第二章控制系统的数学描述方法

HEILONGJIANG UNIVERSITY第二章 控制系统的数学描述方法HEILONGJIANG UNIVERSITY本章主要内容引言2-1 控制系统的微分方程2-2 非线性微分方程的线性化2-3 拉普拉斯变换及其应用2-4 传递函数2-5 动态结构图2-6 一般反馈控制系统小结2HEILONGJIANG UNIVERSITY引言 数学模型描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系 统或元件的数学模型 建模深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们 的数学模型称建模 3HEILONGJIANG UNIVERSITY一、建立控制系统数学模型的方法n 解析法 对系统各部分的运动机理进行分析，物理规律、化学规律。n 实验法 人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。4HEILONGJIANG UNIVERSITY二、常用数学模型n 设定常系统输入 /输出（ I/O） 模型：用系统的输入、输出信号或其变换式所表示的数学模型。当 I/O为：时域信号 、 微分方程复数域信号 、 传递函数频域信号 、 频域特性5HEILONGJIANG UNIVERSITY控制系统的运动规律，一般是以时间 t为自变量，采用线性常系数微分方程来描述的：2-1 控制系统的微分方程 线性定常系统满足上述方程的系统称为线性定常系统。6HEILONGJIANG UNIVERSITY 线性定常系统满足以下性质：n 线性 可加性n 参数 定常 性x(t)=ax1(t)+bx2(t) y(t)=ay1(t)+ by2(t)系统的参数或者说元件的参数均为常数。7HEILONGJIANG UNIVERSITY2-1-1 电学系统n 电路分析中的基本元件：电阻 R、 电容 C、 电感 L， 它们的 V-I关系遵循广义欧姆定律 :n 电阻： n 电容： n 电感：n 遵循元件约束和网络约束。n 电网络的基本约束为 基尔霍夫定律 。8HEILONGJIANG UNIVERSITY2-1-2 力学系统n 古典力学系统的运动定律是 牛顿定律 ：n 平移运动：2-1-3 复合系统n 几种不同类型的物理系统，在符合传输关系 的条件下，以不同方式连接构成的系统。9HEILONGJIANG UNIVERSITY建立系统微分方程的一般方法1、 确定系统的输入 和输出 ； 2、 将系统划分为若干环节，从输入端开 始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律， 列写各环节的输出 /输入关系；3、 消去中间变量 ，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。10HEILONGJIANG UNIVERSITY2-1-1 电 学系 统例 2-1 如 图 2-2所示，写出 ui为输 入， uo为输 出的微分方程。解：由回路电压定律因为电容电流有令 T=RC有即图 2-211HEILONGJIANG UNIVERSITY例 2-2 如 图 2-3所示，写出 ui为输 入， uo为输 出的微分方程。解：对 L1有对 L2有图 2-312HEILONGJIANG UNIVERSITY设时间常数13HEILONGJIANG UNIVERSITY解：由加速度定律弹性阻力粘滞阻力2-1-2 力学系 统例 2-3 如 图 2-4所示，写出 Fi为输 入， x为输 出的微分方程。 图 2-414HEILONGJIANG UNIVERSITY2-2 非线性微分方程的线性化n 非线性系统的线性化对于数学上满足基本条件 (连续、可导 )的非线性系统，确定其在工作点邻域的线性关系，称为非线性系统的线性化。15HEILONGJIANG UNIVERSITYn 非线性系统线性化的步骤：n 首先确定系统输入 -输出之间的函数 。n 在工作点 邻域将 展开为泰勒级数p1616HEILONGJIANG UNIVERSITY增量 较小时略去其高次幂项，则有 令则 线性化方程为 y=kx 式中 是比例系数，是函数在 x0点切线的斜率。17HEILONGJIANG UNIVERSITY2-3 拉普拉斯变换及其应用2-3-1 拉氏变换定义已知时域函数 f(t) ， 如果满足相应的收敛条件则 f(t) 的拉氏变换存在，其表达式记作P1918HEILONGJIANG UNIVERSITY2-3-2 常用信号的拉氏变换19HEILONGJIANG UNIVERSITY2-3-3 拉氏变换的基本定理n 卷积定理n 终值定理n 初值定理n 积分定理n 微分定理n 衰减定理n 延迟定理n 线性定理20HEILONGJIANG UNIVERSITY2-3-4 拉氏反变换在控制理论中，常遇到的象函数 F(s)形式如下式中， s1,s2,.sn称为 A(s)=0的根，或 F(s)的极点，它们可以是实数或共轭复数。将 F(s)分母 A(s)进行 因式分解，可写成21HEILONGJIANG UNIVERSITY 应用部分分式法进行拉氏反变换：n 分母 A(s)全部为单根其中 为复变函数 F(s)对于极点 s=si的留数。则拉氏反变换为F(s)可以分解为：22HEILONGJIANG UNIVERSITY例 2-10 求 的拉氏反变换。解 因此 23HEILONGJIANG UNIVERSITY 分母 A(s)有 重根F(s)有重极点，假若 F(s)有 m重极点 s2， 简单极点 s1， 那么，其中24HEILONGJIANG UNIVERSITY因为所以，拉氏反变换为25HEILONGJIANG UNIVERSITY例 2-11 求 的拉氏反变换。解系数 C32, C31对应二重根26HEILONGJIANG UNIVERSITY于是， F(s)分解为拉氏反变换为：27HEILONGJIANG UNIVERSITY2-3-5 拉氏变换法求解微分方程n 用拉普拉斯变换 求解线性微分方程 ，可将经典数学中的 微分运算 转化为 代数运算 ，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可供查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。28HEILONGJIANG UNIVERSITY 拉氏变换法 求解微分方程的步骤：1、方程两边作拉氏变换；2、将给定的初始条件与输入信号代入方程；2、写出输出量的拉氏变换；3、作拉氏反变