第十五讲现代数学模型分析方法

第十五讲 金融市 场 的 现 代数学模型分析方法 一、无风险证券的估价二、金融风险的基本分析工具三、资产组合理论四、证券组合理论五、资本资产定价模型（ CAPM）六、因素模型七、套利定价理论（ APT） 1一、无风险证券的估价1.定义、名义利率和实际利率 无风险证券是指到期回报率确定、没有任何违约风险的证券 通常，人们把国债作为无风险证券 实际利率一般定义为名义利率减去通货膨胀率 22.现值、即期利率和到期收益率、贴现因子 无风险债券的现值等于按照一定的贴现率对该债券承诺支付的现金流的进行贴现后得到的价值 任何固定收入债券的到期收益率是一个全期利率，按照该利率，现在投入的一笔资金在到期日正好得到全部证券承诺的支付 即期利率是某一给定时点上无息证券的到期收益率 贴现因子等价于将来 t年之后从财政证券得到的 1元钱的现值3二、金融风险的基本分析工具 1.金融风险的定义 对金融风险的理解随着时间推移而不断加深 20世纪初人们认为企业的负债越高风险就越大 20世纪 60年代，投资大师格雷厄姆等人用边际安全度（ margin of safety） 来衡量风险 现代意义上的单一证券或证券组合的风险的含义，是由马柯维茨（ H.Markovitz） 等人界定，即：金融风险是指金融变量的可能值偏离其期望值的可能性和幅度。 42.证券投资收益和风险的衡量 对单一证券或证券组合的收益与风险的衡量，包括两类 历史的风险与收益（ historical or ex post risk and return） 预期的风险与收益（ expected or ex ante risk and return） 前者用于确定单一证券或证券组合以往的风险与收益，后者用于确定单一证券或证券组合未来的风险与收益。 5证券收益的衡量 对单一证券而言，证券未来收益的期望值是衡量证券投资收益的最好方法 证券的期望收益等于证券的各种可能收益的加权平均数，权数是各种可能收益的概率 期望收益指标的优越之处有二：一是反映了证券各种可能的收益，涵盖了全部信息；二是单一证券的期望收益与证券组合的期望收益存在线性的联系。 证券组合的收益等于组合中各种证券的期望收益的加权平均数，以各证券占证券组合的投资比重为权数。 其中， Xi为证券 i占证券组合 P的投资比重； E（ Ri） 为证券 i的期望收益； n为证券组合 P包含的证券种数。 6证券风险的衡量 马柯维茨采用证券收益的方差或标准差来衡量单一证券的投资风险 对于证券组合的投资风险，不仅取决于该证券自身方差的大小，而且取决于该证券与证券组合中其他证券之间协方差的大小。 假设证券组合 P中包含 a和 b两种证券，其中 a证券的方差（ variance） 和标准差 (standard deviation)分别为 Va和 Sa； b证券的方差和标准差分别为 Vb和 Sb。 而且， a、 b两种证券收益之间的协方差 (covariance)为 Cov(a,b)7 如果两种证券 a、 b占证券组合 P的投资比重分别为 Xa、 Xb， 显然， Xa+ Xb =1,那么该证券组合的风险就可以用下面的公式计算 : 或者， 一般地，当证券组合 P包含了 n种证券时，其风险可表示为：83.风险偏好和均值方差效用函数 到底人们是喜欢风险还是厌恶风险呢？ 做一个 “公平赌 ”(Fair gamble)试验。抛一枚硬币，人头朝上赢 10000元，字朝上输 10000元。按概率计算，输赢的机会各一半，期望收益为零。如果你不想参与这个赌博，你是 “风险厌恶者 ”(risk averter);如果你愿意参加这个赌博，你是 “风险喜好者 ”(risk lover)； 如果你认为赌不赌无所谓，你是 “风险中立者 ”(risk neutral) 依人们对风险的不同态度，可得出不同的均值方差（或标准差）效用函数，其一般形式为 U=U(EV)， 其中 E为未来收入或财富的均值（或期望值），而 V为方差。 