空间几何体知识点归纳

第一章 空间几何体1.1 柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱 或用对角线的端点字母，如五棱EDCBA柱 AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥 EDCBAP几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台 几何特征：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。1.2 空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下2 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3 直观图：斜二测画法4 斜二测画法的步骤：（1）.在已知图形中取相互垂直的 轴和 轴，两轴相交于 。画直观图时，把它们画xyO成对应的 轴与 轴，两轴交于点 ，且使 ，它们确定的平面xyO45(13)或表示水平面。（2）.已知图形中平行于 轴或 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 轴或 轴的xy xy线段；（3）.已知图形中平行于 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 轴的线段，长度为原来的一半。5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积（一 ）空间几何体的表面积1 棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积 2rlS4 圆台的表面积 5 球的表面积22RlrlS 4R（二）空间几何体的体积1 柱体的体积 2 锥体的体积 hV底 hSV底313 台体的体积 4 球体的体积hSS)31下下上上（34R基础练习1 选择题1如图的组合体的结构特征是( )A一个棱柱中截去一个棱柱 B一个棱柱中截去一个圆柱C一个棱柱中截去一个棱锥 D一个棱柱中截去一个棱台答案 C2有下列命题：圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的其中正确的有( )A0 个 B1 个C2 个 D3 个答案 B3(20132014南京模拟) 经过旋转可以得到图 1 中几何体的是图 2 中的( )答案 A4图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是( )A(1)(2) B(1)(3) C(1)(4) D(1)(5)答案 D5若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 ，则这个圆锥的全面积是( )3A3 B3 C6 D93解析：设圆锥底面半径为 R， 2R R ，R1，母线 l 长为 2，12 3 3S 全 R 2Rl2 3.答案：A6长方体三个面的面积分别为 2,6 和 9，则长方体的体积是( )A6 B3 3 6C11 D12解析：设长方体长、宽、高分别为 a，b，c，不妨设 ab2，ac6，bc9，相乘得( abc)2108，Vabc 6 .3答案：A7(2013湖北卷)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为 V1，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )AV 1V2V4V3 BV 1V3V2V4CV 2V1V3V4 DV 2V3V1V4答案：C8用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是 13，这截面把圆锥母线分成的两段的比是( )A13 B1( 1) 3C19 D. 23解析：由题意可知，截面面积与底面面积之比为 13，截面半径与底面半径之比为 1 ，3这两段母线长之比为 1 1.3答案：B二、填空题1如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是_答案 圆柱2已知一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则下图中，截面不可能是_(填序号)答案 3如图，已知长方体 ABCDA1B1C1D1，过 BC 和 AD 分别作一个平面交底面 A1B1C1D1于 EF、PQ，则长方体被分成的三个几何体中，棱柱的个数是_解析：三个几何体都是棱柱答案：34若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于_解析：通过三视图还原三棱柱直观图如图所示，通过正视图可以得出该三棱柱底面边长为2，侧棱长为 1，三个侧面为矩形，上下底面为正三角形，S 表 3(21)2 62 .(34 22) 3答案：62 35如图，已知圆柱体底面圆的半径为 cm，高为 2 cm，AB、CD 分别是两底面的直径，2AD、BC 是母线，若一只小虫从 A 点出发，从侧面爬行到 C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是_cm( 结果保留根式)答案：2 26圆台的上、下底面半径分别是 10 cm 和 20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180，圆台的表面积是（ ）分析：由题目可获取以下主要信息：求圆台的表面积应考虑上、下底面及侧面积；上、下底面面积易得，主要求侧面积解答本题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积解析：如图所示，设圆台的上底面周长为 C，因为扇环的圆心角是 180，故 C SA210，SA20，同理可得 SB40，ABSB SA20，S 表面积 S 侧 S 上 S 下 (r1 r2)ABr r21 2 (1020)2010 220 21 100(cm 2)故圆台的表面积为 1 100 cm2.7 .