角平分线的交点，OM=ON=OP，则：C=说明：证明弧相等通常证明弧所对的弦或圆周角相等，此题由角平分线定理得三条弦的弦心距相等，从而知道这三条弧相等.图 7-20 图 7-21例 2 如图 7-21，OA、OB 是O 的两条互相垂直的半径，M 是弦 AB 的中点，过 M 作MCOA，交AB于 C，求证= 31AB.证明：过 M、C 作 MEAO 于 E，CFAO 于 F，连 OCM 为 AB 的中点，ME= 2OB,易证 MEFC 为矩形CF= 21OB= OC，COF=30，则 C= 3AB第 - 2 - 页 共 7 页说明：若AC= 31 B，则COF= 31BOA，由题目条件知，须证明COF=30即可.例 3 已知 AB、CD 是O 的两条直径，AP 是O 的弦，且 APCD，求证 BD=DP证明：如图 7-22，APCD，AC=PD，AB、CD 是两直径，COA=BOD，CA=BD，则=故 BD=DP说明：此题用到“夹在两平行弦之间的弧相等” ， “圆心角相等弧相等” ， “弧相等弧所对的弦相等”等结论.例 4 如图 7-23，MBA 与 MDC 是O 的二割线，已知弦 AB=CD，求 BM=DM.证明：作 OEAB 于 E，OFCD 于 F，AB=CD，OE=OF，则 RtMEORtMFO，ME=MF，又 AE= 21AB= CD=FCMB=MC说明：本题通过作弦心距将问题转化为证 ME=MF，再通过三角形全等达到目的，在全等的证明过程中用到“弦相等弦心距相等”这一结论.【难题巧解点拨】例 1 如图 7-24，O 中弦 AB=CD，AB与CD的中点分别是 M 和 N，MN 与 AB、CD 分别交于 E 和 F，求证：ME=NF.证明：连结 AM、BM、CN、DNAB=CD，AB=CD第 - 3 - 页 共 7 页M、N 的分别为AB、CD的中点M= NAM=BM=CN=DN，=FND=EMB，MBE=NDF，MEBNFD，ME=FN说明：此题通过弧、弦相等关系的互换证得 MB=DN，从而得MEBFND，得出结论.例 2 如图 7-25，已知O 的两弦 AB 和 CD 相交于 P，且BPO=DPO，求证：AD=BC.证明：作 OECD 于 E，OFAB 于 F，BPO=DPO，OE=OF，CD=AB，AB=CD，=说明：本题通过角平分线定理得弦心距相等，从而弦相等，进而弧相等，再去掉公共部分AC得命题成立.【课本难题解答】1.如图 7-26，在O 中，弦 AB=CD，延长 AB 到 E，延长 CD 到 F，使 BE=DF，求证：EF的垂直平分线经过点 O.分析：由角平分线定理的逆定理知，只须证明 OE=OF，又由条件弦相等得弦心距OM=ON，从而得FOMEON，证出 OF=OE，命题成立.2.如图 7-27，在ABC 中，ACB=90，B=25，以 C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于 D，求A的度数.第 - 4 - 页 共 7 页分析：要求弧 AD 的度数就是求DCA 的度数，由条件易求出A=65，再考虑CDA，易求得DCA=50，AD=50【典型热点考题】例 1 如图 7-28，已知O 中 B=2C，求证明：AB2CD.证明：取AB的中心 M，连结 BM、AM=2CD=C从而有 AM=BM=CD在AMB 中，ABBM+AM=2AM=2CD故 AB2CD说明：本题主要考察弦、弧之间的关系，定理告诉我们等弧对等弦，此题告诉我们长不相等的弧的比值与其所对的弦的比值不等.例 2 如图 7-29，AB 为O 的直径，半径 OCAB，过 OC 的中点 D 作弦 EFAB，求证ABE=15.证明：作 EHAB 于 H，则 EHOD 为矩形EH=OD，又 D 为 CO 的中点，EH=OD= 21CO第 - 5 - 页 共 7 页考虑EHO 知：EOH=30再考虑EOB 知：EBO= 21EOH=15例 3 在 RtABC 中，C=90，B=20，以 C 为圆心 CA 为半径的圆交 BA 于 D，交 BC 于 E，求D的度数(图 7-30).解：连连 DC，考虑ABC，C=90，B=20A=70考虑CDA，CD=CA，A=70DCA=40，则DCE=50，DE=50说明：本题主要考察弧的度数的概念.本周训练【同步达纲练习】一、填空题(8 分5=40 分)(1)梯形 ABCD 内接于O，且 ADBC，则 AB= .(2)AB、CD 是O 的两弦，E、F 分别是 AB、CD 的中点，若 AB=CD，作 OE= ，AOB= ，AB= .(3)圆内最大的弦是 12，则这个圆的半径是 .(4)一条弦把圆分成 2:3 两部分，则劣弧所对的圆心角的度数是 .(5)等边ABC 内接于O，则与相等的弧有 ，AOB= .二、选择题(8 分5=40 分)(1)AB、CD 分别是两个不等圆的弦，若 AB=CD，则( )A.AB=DCB. ABDCC. ABDCD. ABDC(2)在O 中，=2，那么( )A.AB=2DC B.AB=DC C.AB2DC D.AB2DC(3)在ABC 中，A=70，O 截ABC 的三边，所截得的弦都相等则BOC 等于( )A.11 B.125 C.130 D.不能确定(4)在半径不相等的O 1和O 2中， 1BA与 2所对的圆心角都是 60，则下列说第 - 6 - 页 共 7 页法正确的是( )A. 1BA与 2的弧长相等 B. 和的度数相等C. 1与 2的弧长和度数都相等D. BA与的弧长和度数不相等(5)下面说法正确的是( )A.弦相等，则弦心距相等 B.弧长相等的弧所对的弦相等C.垂直于弦的直线必平分弦 D.圆的两条平行弦所夹的弧长相等三、解答题(10 分2=20 分)(1)从O 外一点 P 向O 引两条割线 PAB、PCD 交O 于 A、B、C、D，且 B=CD，求证：圆心 O 必在BPD 的平分线上，(2)如图 7-31，已知O 的半径 OA、OB 互相垂直，弦 AD 的延长线交