第五章方差分析

第五章方差分析在第四章中，我们讨论过两个正态总体的均数比较的问题。在实际情况中还会遇到多个(三个及三个以上)正态总体的均数比较的问题。例如，某因素对试验结果的影响时，我们取该因素的 k(3)个等级(水平)再比较各水平间试验结果的差异。又如，要观察两个因素，对试验结果的影响，分别取这两因素的 r 个与 s 个水平，搭配后有 种情况，再比rs较 种情况间试验结果的差异，它们分别属于 k 个与 个正态总体的均数比较问题。rs r方差分析是以两个方差之比为统计量，处理多个正态总体均数比较问题的统计方法。本章将要介绍单因素与双因素方差分析的原理与方法。5-1 单因素方差分析在实验工作中，有时我们把其他一切因素都安排在固定不变的状态，只就某一个因素进行实验，先确定这个因素的若干个等级，通常我们称之为水平，然后在每一个等级里做若干重复试验，以确定该因素对试验结果的影响，这种试验方法，统计学称为单因素试验。下面我们主要讨论单因素试验的方差分析。首先，我们把要考察的因素分成 k 个水平，而每个水平，我们做 ni(i=1，2，k)次试验，假定试验都是独立的，于是就可以得到样本观测值 xxj，如表 5-1。我们的任务是：根据 k 个水平的样本观测值来检验因素的影响是否显著。为此，先确定研究这个问题的前提：(1) 对于所研究因素的某一个水平，比如第 i 个水平，进行试验得到的观测结果 xi1，x i2，x ini，看做是从正态总体 N( , )中得到i2的容量为 ni的样本。(2) 对于表示 k 个水平的 k 个正态总体的方差认为是相等的，即= = = 。212k(3) 从不同总体中取出的各个样本，即各 xij是相互独立的。有了以上前提条件，检验因素的影响是否显著，实际上就是检验 k 个具有相同方差的正态总体，其均数是否相等的问题，也就是检验假设 H0： 1= 2= k。分析一下试验数据，可以看到，由于抽样各水平内部的样本值是有差异的，这差异是相同条件下试验数据的差异，显然是试验误差，也称随机误差。另外，各水平的均数之间，也有差异，这时实验水平不同了，那么这个差异究竟只是试验误差，还是由于试验水平不同引起的差异即不同水平所引起的系统误差呢?解决这个问题的思路是对两者进行比较；若后者存在，且大于前者，后者与前者的比值大到一定程度，说明各水平的总体均数之间的差异显著地大于重复试验中误差的总大小，那么，我们就认为各水平的总体均数之间差异有显著意义，否则差异没有显著意义。下面我们推导出方差分析的统计方法。表 5-1水 平实验号1 2 I k1 x11 x21 xi1 xk12 x12 x22 xi2 xk2 J x1j x2j xij xkj Ni 1n2n in kn1inijxx1 x2 xi xk1/inijix1 x2 xi xk注：为使用方便本表没有按数学中严格的行列标号排列。5-1.1 方差分析的原理与步骤设 k 个相互独立的样本，分别来自 k 个正态总体 X1,X2,，X i，X k，即XiN( , )(i=1，2，k)ii其中， i, 均未知，但方差相等：2i= = = =212ik2这里可以看做同一因素在 k 种不同水平下试验得 k 组样本值。记xi1,xi2,xi3,xini是第 i 个总体水平 Xi中取得的一组容量为 ni个样本值。检验假设H0： 1= 2= k设试验总次数为 N，则 。设第 i 个总体的样本均数为 ，则1kiix1kiiinx于是，全体样本的总均数为11inkkjiixxxN现在，我们来考察，分析刻画全部数据离散程度的指标，即所有样本值 xij与其总均数 之差的平方和，称为总离差平方和 SS。x21()inkjijSx21()inkjiij x2 21()()()inkjiiji iijxx2 211 1()()()i i inn nkk kji jiij ij ijx(5-1)2 211 1()()()i innkk kji ji iij ijxx因为 1 11()()()0i in nk kji ijiij ijxxx所以(5-2)2211()()inkkjiiijSxnx从上式可以看出，总离差平方和 SS 可以分解为两项之和，(5-3)21()inkejiijx称为组内离差平方和，它表示各个样本值 对本组均数 的离差平方和的总和。ij i(5-4)21()kAiSnx称为组间离差平方和，它表示各组均数 对总均数 的离差平方和的总和。由此，可以得ij到一个很重要的结论，可以说是方差分析的理论基础，这就是，总离差平方和是组内离差平方和与组间离差平方和的总和。