如右图所示，在底半径为 2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 的圆柱，圆柱的表面3积为（ ）解析：圆锥高 h 2 ，画轴截面积图( 如右图)，则 .故圆锥内接圆42 22 3323 2 x2柱的底半径 x 1.则圆柱的表面积S2 1221 (22 ).3 3答案：(22 )3强化提升一 选择题1在棱柱中( )A只有两个面平行B所有的棱都平行C所有的面都是平行四边形D两底面平行，且各侧棱也互相平行答案 D2下列命题中，正确的是( )A有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形答案 D3(20122013嘉兴高一检测)如下图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )A(1)(2) B(2)(3)C(3)(4) D(1)(4)答案 B解析 在图(2)、(3) 中，不动，把图形折起，则 为对面， 为对面，为对面，故图(2)、(3)完全一样，而(1)、(4)则不同解题提示 让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断4下列说法不正确的是( )A圆柱的侧面展开图是一个矩形B圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D圆台平行于底面的截面是圆面答案 C5如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A一个球体B一个球体中间挖出一个圆柱C一个圆柱D一个球体中间挖去一个长方体答案 B解析 圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选 B.6已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为( )A圆台 B四棱锥C四棱柱 D四棱台答案 D7下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是( )A(1)(2) B(2)(3)C(3)(4) D(1)(4)答案 D8(20122013安徽淮南高三模拟)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A B C D答案 D解析 正方体，三视图均相同；圆锥，正视图和侧视图相同； 三棱台，三视图各不相同；圆台，正视图和侧视图相同点评 熟悉常见几何体的三视图特征，对于画几何体的直观图是基本的要求下图是最基本的常见几何体的三视图.几何体 直观图形 正视图 侧视图 俯视图正方体长方体圆柱圆锥圆台球9给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是( )角的水平放置的直观图一定是角相等的角在直观图中仍相等相等的线段在直观图中仍然相等若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行A0 B1C2 D3答案 C解析 由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，对，对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，错10利用斜二测画法得到：三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；菱形的直观图是菱形以上说法正确的是( )A BC D答案 B解析 根据画法规则，平行性保持不变，与 y 轴平行的线段长度减半二 填空题1如图，在透明塑料制成的长方体 ABCDA 1B1C1D1 容器中灌进一些水，将容器底面一边BC 置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，以下命题：水的形状成棱柱形；水面 EFGH 的面积不变；水面 EFGH 始终为矩形其中正确的命题序号是_答案 2下列图形：三角形；直线；平行四边形；四面体；球其中投影不可能是线段的是_答案 解析 三角形的投影是线段成三角形；直线的投影是点或直线；平行四边形的投影是线段或平行四边形；四面体的投影是三角形或四边形；球的投影是圆3由若干个小正方体组成的几何体的三视图如下图，则组成这个组合体的小正方体的个数是_答案 5解析 由三视图可作出直观图，由直观图易知共有 5 个小正方体4(20122013烟台高一检测)已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有_答案 5(20122013湖南高三“十二校联考”)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形，则用_个这样的几何体可以拼成一个棱长为 4 的正方体答案 3解析 该几何体是四棱锥，其底面是边长为 4 的正方形，高等于 4，如图(1)所示的四棱锥 AA 1B1C1D1，如图(2)所示，三个相同的四棱锥 AA 1B1C1D1，ABB 1C1C，ADD 1C1C 可以拼成一个棱长为 4 的正方体6斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点 M(4,4)在直观图中的对应点是 M，则点M的坐标为_，点 M的找法是_答案 M (4,2) 在坐标系 xO y 中，过点(4,0) 和 y轴平行的直线与过点(0,2) 和 x轴平行的直线的交点即是点 M.解析 在 x轴的正方向上取点 M1，使 O1M14，在 y轴上取点 M2，使 OM 22，过M1 和 M2 分别作平行于 y轴和 x轴的直线，则交点就是 M.7如右图，水平放置的ABC 的斜二测直观图是图中的ABC，已知AC6，BC4，则 AB 边的实际长度是_答案 10解析 由斜二测画法，可知ABC 是直角三角形，且BCA90，AC6，BC428，则 AB 10.AC2 BC28如图，是AOB 用斜二测画法画出的直观图，则AOB 的面积是_答案 16解析 由图易知AOB 中，底边 OB4，又底边 OB 的高为 8，面积 S 4816.129如图所示，正方形 OA BC的边长为 1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是_答案 8解析 原图形为OABC 为平行四边形，OA1，AB 3，OA2 OB2四边形 OABC 周长为 8.