湖南师大附中2019届高三文科数学上学期月考试卷一含解析

湖南师大附中 2019 届高三文科数学上学期月考试卷一含解析湖南师大附中 2019 届高三月考试卷(一)数 学(文科) 命题人、审题人：洪利民 王朝霞 钱华本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 8 页。时量 120 分钟。满分 150分。第卷一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1函数 f(x)16xx2 的定义域是(A)A.3，2 B.，32，C.3，2 D.，32，【解析】解不等式 6xx20 得(x2)(x3)b，则 a2b2；命题 q：若 x24，则 x2.下列说法正确的是(A)A “pq”为真命题 B “pq”为真命题C “綈 p”为真命题 D “綈 q”为假命题【解析】由条件可知命题 p 为真命题，q 为假命题，所以“pq”为真命题，故选择 A.4如图，已知 ABa，ACb，BC4BD，CA3CE，则 DE(D)A.34b13a, B.512a34b，C.34a13b, D.512b34a，【解析】DEDCCE34BC13CA34(ACAB）13AC512b34a.选 D.5如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为(A)A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D由增加的长度决定【解析】设增加同样的长度为 x，原三边长为 a、b、c，且 c2a2b2，abc.新的三角形的三边长为 ax、bx、cx，知 cx 为最大边，其对应角最大而(ax)2(bx)2(cx)2x22(abc)x0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形故选 A.6与直线 2xy40 的平行的抛物线 yx2 的切线方程是(D)A2xy30 B2xy30C2xy10 D2xy10【解析】设 P(x0，y0)为切点，则切点的斜率为 y|xx02x02，x01.由此得到切点(1，1)故切线方程为 y12(x1)，即 2xy10，故选 D.7右边茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩(成绩为整数)，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为(D)A.25 B.110 C.910 D.15【解析】记其中被污损的数字为 x.依题意得甲的 5 次综合测评的平均成绩为 90，乙的 5 次综合测评的平均成绩为 15(442x)，令 15(442x)90，由此解得 x8，即 x 的可能取值为 8 和 9，由此乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为 21015，故选 D.8将函数 y3sin2x3 的图象向右平移 2 个单位，所得图象对应的函数(A)A在区间 12，712 上单调递增 B在区间 12，712 上单调递减C在区间6，3 上单调递增 D在区间6，3 上单调递减【解析】将函数 y3sin2x3 的图象向右平移 2 个单位，所得函数变为y3sin2x23，令 2k22x232k2(kZ)，解得k12xk712(kZ)，令 k0，12x712.故函数在区间 12，712上单调递增，故选 A.9设 f(x)2ex1，x2 的解集为(C)A(1，2)(3，) B(10，)C(1，2)(10，) D(1，2)【解析】令 2ex12x2x2，解得 x 为 10，不等式f(x)2 的解集为(1，2)(10，)，故选 C.10.执行如图所示的程序框图，若输入 a，b，c 分别为 1，2，0.3，则输出的结果为(D)A1.125 B1.25 C1.3125 D1.375【解析】模拟程序的运行，可得 a1，b2，c0.3执行循环体，m32，不满足条件 f(m)0，满足条件 f(a)f(m)0，b1.5，不满足条件|ab|c，m1.25，不满足条件 f(m)0，不满足条件 f(a)f(m)0，a1.25，满足条件|ab|c，退出循环，输出 ab2 的值为 1.375.故选 D.11设等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知(a81)32 018(a81)1，(a2 0111)32 018(a2 0111)1，则下列结论正确的是(A)AS2 0182 018，a2 011a8CS2 0182 018，a2 011a8 DS2 0182 018，a2 011a8【解析】设 f(x)x32 018x，则由 f(x)f(x)知函数 f(x)是奇函数由 f(x)3x22 0180 知函数 f(x)x32 018x 在 R 上单调递增因为(a81)32 018(a81)1，(a2 0111)32 018(a2 0111)1，所以 f(a81)1，f(a2 0111)1，得 a81(a2 0111)，即 a8a2 0112，且 a2 0110 时，xf(x)f(x)0，则使得 f(x)0 时，xf(x)f(x)0 时，由 f(x)1，当 x0，由图知10)(1)当 m3 时，若 B6，求 sin (AC)的值；(2)当 m2 时，若 c2，求ABC 面积最大值【解析】(1)ab3c，sin Asin B3sin C，sin A123sinA6332sin A12cos A，4 分化简得 12sin A32cos A12，sinA312，A356，即 A2，C3，sin (AC)sin 612.6 分(2)c2，ab22，b22a，SABC12absin C12ab，8 分SABC12ab12a(22a)12a22a，10 分当 a2 时，12a22a 取最大值 1，此时 ab2，c2 满足 C2，ABC 面积最大值为 1.12 分18.