第1章++差分方程

什么是时间序列？ 时间序列的研究内容和方法 模型？ 时间序列分析的应用？序 言第 1 章 差分方程1.1 时间序列模型I. 一般原理：时间序列通常可以分解为趋势性、季节性、循环或周期性、和无规律性这四项。前三项具有可预测性，第四项对前三项有干扰性。如果其干扰或波动大小可以被估计，那么，时间序列的预测是可以进行的。 例 （图 1.1）：50个时间序列观测数据的分解和预测（选自 Walter Enders的书 “Applied Econometric Time Series”）该例子的数学模型：趋势项方程周期性方程无规律性方程其中， Tt 为 t 期的趋势性成分；St 为 t 期的周期性成分；It 为 t 期的无规律性成分；et 为 t 期的纯随机扰动项。t 期总的时间序列：III. 差分方程所谓差分方程，是将变量表示为该变量滞后值、时间和其它变量的函数，它可以表示为按照这个定义，前面例子的三个成分方程都是差分方程。但真正理解差分方程的这个定义依赖于两条： 1、差分的定义或含义； 2、方程的定义及含义。这两条将在 1.2节的 I和 II中解释。IV. 三个差分方程或时间序列的例子1.随机游走（或游动）或例 ：股价模型。 yt 为 股价， et +1的期望值为 0。即在知道第 t 期股价 yt 情况下，第 t +1期股价 yt+1 的期望值就等于 yt ，即更广泛的随机差分方程这表示市场的变化是均衡的。2.结构方程和诱导方程将差分方程拆分成独立的单方程模型是很有用的。例 ：随机形式的萨缪尔森 （ 1939） 经典模型：其中， yt , ct和 it分别表示 t 期的实际 GDP, 消费和投资。 ect , eit 分别是消费和投资的随机干扰项，均值都为零。 a, b 为待估参数。第三个方程表示加速原理，即在消费增长必定带来新的投资支出前提下，投资支出等于消费变动的一定倍数。这是一个 结构方程 ，因为它表明了两个当期内生变量 it和 ct之间满足某个约束条件或系统结构。（ 1.1）（ 1.2）（ 1.3）诱导方程 是将当期变量值表示成该变量滞后值、其它内生变量的滞后值、外生变量的当期值和过去值、以及扰动项的函数。式（ 1.2）或消费是一个诱导方程，但式（ 1.3）或投资还不是诱导方程。为了得到投资的诱导方程，将式（ 1.2）代入（ 1.3）得到诱导方程并不唯一。例如投资的诱导方程进一步可以写为将式（ 1.2）和（ 1.4）代入（ 1.1）得到 GDP的诱导方程（ 1.4）（ 1.5）3.误差纠正：远期和即期价格在即期市场可以买卖一定的商品和金融产品进行即期交割，或在规定的未来某一日期完成交割。例 ：外汇（或期货）设某外汇的即期（或卖出）价格为 st 美元，未来一期的远期交割（或买入）价格为 ft 美元。假设一投机者以每单位 ft 美元的价格购买该远期外汇，即在 t 期，该投机者获得外汇，并按每单位 ft 美元进行支付。于是，每交易单位在 t+1期的盈利（或亏损）为 st+1 ft 。无偏远期利率假设认为投机行为的期望收益为零，即成立当该假设不成立，即 st+1与 ft 不一致时，后期就会进行某种调整以恢复均衡。考虑调整过程的 误差纠正 模型：即变量在任何一期的变动都和变量前一期值与长期均衡的离差有关。当即期汇率 st+1与远期汇率 ft相等时， 则即期汇率和远期汇率就倾向于保持不变。当即期汇率 st+1大于远期汇率 ft时， 则即期汇率将会下降，远期汇率将会上升；当即期汇率 st+1小于远期汇率 ft时， 则远期汇率将会下降，即期汇率将会上升。1.2 差分方程及解法I. 差分的定义函数 y = f (t)在变量 t 的特定值 t* 处变化 h时的一阶差分定义为将单位标准化，以 h代表时期 t 处的一个单位变化，即h=1，并考虑自变量均匀分布的序列。不失一般性，去掉 t* 上的星号，则得到一阶差分同样，可从一阶差分的变化中得到二阶差分类似地，可以定义 n 阶差分 。记号：为了方便，通常将整个序列 表示成 。II. 差分方程的形式考虑 n 阶常系数线性差分方程，其一般形式可以表示为其中， xt 项称为 推动过程 ，其形式非常广泛，可以是时间、其它变量的当期值或滞后值，和（或）随机干扰项的任一函数。 的一个重要特例是其中， bt 为常数（某些可取零），序列 et 不是 yt 的函数。