那么式(5-2)可以改写为(5-5)eAS由式 可知，SS e的自由度为 N-k，而由式 可1()0(1,2)injijxk21()0kinx知，SS A的自由度为 k-1，所以组内方差 和组间方差 分别为2eS2AS(5-6)2/(),eNk/()k现在来讨论应采用什么统计量，以及统计量的分布。当 H0： 1= 2= k成立时，并且由前提条件独立同方差，可知 2/()eSnk:1A21/()(,)AAeeNkSkFFNkSn:即统计量 F 服从自由度为(k-1,N-k)的 F 分布，当给定显著水平 ，可由 F 分布临界值表(附表 8)查得临界值 F (k-1,N-k)，使PFF(k-1,N-k)=最后，根据上述的推证，可得出结论，当统计量 FF (k-1,N-k)时，则拒绝假设 H0，认为在显著水平 下，因素各水平间差异有显著意义，否则，不拒绝假设，认为水平间差异没有显著意义。5-1.2 单因素方差分析的计算依照上面的推导可以进行方差分析，但为了便于计算，我们推导出离差平方和的另一种形式 2211i innkj jkiAiixxSN2121ii njnkkejiiixx以上两式只要将定义式展开即可得到 22211()()kkAi iiSnxnx2 21 12i in nj jk ki ii ixxNxN 11i innkj jkiiix22211()()i innkkejijijiij ijSxxx22111i innkkkj jiii2211inkkjiix121ii njnkkjiiix利用上面两式计算 SSA和 SSe，可按下列顺序依次进行：(每一水平实际数据和) (所有数据总和)ijx1injx1inkjix2ij 21()injx 21inkji21inkjix 1injkii21()inkjixN最后可得： 2121ii njnkkejiiixSx211i innkj jkiAii xN将结果汇总于方差分析表内(见表 5-2)表 5-25-1.3 方差齐性检验的步骤方差分析的前提条件一是方差齐，因此在进行方差分析前应先进行方差齐性检验。下面简单介绍检验多个方差齐性的 Bartlett 法。一、各样本含量相等时检验方差齐性的步骤(1) ；2201:kH(2) 计算：(5-7)2221.306()lgl)kiinS式中：n 为各样本含量，k 是样本数， 是各样本方差， ；2i221kiS(3) 查 表，求出临界值 若 ，则认为方差齐。22(1)k2注意：利用上述公式计算得到的 值略有一些偏倚（即 值稍微偏高） 。在 值很22接近地大于某一临界值时，须计算校正的 值，校正公式如下：2校正 ， 校正数2C13()kn方差来源 离差平方和 自由度 方差 F 值 拒绝域组间 21()kAiSnx1k21ASk2Ae(1,)FkN(显著水平 )组内 21()inkejiijSxNk2eeSk总和 21()inkjij1二、各样本含量不等时检验方差齐性的步骤：(1) ；2201:kH(2) 计算：(5-8)22 211.306(lg()()lgkkiiiiiSnS式中：n 为各样本含量，k 是样本数， 是各样本方差， ；2i212()jnkiiijkiix(3) 查 表，求出临界值 若 ，则认为方差齐。22(1)k2此时，校正 ，校正数 。2C13()()i in有关方差齐性检验说明两点：(1)式(5-8)有等价的公式为合并方差) (5-9)221()/)kiciinlS2(cS(2)对方差分析前是否先进行方差齐性检验有两种不同意见，一种是方差分析前先要进行方差齐性检验，如方差不齐，那么不能用方差分析法；如方差齐，则可进行方差分析。如不问是否齐性，就进行方差分析，那会得出不切实际的结果，另一种意见是 Bartlett 方差齐性检验法，并不十分理想，所以对方差齐性不必太苛求。我们主张前者。下面按上述步骤来分析实例。例 1 为考察工艺对花粉中的氨基酸百分含量的影响，某药厂用四种不同工艺对花粉进行处理，测得氨基酸百分含量如表 5-3。试判断四种不同工艺处理间的氨基酸百分含量有无显著性差异?表 5-3工 艺() () () ()实验号 酸处理 碱处理 破壁 水浸后醇提取i1 4.636 3.581 4.650 3.4492 4.620 3.651 4.728 3.4743 4.545 3.507 4.604 3.3844 4.695 3.538 4.697 3.343ijx18.496 14.277 18.679 13.650 65.1022()ij342.102 203.832 348.905 186.322 1081.1612ijx85.537 50.970 87.235 46.591 270.333解 本题是检验四个水平的总体均数 i之间差异是否有显著意义。