章节练习一、选择题1右面的三视图所示的几何体是( )A六棱台 B六棱锥 C六棱柱 D六边形 (第 1 题)2已知两个球的表面积之比为 19，则这两个球的半径之比为( )A13 B1 3C19 D1813一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)正(主)视图 侧(左)视图(第 3 题)正视图 俯视图侧视图视图与侧(左) 视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为( )4A，B 为球面上相异两点，则通过 A，B 两点可作球的大圆(圆心与球心重合的截面圆) 有( )A一个 B无穷多个C零个 D一个或无穷多个5右图是一个几何体的三视图，则此几何体的直观图是( ) )A B C D6下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，堆成这个几何体的木块共有( )A1 块B2 块C3 块D4 块7关于斜二测画法画直观图说法不正确的是( )A在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同B平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变D斜二测坐标系取的角可能是 1358如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )正视图 侧视图俯视图(第 5 题)(第 6 题)A B C D9一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是( )A B C D10如果一个三角形的平行投影仍然是一个三角形，则下列结论正确的是( )A原三角形的内心的平行投影还是投影三角形的内心B原三角形的重心的平行投影还是投影三角形的重心C原三角形的垂心的平行投影还是投影三角形的垂心D原三角形的外心的平行投影还是投影三角形的外心二、填空题11一圆球形气球，体积是 8 cm3，再打入一些空气后，气球仍然保持为球形，体积是 27 cm3则气球半径增加的百分率为 12底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为 5，它的体对角线的长分别是9 和 15，则这个棱柱的侧面积是 13右图是一多面体的展开图，每个面内都给了字母，请根据要求回答问题：如果 A 是多面体的下底面，那么上面的面是 ；如果面 F 在前面，从左边看是面 B，那么上面的面是 14一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积是 (第 13 题)三、解答题15圆柱内有一个四棱柱，四棱柱的底面是圆柱底面的内接正方形已知圆柱表面积为 6p，且底面圆直径与母线长相等，求四棱柱的体积16下图是一个几何体的三视图(单位：cm)(1)画出这个几何体的直观图( 不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积.俯视图ABCBAC11正视图BBAA3侧视图ABC1(第 16 题)17如图，在四边形 ABCD 中，DAB90 ，ADC135 ，AB 5，CD2 ，AD2，求四边形 ABCD 绕直线 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积(第 17 题)18已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，试比较它们的体积 V 正方体 ，V 球 ，V 圆柱 的大小19如图，一个圆锥形容器的高为 a，内装有一定量的水如果将容器倒置，这时水所形成的圆锥的高恰为 2a，求原来水面的高度 20如图，四棱柱的底面是菱形，各侧面都是长方形两个对角面也是长方形，面积分别为 Q1，Q 2求四棱柱的侧面积参考答案一、选择题1B解析：由正视图和侧视图可知几何体为锥体，由俯视图可知几何体为六棱锥2A解析：由设两个球的半径分别为 r，R，则 4pr24R 219. r 2R 219，即 rR133C解析：在根据得到三视图的投影关系，正视图中小长方形位于左侧，小长方形也位于俯视图的左侧；小长方形位于侧视图的右侧，小长方形一定位于俯视图的下侧， 图 C 正确4D(第 20 题)(第 19 题)解析：A，B 不在同一直径的两端点时，过 A，B 两点的大圆只有一个；A，B 在同一直径的端点时大圆有无数个5D解析：由几何体的正视图和侧视图可知，几何体上部分为圆锥体，由三个视图可知几何体下部分为圆柱体， 几何体是由圆锥和圆柱组成的组合体6D解析：由三视图可知几何体为右图所示，显然组成几何体的长方体木块有 4 块7C解析：由平行于 x 轴和 z 轴的线段长度在直观图中仍然保持不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中是原来的一半， C 不对8D解析：的三个视图均相同；的正视图和侧视图相同；的三个视图均不相同；的正视图和侧视图相同有且仅有两个视图相同的是9A解析：B 是经过正方体对角面的截面； C 是经过球心且平行于正方体侧面的截面； D是经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面10B解析：在平行投影中线段中点在投影后仍为中点，故选 B二、填空题1150%解析：设最初球的半径为 r，则 8 34pr3；打入空气后的半径为 R，则 27 34pR3 R 3r 3278 Rr32气球半径增加的百分率为 50%12160解析：依条件得菱形底面对角线的长分别是 251 0和 259 6菱形的边长为 46250 8棱柱的侧面积是 548160 13F，C(第 6 题)解析：将多面体看成长方体， A，F 为相对侧面如果 A 是多面体的下底