第一章生存模型的概念及生存模型数学

第一章生存模型的概念及生存模型1.1 生存模型 1.1.1 生存状态和生存模型 一、生存状态 从数学的角度来看，生存状态是一个简单的过程。这个过程具有以下的特征： 1、存在两种状态：生存与死亡。 2、单个生命个体可划分为生存者和死亡者，也就是说我们可以说出他们的状态。 3、生命个体可从 “生存 ”状态到 “死亡 ”状态，但不能相反。 4、任何个体的未来生存时间都是未知的，所以我们生存或死亡概率的探讨而着手生存状态的研究。 二、 生存模型：是一类特殊随机变量的概率分布；是对生存过程建立的一个数学模型。 假设一台设备从时刻 t=0开始连续运行直至报废，用 T表示该设备从时刻 t=0开始直至报废或失效的时间，则该设备在任意时刻 t（ t0）仍正常运行的概率 Pr（ T t）可以记为：（ 1.1.1）上式中显然有：（） T0（） S（ 0） =1（） S（ t）是 t的非增函数，且 随机变量 T为设备从 t=0开始的 “未来寿命 ”。S（ t）为生存函数。 1.1.2精算生存函数 一、对于一个刚刚出生的个体（ 0岁）的未来生存时间可作为一个随机变量，我们用 T0表示。 定义随机变量 T0的 分布函数 F0（ t） 为 F0（ t） =P（ T0t）（ 1.1.2） F0（ t）是一个正好 0岁的人不晚于 t岁死亡的概率。 未来生存时间超过 t年的概率就是 S0（ t），就是 生存函数 或生存分布： S0（ t） = P（ T0 t） =1- F0（ t） （ 1.1.3） 通常 S0（ t）可以表示为 S（ t）； F0（ t）可以表示为 F（ t） 。这是新生婴儿的生存模型和分布函数。 二、对于一个年龄为 x岁的人的的未来生存时间定义为 Tx，随机变量 Tx的分布函数记为 F（ t:x） 。 F（ t;x） =P（ Txt）（ 1.1.4） F（ t;x）是一个 x岁的人不晚于 x+t岁死亡的概率。 一个年龄为 x岁的人的未来生存时间超过 t年的概率就是或 S(t;x)，就是生存函数： S（ t;x） = P（ Tx t） =1- F（ t;x） （ 1.1.5） S（ x+t） = S（ x） S（ t;x） （ 1.1.6） 1.1.3生存函数的形式 一、参数生存模型： S（ t） 实际运用中，用表格描述生存模型 二、多个伴随变量的生存模型 S（ t； x1， x2， ， xm） 1.1.4研究方法 一、横向研究：适用大样本空间 1、选择一个独立人群 2、选取一个观察期 二、纵向研究： 1、确定一个特殊的人群 2、对每个对象进行观察直至死亡 1.2 T的分布函数 一、 S（ t）的性质 由 T决定的 S(t)也称为生存分布函数，有 S（ 0） =1， S（ +） =0. 令 F（ t） =Pr（ Tt）， 有 F（ t） =1- S（ t） 上式有： F（ 0） = 0， F（ + ） =1 二、对于连续型随机变量 T，其概率密度函数：（ t0） 从而有三、危险率（死力） 六、中位数 如果 Pr（ T y） =Pr （ Ty） =1/2，则称 y为随机变量的中位数 有 S（ y） =F（ y） = 1.3参数生存模型举例 : 1.3.1均匀分布 均匀分布的概率密度函数为其性质 ：F(x)a b x0 a xb1f(x) 1.3.2指数分布 其生存分布函数为F(x)x0 0 x1f(x) 例 1.4 对于指数分布，证明 1.3.3 Gompertz分布 特征： 1.3.4 Makeham分布 Weibull分布1.4条件度量和截尾分布 1.4.1条件概率和密度 如果某人已生存到 x岁，他在 n年后仍生存的概率 Pr，我们将条件概率用 nPx表示，则： 【 例 1-5】 根据 S（ t;x） ,求出所选取的 x岁的人活到 x+10岁，并在 X+20岁前死亡的概率。 1.4.2 x的下截尾分布 以生存到 x岁为条件的生存函数，既那些超过 x的 X服从的分布，这样的分布称为在 x处下截尾的X的分布。类似地， 1.4.3双截尾分布 S(x y Xz)= F (x y Xz)= f(x y Xz)= (x y Xz)=1y zx 1.4.4中心死