先做方差齐性检验（如表 5-4）表 5-4 方差齐性检验用表（样本含量相等）样本 2iS2lgiS1 0.003814 -2.4186193112 0.003891 -2.4099387693 0.002950 -2.5301779844 0.003586 -2.445389715合计 0.014241 -9.804125779， 42210.356iS2lg.485S42221.306()lgl).(1)(.)(9.80413).6859iink220.5(7.80.6859,.0P即各样本方差的差别无显著意义，方差齐。(1) 检验假设 H0： 1= 2= 3= 4。(2) 计算离差平方和、方差及统计量 F 值22165.0438.7ijixn1=n2=n3=n4，k=4,N=44=16fA=k-1=4-1=3，f e=N-k=16-4=12所以 2424116ijAiji ixSx08.38.705.942591ASk244121ijeiji x1270.38.60.4345eeSNk统计量 21.7902.1438AeFS(3) 在显著水平 =0.05，自由度 fA=3，f e=12 查附表 8 得临界值 F0.05(3，12)=3.49，在 =0.01，自由度 fA=3，f e=12，查附表 8 得临界值 F0.01(3，12)=5.95。(4) 统计结论因 F=502.5145.95，所以拒绝 H0，P0.01，认为工艺对花粉中氨基酸百分含量影响极显著。列出方差分析如表 5-5。表 5-5方差来源 离差平方和 自由度 方差 F 值 临界值 结论组间 SSA=5.398 3 1.799 502.514 5.95 FF 0.01组内 SSe=0.043 12 0.00358 差异有极显著意义总和 SS=5.441 15例 2 有六种不同的中药杀虫剂，为了分析它们的杀虫效果，对其杀虫率做了如下试验，试验结果如表 5-5，推断这六种杀虫剂的杀虫效果差异是否有显著意义。表 5-6药物 一 二 三 四 五 六 i87.4 90.5 56.2 55.0 92.0 75.285.0 88.5 62.4 48.2 99.2 72.380.2 87.3 95.3 81.3杀虫率94.7 91.5ijx252.6 361.0 118.6 103.2 378.0 228.8 1442.22ij263806.76 130321.0 14065.96 10650.24 142884 52349.44 414077.42ijx21295.8 32611.88 7052.2 5348.24 35758.98 17492.02 119559.12先做方差齐性检验，见表 5-7表 5-7 方差齐性检验用表（样本含量不等）样本 1in2iS21()injijx2lgiS2(1)lgiinS1 2 13.4400 26.8800 1.1284 2.25682 3 10.5433 31.6300 1.0230 3.06893 1 19.2200 19.2200 1.2838 1.28384 1 23.1200 23.1200 1.3640 1.36405 3 12.6600 37.9800 1.1024 3.30736 2 21.1033 42.2067 1.3244 2.64887合计 12 100.0867 181.0367 7.2259 13.929522()18.03675.84ijxSn22 20.36lg()()lgiiinS15.08413.95.497因为P0.0520.5.7方差齐，故可做方差分析解 2621(4.)0794.8injixN=3+4+2+2+4+3=18， k=6所以fA=k-1=6-1=5fe=N-k=18-6=12226611i inj nA ji iixSxN=(21268.93+32580.25+7032.98+5325.12+35721.0+17449.81)-115552.27=3825.812385.176.ASk266121 9.38.01.4ii njnejiiixS280415.2eeSNk统计量 27609AeFS显著水平 =0.05，自由度 fA=5,fe=12，查附表 8 得临界值 F0.05(5，12)=3.11，显著水平=0.01，查附表 8 得临界值 F0.01(5，12)=5.06，因 F=50.715.06，所以拒绝 H0，在显著水平 0.01 下，六种不同杀虫剂效果的差异有极显著意义(见表 5-8)。