第二章_自动控制系统的数学模型

2-0 问题的提出2-1 控制系统的微分方程2-2 传递函数2-3 传递函数方框图等效变换2-4 典型环节及其传递函数 第二章 自动控制系统的数学模型ST拉氏变换定理方框图结束方框图练习（ 10min）一阶惯性环节控制单元执行单元控制对象测量单元p(t) q(t) y(t)b(t)r(t) e(t)+-f(t)y(t)=F(r(t),f(t)为研究系统输出 y(t)随时间变化的规律，以及系统的特性，必须研究系统的数学模型。2-0 问题的提出STEND2-1 控制系统的微分方程任何一个物理系统都可以用一个微分方程进行描述，控制系统也不例外。例如： RCUi(t) UO(t)解ST2-1 控制系统的微分方程RCUi(t) UO(t)ST当 Uo(0)=0时，一般地，对于线性定常系统，可描述为：2-1 控制系统的微分方程STEND2-2 传递函数系统的数学模型可以用微分方程表示，但对复杂的微分方程，其求解过于困难，甚至无法求解。为此研究系统的复数模型，即传递函数。为把实数模型转换为复数模型，必须借助拉氏变换，即 Laplace 变换。ST1. Laplace 变换 积分变换的一种，它把复杂的微分方程转换为简单的线性代数方程。定义为：2-2 传递函数ST其中， s=+j；F(s)f(t)的象函数； f(t)F(s)的象原函数例如：2. 常用拉氏变换：2-2 传递函数ST3. 拉氏变换定理：2-2 传递函数ST条件： f(0)=0,即初始条件为 0条件： f(0)=f (0)=f (0)= f (n-1)(0)=04. 拉氏逆变换：2-2 传递函数ST可通过公式推导，但通常通过查拉氏变换表。如不能直接查到，则应先分解为部分分式和。例如：5. 传递函数：2-2 传递函数STRCUi(t) UO(t)设 Uo(0)=0，则2-2 传递函数ST从以上可以看出，只要 G(s)一确定，该电路（环节、系统）的输出与输入之间的关系便已确定。因此，将 G(s)称为该电路（环节、系统）的传递函数。 2-2 传递函数ST传递函数的定义：线性定常系统在初始条件为零的情况下，其输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。下面推导一般系统的传递函数：2-2 传递函数ST在初始条件为零的情况下，对两边求拉氏变换得：传递函数 G(s)在复数域表征了在零初始条件下系统的输出量与输入量之间的关系。对于实际的系统，总有 nm。即 G(s)是复变量 s的有理分式。2-2 传递函数ST将 G(s)写成：其中， X(s)=0称为系统的特征方程，也即对应微分方 程的特征方程；pi(i=1n)为 X(s)=0的根，称为 G(s)的极点；zi(i=1m)为 Y(s)=0的根，称为 G(s)的零点。如果系统特征方程中 s的次数是 n，则称该系统称为 n阶系统。2-2 传递函数ST传递函数的性质：1）分母次数 n分子次数 m，惯性所致； 2） an,an-1,a1,a0 ; bm,bm-1,b1,b0取决于系统中各元件的参数；3） 传递函数反映系统的固有特性，取决于系统的结构和参数传递函数反映系统的固有特性，取决于系统的结构和参数 ， 与系统存在的物理形式、输与系统存在的物理形式、输 入输出的形式以及初始条件无关入输出的形式以及初始条件无关 ；4）传递函数的零极点若为复数，则必为共轭复数，成对出现；5）传递函数的拉氏逆变换实际上是系统的理想单位脉冲响应（简称脉冲响应）； 6）传递函数在系统中 起信号的传递或转换作用。2-2 传递函数ST由于传递函数反映的是系统的固有特性，取决于系统的结构和参数， 与系统存在的物理形式、输 入输出的形式以及初始条件无关，因此在研究控制系统时往往仅从系统的传递函数入手，而不去关心系统的结构形式。因为，对于控制系统，最重要的是 ： （ 1）系统的动态过程是否稳定，以及稳定程度如何；（ 2）系统是否存在静态偏差，以及静态偏差的大小；（ 3）寻找提高稳定性和减少静态偏差的途径。传递函数的用途：（ 1）求系统或环节输出量的表达式；（ 2）分析系统的稳定性、动态特性和静态特性。2-2 传递函数ST6. 传递函数的方框图：将一个环节用方框图表示，并将其传递函数写在方框中，便得到该环节的传递函数方框图；若用方框图描述一个系统，并将系统中各个环节用传递函数方框图表示，则得到该系统的传递函数方框图。G(s)Xi(s) XO(s)环节的传递函数方框图2-2 传递函数STG1(s) G2(s) G3(s)G4(s)P(s) Q(s) Y(s)B(s)R(s) E(s)+-F(s)控制系统的传递函数方框图2-2 传递函数ST传递函数的方框图的基本元素：（ 1）函数方框：方框中的传递函数表示该环节的动态特性，其输出等于该环节的传递函数和输入的乘积。环节的输入会影响环节的输出，但输出不会影响输入。（ 2）信号线：带箭头的信号传递路线，信号线上标出其携带的信号变量。信号传递具有单向性。（ 3）引出点（交叉点，测量点）：信号线的分叉点。同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。（ 4）比较点（会合点）：对两个以上的信号进行代数运算，其输出等于各个输入的代数和。END2-2 传递函数ST又设系统的输入 x(t)=(t)，即 X(s)=1对 Y(s)求拉氏逆变换得到系统的脉冲响应输出 y(t)。设系统的传递函数为：则系统的输出则2-2 传递函数ST对 Y(s)求拉氏逆变换得到系统的阶跃响应输出 y(t)= (t) 。那么系统的输出若 nm，则在 G(s)中至少出现 s的一次方项。设 G(s)=s假设对系统输入一个单位阶跃输入 x(t)=1 ，即 X(s)=1/s该系统在实际中不存在。2-3 传递函数的方框图等效变换STG2(s)G1(s) G3(s)Xi(s) X1(s) X2(s) Xo(s)1.串联方框的等效变换2-3 传递函数的方框图等效变换STG2(s)G1(s) G3(s)Xi(s) X1(s) X2(s) Xo(s)G (s)Xi(s) Xo(s)2-3 传递函数的方框图等效变换STG2(s)G1(s)Xi(s) X1(s)X2(s)Xo(s)2.并联方框的等效变换G (s)Xi(s) Xo(s)2-3 传递函数的方框图等效变换STG1(s)H(s)+3.反馈连接方框的等效变换X1(s)Xf(s)Xi(s) Xo(s)A2-3 传递函数的方框图等效变换STG1(s)H(s)+ X1(s)Xf(s)Xi(s) Xo(s)AG (s)Xi(s) Xo(s)反馈连接传递函数也称为闭环传递函数；若在 A点断开，则为开环，开环传递函数为：前向通道 反馈通道2-3 传递函数的方框图等效变换STG1(s)+Xi(s)G (s)Xi(s) Xo(s)Xo(s)若反馈通道