9三、资产组合理论 背景简介及基本假设 1958年，占姆士 托宾 (JTobin)发表了针对风险的流动性偏好行为，较早的对证券投资中的资产组合理论进行了系统的阐述 托宾把资产分为货币性资产和非货币性资产。 货币资产：凡能够在市场上流通，拥有固定的货币价值，又不存在违约风险的资产。反之，叫做非货币资产 在货币资产中，凡能够给资产持有者带来收益的，叫做非现金货币资产；反之不能带来收益的，称为现金货币资产，如现金。 10 为了简化分析，托宾做了下述假定 : (1) 在持有的资产总额中，货币资产与非货币资产的比例业已确定，资产组合理论要讨论的问题是在货币资产内部，现金货币资产和非现金货币资产的划分比例问题。 (2) 先分析现金与一种非现金货币资产（统一公债 ,由英国政府 1751年发行，每年支付一笔固定的利息但是没有还本期限的债券）的组合，然后推广到现金与多种非现金货币资产组合的情形。 (3) 假定投资者拥有的货币资产中，现金的比重为 X1， 统一公债的比重为 X2， 并且比重为 X1+X2 1。 (4) 假定现金的收益为 0，风险也为 0；统一公债每年的固定收益为 r（ 面值为一个货币单位，如 1英镑）。此外，统一公债还会给投资者带来资本利得或资本损失 (capital gain or loss)， 定义为 g。 (5) X1和 X2的比例，并非简单的取决于 r+g的大小，而是取决于投资者对统一公债未来收益的预期。 112.对未来收益有确定性的预期的情形 假定投资者预期从统一公债上获得的收益为 re， 根据预期收益 re与固定收益 r是否有关，可分为如下两种情形： （一）当 re与 r无关时的资产组合 （二）当 re与 r存在某种函数关系时的资产组合 12（一）当 re与 r无关时的资产组合 投资于统一公债，一年的总收益是：(r+g)。 当 r+g0时， X1 0且 X2 1； 当 r+g0时，即 rre/(re+1)； 当 r+g r， 应全部持有现金。 143.对未来收益的预期不确定的情形 （一）资产组合的预期收益与风险 资产组合的总收益R= X10+X2(r+g) X2(r+g) 统一公债的资本利得或损失是一个随机变量，且期望值为 0，则资产组合的预期收益E(R)= EX2(r+g)= X2r 资产组合的风险用标准差表示，则S(R) = X2Sg 153.对未来收益的预期不确定的情形 （二）机会轨迹 (opportunity locus) 机会轨迹是一条反映资产组合的预期收益和风险之间关系的曲线。由上面的计算容易得到： X2 E(R)/r S(R) /Sg 略加变形，即得： E(R) (r/Sg)S(R) 上式即为资产组合的机会轨迹的解析表达式。当 r 、 Sg固定不变时，资产组合的预期收益与风险成线性关系163.对未来收益的预期不确定的情形 （三）资产组合风险与持有公债比例之间的函数关系 根据 S(R) = X2Sg ， 可得：X2 = （ 1/ Sg） S(R) 上式表明，当统一公债总收益的标准差固定不变时，资产组合中持有的统一公债的比例与组合的风险成正比关系。 173.对未来收益的预期不确定的情形 （四）投资者的风险偏好 投资者的风险偏好不同，这种差异可以通过 “期望收益方差 ”二维平面中的无差异曲线加以描述 （五）最佳资产组合点 在 “期望收益标准差 ”二维平面中 ,把投资者个人的无差异曲线和证券组合机会轨迹结合起来 ,即可得到个人的最优选择点。 最优选择点只能出现在机会轨迹上，具体来说，它可能是无差异曲线与机会轨迹的切点，也可能是机会轨迹的上端点或者下端点。 184.