表 5-8方差来源 离差平方和 自由度 方差 F 值 临界值 结论组 间 SSA=3825.81 12 =765.162ASFF 0.01组 内 SSe=181.045 12 =15.09e50.71 F0.01=5.06差异有极显著意义总 和 SS=4006.85 175-2 两两间多重比较的检验法上节介绍的方差分析，如果各水平间差异无显著意义，那么不需做进一步统计处理，如果是否定了假设 H0，意味着 1， 2， k中至少有两个差异显著，但是哪些水平间的差异显著，哪些水平间的差异不显著，方差分析不能作结论。这就需要同时在多个水平均数之间两两比较哪些差异是有显著意义?这种比较称为多重比较。多重比较的方法很多，下面介绍两种主要多重比较的方法。5-2.1 q 检验法(HSD 法)当因素取 k 个水平，而每个水平都做 n 次试验，也就是说每个样本的大小相等，其组内方差为 ，自由度为 fe=N-k，方差分析的结果是总体均数间差异有显著意义，我们将用2eSq 检验法进行检验两两均数间是否差异显著。设有 k 个相互独立，等方差的正态总体 XiN( i, 2)，i=1，2，k，若从每个总体中各独立、随机地抽取容量为 n 的样本，样本值的均数分别为 x1,x2，x k, 为组2eS内方差，其自由度为 fe，记极差 ,max|()|ijijR随机变量 ,|()()|/ijijijeqSn服从 q 分布，记为 qq(k,f e)。检验假设 H0： 1= 2= k。令 H0成立，采用统计量 /eRqSn如果给定显著水平 ，由多重比较中的 q 表(附表 9)，可查得临值 q (k,fe)，满足表中Pqq(k,fe)=若 qq (k,fe)，则以显著水平 拒绝 H0。为了便于作多重比较，不必机械地按上述三个步骤进行，我们不妨把否定域qq (k,fe)即 写成max|(,)/ijeeqkfSn|(,)/ijexqkfSn当需要比较任意两个总体的均数 h和 l时，由于下式,a|ijhlij总是成立，所以只要 |(,)/hlexqkfSn便可以认为 h l。这样，多重比较的 q 检验就十分简单了，归纳步骤如下：(1) 计算 k 个总体的样本均数 x1,x2,，x k，和样本的组内方差 ，其自由度为 fe；2eS(2) 给定显著水平 ，根据 k 和 fe从 q 表中查出临界值 q (k,fe)。(3) 以 为标准衡量所有的 ，凡某两个样本均数之差(,)/TeDqfSn |hlx的绝对值超过 DT 者，便可以认为相应的两总体均数有显著性差异。例 1 对上一节例 1 中四个水平(工艺)下花粉的氨基酸百分含量作两两多重比较。解 题中 ，组内方差 ，2344.6,.59,.670,3.12xx20.358eS， ，查多重比较中 q 的表(附表 9)，得 q0.05(4，12)4k,enNf=4.20，q 0.01(4，12)=5.50，计算 DT值。 20.5(.)(4,1)/4.0.358/40.126TeqSn. 5现将四个均数两两间差数的绝对值列表如下(表 5-9)，逐个比较，以免不漏不重：表 5-9|hlx=3.5692x=4.6703x=3.4124x=4.62411.055* 0.046 1.212*=3.5692x 1.107* 0.157*=4.6703 1.258*打“*”的，表示相应两工艺间的差异有极显著意义(=0.01)，打“*”的表示相应两工艺间差异有显著意义(=0.05)，没有记号的表示相应两工艺间的差异无统计意义。5-2.2 S 检验法用 q 检验法作两两间多重比较，要求各水平的重复试验次数必须相等，才能使用，对于不同水平的试验次数不等的情况我们这里介绍一种 S 检验法。假设试验因素共 k 个水平，各水平分别作 ni次试验(i=1,2,，k)，经方差分析结果各水平之间差异显著，现在比较总体均数 h, l(h,l=1,2,，k)之间差异是否有显著意义。检验假设 H 0： 1= 2= k令 H0成立，我们采用统计量 max|1ijeijSn在显著水平 下，由多重比较中的 S 表可查得临界值 S (k-1,fe)，使 PSS (k-1,fe)= 若 ,ax|(1,)1ijij eeijkfn则以显著水平 拒绝 H0。