于是，可以认为 只不过是一个未取定外生变量的序列。（ 1.10）式（ 1.10）可以写为差分算子形式（ ）。由（ 1.10）得令 ，则得到自回归方程令 ，则得到随机游走模型令 ，则得到（ 1.11）式（ 1.11）与通过给定导数求原函数的形式有类似之处。进一步，式（ 1.11）又可以写成易知，式（ 1.10）可以写成关于的一个方程，其中 项的系数都为 1。因此，差分方程是时间序列的一种数学结构和表示，是研究时间序列的一个重要方法。III. 差分方程的解差分方程的解是将未知项 yt 表示为序列 中的元素和 t （也可以和序列 的一些给定值，即 初始条件 ）的一个已知函数，使得代入到差分方程之中，满足方程式。例 1： 或 易知， 是该差分方程的解。这里， c为任意常数。因此，其解有很多或不唯一。例 2：考虑无规律性方程 的解。则可以验证，该一阶差分方程的解为这个解实际上可以从诱导方程的迭代推导出来（略）。 注意诱导方程和解的区别。1.3 差分方程及解法通过对 y的诱导方程进行迭代，有可能得到整个 y序列的解。I. 初始条件已知的迭代考虑初始条件 y0已知的一阶差分方程a. 向前迭代（ 1.17）（ 1.18）b. 向后迭代也得到与式（ 1.18）相同的结果。II. 初始条件未知的迭代初始条件 y0未知时，式（ 1.18）也未知，即不是一阶差分方程（ 1.17）的解。对式（ 1.18）继续向后迭代，得到（ 1.20）若 ，则当 时，得到一阶差分方程（ 1.17）的一个解（ 1.21）而且，容易验证，对于任意常数 A，（ 1.22）也是一阶差分方程（ 1.17）的解。 注 ：解（ 1.21）或（ 1.22）的收敛性意味着序列 et的过去值对 yt的当期值的影响越来越小。IV. 非收敛序列（或收敛性）当 ，式（ 1.20）收敛到解（ 1.21）。当 ，式（ 1.20）不收敛或发散，但只要给出初始条件 y0，则可使用解（ 1.18）。当 ，一阶差分方程（ 1.17）可写为使用迭代法，可得到当初始条件 y0 给定时，（ 1.26）是（ 1.17*）的一个解。若没有初始条件，式（ 1.26）可能是不收敛或发散的， 又未知，因此不是一个解。（ 1.17*）（ 1.26）收敛性图示右图为一个计算机随机模拟的解（ 1.18）的表现性质。其中，细线为解的序列，实线为解的确定性部分的序列。1.4 备选解法对于一般的差分方程（ 1.10）I. 齐次方程差分方程（ 1.10）中常数项 a0和推动过程项 xt都不出现时，就得到了齐次（差分）方程齐次方程（ 1.30）解的一个性质是：若 为（ 1.30）的解，则对于任意常数 A， 也是（ 1.30）的解。当阶数 n较高时，迭代法就显得非常复杂和困难，此时可使用其它的备选解法。（ 1.10）（ 1.30）II. 一阶差分方程的备选解法考虑一般的一阶差分方程则得到一阶齐次方程（ 1.27）显然，恒零序列 是齐次方程（ 1.27）的一个解。另外，当初始条件 y0已知且非零时， 也是它的一个解。两者都包含在（ 1.27）的齐次通解之中， A为任意常数（此时，上式右端 y0可以省略）。（ 1.10*）若 为（ 1.10*）的一个特解，则（ 1.10*）的通解为参数 A对应于非零的初始条件 y0，即 。III. 一般差分方程的解法对于一般差分方程（ 1.10），其求解方法通常为第 1步：建立齐次方程（ 1.30），求出它的 n个齐次解第 2步：求出（ 1.10）的一个特解 ；第 3步 ： 通解为所有齐次解的线性组合与特解之和，即第 4步：将初始条件代入通解中，确定线性组合的系数。1.6 解齐次差分方程I. 解一阶齐次差分方程在第 4节 “备选解法 ”里已经介绍了一阶齐次差分方程解的形式为（ 1.27）其中， A为任意常数。一般的 n 阶（线性）差分方程为（ 1.10）II. 解二阶齐次差分方程考虑一般的二阶齐次方程a 待定 ， A为任意常数。把它代入到（ 1.45），得到（ 1.45）的解。猜想其齐次解也如一阶一样有相同的形式消去 A和 a t-2之后，得到关于 a 的一元二次方程（ 1.46）(1.47)又称它为 特征方程， 其解称为 特征根 。运用一元二次的求根公式，得个两个特征根为(1.48)其中， 为判别式。于是， 都是（ 1.45）的解，其