对资产组合理论的简评 托宾的资产组合理论首先是一个货币需求理论，是对凯恩斯流动性偏好理论的进一步发展。 托宾的资产组合理论对金融资产定价理论作出了重要贡献。概括起来，主要是两个方面： 它指出投资者的决策中不仅考虑资产的收益率，还要考虑其风险，这正是全部资产定价理论基本指导思想 指出金融市场是一个互动的整体，无风险资产与风险资产是不可以完全分割开来的 19四、证券组合理论1.简介及基本假设 1952年，马柯维茨（ Harry M. Markowitz） 发表了一篇里程碑性的论文 组合的选择 马柯维茨认为，投资者的的目标并非是预期收益最大化。如果仅以收益最大化为投资目标，那么投资者选择的证券，应该只有他或她认为能够带来最大收益的唯一资产 投资者往往同时寻求最大的预期回报和最小的不确定性（风险） 20 马柯维茨的证券组合理论的假设条件 不满足与风险厌恶 证券收益率是服从正态分布的随机变量，并且投资者的效用函数是二次函数； 根据假定 2，可以用预期收益率方差（或 标准差）效用函数来描述投资者的效用水平，并且可以用方差（或标准差）衡量证券的风险； 投资者按照假定 1行动，会遇到风险和收益之间的两难选择。投资者选择的最大预期收益的证券组合，极有可能也是风险最高的，而通过分散化投资降低了风险的同时，预期收益也有可能被降低了 212.逐一评价法 计算每一个证券组合的预期收益率和标准差，每一个组合对应于 “预期收益率标准差 ”二维平面上的一个点，每个点必然位于投资者的某一条无差异曲线上，比较不同的无差异曲线所代表的效用水平，投资者将决定对证券组合的取舍。 这种方法的缺点是计算过于复杂，证券的品种数以千计，而证券组合的数目更是大的惊人。个人投资者的时间、精力和知识都是有限的，因而不会采用这一 “笨拙的 ”方法的。 223.有效集定理 （ 1）定义 在有效集定理中，投资者只要考虑那些可行集合的一个子集就足够了。因为投资者要选择的最优组合，要同时满足以下两个条件： （ 1）对于每一风险，提供最大的预期收益率； （ 2）对于每一预期回报率，提供最小的风险。 同时满足这两个条件的组合集，就叫做有效集或有效边界。（ 2）可行集与有效集 可行集又叫机会集，它代表由一组 n种证券形成的所有组合。这个集合的形状好像伞盖。233.有效集定理（ 3）最佳组合选择 在同一个 “期望收益率标准差 ”二维平面内作出投资者的无差异曲线。 由于风险厌恶者的无差异曲线向右下方凸出（第一节已有介绍），而有效组合边界向左上方凸出（下面将有论证），所以能够在切点处确定唯一的最优证券组合。 最优组合不可能是有效集之外的点，所以有效证券组合实际上是一种优选法，它大大降低了投资分析的工作量。 244.有效集的形状 255.市场模型 （ 1）系统性风险与非系统性风险 单个证券的风险可以分为系统性风险和非系统性风险两部分 对于由共同因素引起股票指数波动而带来的个股价格变化引发的个股收益率的不确定性，叫做系统性风险 对于纯粹由个股自身因素引起的个股价格波动带来的个股收益率不确定性，则称之为非系统性风险。 26（ 2） 市场模型 该模型假设某种个别证券在给定时期内的收益率与同一时期内的市场指数存在某种线性关系 Ri = iI+ iIRI + i 其中， Ri 和 RI分别是第 i种证券和市场指数的收益率， iI 、 iI和 i分别是截距、斜率和随机误差项276.分散化原理 单一证券的风险Vi= 2iIVI + Vi 证券组合的风险 Vp =2pIVI +V(p) 其中， V(p) Xi2V(i) 组合的市场风险和平均风险 一个组合越是分散化，也即组合中包含的证券种类越多，每一个证券的比例就越小。即：分散化导致市场风险的平均化 28五、资本资产定价模型（CAPM）1.无风险借贷 无风险借贷是 CAPM模型