类似 q 检验法，我们将 S 检验法归纳成以下几个步骤：(1) 计算 k 个总体的样本均数 , ,， 和组内方差 ，其自由度为 ；1x2kx2eSef(2) 给定显著水平 ，从 S 表(附表 10)中查出 ；(1,)f(3) 以 衡量 ，如果超出 Dhl者，便可以认为1,)hle eijDkfn|hlx相应的两个总体均数有显著性差异。例 2 本章1 中例 2，六种杀虫剂的杀虫率，经方差分析差异有显著意义，而各杀虫剂取的样本容量不等，用检验法比较各种杀虫剂的杀虫率之间的差异。由前面计算已得：k=6,n1=3,n2=4,n3=2,n4=2,n5=4,n6=3，=84.2 =90.25 =59.3xx3x=51.6 =94.5 =76.27456所以 N=18，f e=12，又 =15.09，S e=3.88。2e 我们取显著水平 =0.05，查多重比较的 S 表(附表 10)，得 S0.05(5，12)=3.94，所以SeS0.05(5，12)=3.883.94=15.29，根据本题的实际情况，需计算 15 个 Dhl：1,215.95.2907641.8234D1,33.901,415.295.29013.9603D1,574.8241,61.295.2901.93D2,35863.2442,41.95.2901.D2,57.8042,61.95.290641.23D3,455.93,51.295.2908613.244D3,6.93(是否需要换位置)4,51.295.290861.244D4,693.6033,415.295.20741.82D根据上面结果有 12 1,2|8.|6x D*3 ,3|4593|2490*14 1,4|8.2516|3.960x D5 ,5|9|8216 1,6|.7|x*23 2,3|03|054D4 ,4|9.51.6|8x25 2,5|21*6 ,6|0.7.|3.9.x D34 3,4|916|*5 ,5|.5|.21x36 3,6|7|9.0D*45 4,5|1.4|.x6 ,6|2|61.*5 5,|9.7|8.32x D比较结果看出，第三、四两种药剂与其他药剂均有显著差异，杀虫率较差，六次之。5-3 两因素试验的方差分析5-3.1 无重复试验进行两因素方差分析的目的，是要检验两个因素对试验结果有无影响。在试验中，对每个因素的每个等级都可以取 nij个样本。这里，我们先讨论无重复试验的情况。将因素A 分成 r 个水平，因素 B 分成 S 个水平，而对因素 A、B 的每一个水平的一对组合(A i,Bj)(i=1,2,，r,j=1,2,，s)，只进行一次试验(无重复试验)，则得到了 rs 个试验结果xij，现将试验结果列成表(表 5-10)：表 5-10因素 B 行和 行平均因素 AB1 B2 Bj Bs Ti .ixA1 x11 x12 x1j x1s T1 1.xA2 x21 x22 x2j x2s T2 2.Ai xi1 xi2 xij xis Ti .ixAr xr1 xr2 xrj xrs Tr .ix列 和 T.1 T.2 T.j T.s 总和 T列平均 .j.1.2 .j .s总平均注：其中 xij 表示用因素 A 的第 i 个水平和因素 B 的第 j 个水平进行试验所得到的试验结果。根据表中情况，可得(i=1，2，r).1siijxS(j=1，2，s).1rjij这里 n=rs1rsijixxn我们依旧假设因素 A、因素 B 都满足单因素方差分析中的前提条件。两因素方差分析，如果目的要判断因素 A 的影响是否显著，则要检验假设H0A： 1j= 2j= ij= rj(j=1,2,，s)如果假设成立，则可以认为因素 A 的影响不显著。类似地，如果要判断因素 B 的影响是否显著，则要检验假设H0B： i1= i2= ij= is(i=1,2,，r)。与单因素方差分析的检验方法一样，首先把总的离差平方和 SS 进行分解，分解成三部分，即因素 A、B 和随机误差所产生的离差平方和，分别记为 SSA，SS B，SS e，然后进行比较，得到关于假设 H0A，H 0B的检验方法。下面我们来讨论其方法与步骤，首先计算总离差平方和 SS。211()()rsrsij ijijij ijSxxx2ij222 . .1 11()()()rs rsrsijij i jij ij ijxxxx .12()(rsijijiijxx. 1 1()(2()rs rsijijj ijij ijxx 在上式等号右边中，后三项均为零。