(本题满分 12 分)如图，四棱锥 PABCD 中，AP平面 PCD，ADBC，ABBC12AD，E、F 分别为线段AD、PC 的中点(1)求证：AP平面 BEF；(2)设PDA30，BAD60，求直线 BF 与平面 PAC 所成的角的大小【解析】(1)证明：设 ACBEO，连接 OF、EC.E 为 AD 的中点，ABBC12AD，ADBC，AEBC，AEABBC，四边形 ABCE 为菱形.2 分O 为 AC 的中点.3 分又 F 为 PC 的中点，在PAC 中，可得 APOF.4 分又 OF 平面 BEF，AP 平面 BEF.5 分AP平面 BEF.6 分(2)由题意知 EDBC，EDBC.四边形 BCDE 为平行四边形，BECD.又 AP平面 PCD，APCD，APBE.四边形 ABCE 为菱形，BEAC.又 APACA，AP、AC 平面 PAC，BE平面 PAC.直线 BF 与平面 PAC 所成的角为BFO.8 分不妨设 AP2，PDA30，AE12AD2，又四边形 ABCE 为菱形，BAD60，OB1，RtBOF 中，OF12AP1，OB1，BFO45.11 分故直线 BF 与平面 PAC 所成的角的大小为 45.12 分19(本小题满分 12 分)已知数列an中，Sn 为其前 n 项和，且 a1a2，当 nN时，恒有 Snpnan(p 为常数)(1)求常数 p 的值；(2)当 a22 时，求数列an的通项公式；(3)在(2)的条件下，设 bn4（an2）an1，数列bn的前 n 项和为 Tn，求证：Tnb0)的左、右焦点分别为 F1、F2，设点 F1、F2 与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为 4 的直角三角形(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设 A、B、P 为椭圆 C 上三点，满足 OP35OA45OB，记线段 AB 中点 Q 的轨迹为E，若直线 l：yx1 与轨迹 E 交于 M、N 两点，求|MN|.【解析】(1)由已知得 2c4，b2，故 c2，a22.椭圆 C 的标准方程为 x28y241.4 分(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，OP35OA45OB，OP35x145x2，35y145y2，点 P 坐标为 35x145x2，35y145y2.5 分点 P 在椭圆 C 上，1835x145x221435y145y221，925x218y2141625x228y2242425x1x28y1y241，即 92516252425x1x28y1y241，即 x1x28y1y240.6 分令线段 AB 的中点坐标为 Q(x，y)，则 xx1x22，yy1y22.7 分A、B 在椭圆 C 上，x218y2141，x228y2241，8 分x21 x228y21y2242，（x1x2）22x1x28（y1y2）22y1y242.x1x28y1y240，（2x）28（2y）242，即 Q 点的轨迹 E 的方程为 x24y221.9 分联立 x24y221，yx1，得 3x24x20.设 M(x3，y3)、N(x4，y4)，则 x3x443，x3x423.10 分故|MN|1k2|x3x4|1k2（x3x4）24x3x4453.12 分第(2)问也可以用椭圆的参数方程解决，且可参考上述解答酌情给分21(本题满分 12 分)已知函数 f(x)exex，g(x)2xax3，a 为实常数(1)求 g(x)的单调区间；(2)当 a1 时，证明：x0(0 ，1)，使得 yf(x)和 yg(x)的图象在 xx0 处的切线互相平行【解析】(1)g(x)3ax22，1 分当 a0 时，g(x)0 故 g(x)的单调增区间为(，).3 分当 a0，x0(0 ，1)使得 f(x0)g(x0).7 分当 x0，63 时 g(x)0，当 x(63，1)时 g(x)g(x)恒成立，f(x0)g(x0)从而当 a1 时，x0(0 ，1)，使得 yf(x)和 yg(x)的图象在 xx0 处的切线互相平行12 分请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22(本小题满分 10 分)选修 44：极坐标与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 M 的参数方程为 x3cos sin y23sin cos 2sin 22( 为参数)，若以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴位极轴建立极坐标系，曲线 N 的极坐标方程 sin422t(t 为参数)(1)求曲线 M 和 N 的直角坐标方程；(2)若曲线 N 和曲线 M 有公共点，求 t 的取值范围【解析】(1)由 x3cos sin 2sin3 得 x2，2，又x2(3cos sin )22cos 223sin cos 1，所以曲线 M 的普通方程为 yx21，x2，2由 sin422t 得 22sin 22cos 22t，即 sin cos t，所以曲线 N 的直角坐标方程为 xyt.4 分(2)若曲线 M、N 有公共点，则当曲线 N 过点(2，3)时满足要求，此时 t5，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点