当我们设 21()rseijijijSxx2.1()rAii2.1()sBjjSrx则有 eABS如果 H0A和 H0B都成立，则有 ij=，对所有的 i=1,2,，r 及 j=1,2,，s 都成立，也就是说 rs 个样本来自同一个总体，与单因素的分析一样，可以得到, 2/(1)ASr:2/(1)B:, esSn而且 SSe、SS A、SS B相互独立。选取统计量 2/(1)()AAe eSrsF同理可得 ()BBerS如果假设 H0A成立，则 (1),()AFrs:如果假设 H0B成立，则 (),()B对于给定的 ，可以通过(附表 8)查到 F 临界值，当 时，(1),()AFrs拒绝假设 H0A；当 时，拒绝假设 H0B；反之，皆不能否定原假(1),()BFsrs设。上述步骤列表如下(表 5-11)：与单因素方差分析一样，为了便于计算，常采用下面一些公式：设iiTSxjjrx1rsijiTx则 21rsijix2.1rAiTSs2.1sBjreABSS表 5-11方差来源 离差平方和 自由度 F 的值 F 临界值因素 A 2.1()riSxr-1(1)AAesS(1),rs因素 B 2.1sjjs-1 BBer,误差 2.()rseijjiSx(r-1)(s-1)总和 1rsTijirs-1例 1 据推测，原料的粒度和水分可能影响某片剂的贮存期，现留样考察粗粒和细粒两种规格，含水 5%、3%和 1%三种情况，抽样测定恒温加热一小时后的剩余含量，数据如表5-12，试判断这两个因素对片剂的贮存期是否有影响?表 5-12含水量(%) 粒 度0 粗(1) 细(2)2.1iijTx21ijx2.iT5 86.88 84.83 171.71 14744.2633 29484.3243 89.86 85.86 175.72 15446.7592 30877.51841 89.91 84.83 174.74 15279.9370 30534.0676.1jijTx266.65 255.52 522.17 45470.9595 90895.910321ijx23706.7621 21764.19742.jT71102.2225 65290.4704 136392.6929解 这里 r=3,s=2。根据计算公式，得 2 2321 (5.17)470.96.38ijiTSx2 23.11(.)8.4.Ai2 22.1 (5.17)369. 0.653BjTS7.843eABS列方差分析表如表 5-13：表 5-13方差来源 离差平方和 自由度 F 值 F 临界值含水量 A SSA=4.37 2 FA=1.864 F0.05(2，2)=19.00粒度 B SSB=20.65 1 FB=17.574 F0.05(1，2)=18.51误差 e SSe=2.35 2结论：含水量和粒度两因素在 =0.05 时对某片剂的贮存期都没有显著影响。5-3.2 重复试验的双因素分析前面介绍的两因素方差的分析时，认为两因素 A 与 B 之间是独立的，但在实际中，两因素通常不是独立的，而是相互起作用的，这种作用称为交互作用。如果要考察两个因素A、B 之间是否存在交互作用的影响，则需要对两个因素各种水平的组合(A i，B j)进行重复试验，比如每个组合都重复试验 t 次(t1)。现将实验结果列成记录表如下(表 5-12)：表 5-12因素 B因素 AB1 Bj BsA1 x111，x 11t x1j1，x 1jt x1s1，x 1stAi xi11，x i1t xij1，x ijt xis1，x istAr xr11，x r1t xrj1，x rjt xrs1，x rstxijk表示对因素 A 的第 i 个水平，因素 B 的第 j 个水平的第 k 次试验结果。设2.1rAiTSs2.1sBjr， .1tijijkx.1sti ijkjxx， .1rtjijki1rstijkijt于是总离差平方和可以分解为 21()rstijkijSx1()()rstijijkx2. .ijijijkijx由于等式右端中各交叉乘积的和为零，所以有 ABIeSS其中 2.1()rAiistx2.1()sBjjSrt2.1()rsIijijijtxxeABISS它们分别表示因素 A、B、A 与 B 的交互作用以及随机误差产生的离差平方和，给定显著水平 ，如果考察因素 A 的影响，查 F 临界值分布表(附表 8)得临界值 ,(1),AFrstFA ，则认为因素 A 影响显著，否则认为影响不显著。对因素 B 也类(1),rst似。如果考察因素 A 与 B 的交互作用的影响，那么同样方法得临界值 FI (r-1)(s-1),rs(t-1),若 FIF I (r-1)(s-1),rs(t-