第二章数学模型与建模

第一、二章 数学模型与建模数学模型是架于数学与实际问题之间的桥梁在数学发展的进程中无时无刻不留下数学模型的印记。一. 模 型为了一定的目的，人们对原型的一个抽象例如:航空模型对飞机的一个抽象， 城市交通图对交通系统的一个抽象 二. 数 学 模 型用数学语言，对实际问题的一个近似描述，以便于人们用数学方法研究实际问题。例 1：牛顿定律假设：1. 物体为质量为 m 的质点，忽略物体的大小和形状。2. 没有阻力、摩擦力及其他外力，只有沿物体运动方向的作用力 F。引入变量 x(t)表示在 t 时刻物体的位置，则受力物体满足如下运动规律，这就是牛顿定律的数学模型。例 2：哥尼斯堡七桥问题问题：能否从某地出发，通过每座桥恰好一次，回到原地？由 4 个结点 7 条边组成的图构成解决这个问题的数学模型。三. 数学模型的特征1. 实践性：有实际背景，有针对性。接受实践的检验。2. 应用性：注意实际问题的要求。强调模型的实用价值。3. 综合性：数学与其他学科知识的综合。四. 建模举例数学建模（Mathematical modelling) 是一种数学的思考方法，用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的强有力的数学工具。下面给出几个数学建模的例子，重点说明：如何做出合理的、简化的假设；如何选择参数、变量，用数学语言确切的表述实际问题；如何分析模型的结果，解决或解释实际问题，或根据实际情况改进模型。 例 1. 管道包扎问题：用带子包扎管道，使带子全部包住管道，且用料最省。假设：1. 直圆管，粗细一致。2. 带子等宽，无弹性。3. 带宽小于圆管截面周长。4. 为省工, 用缠绕的方法包扎管道.参量、变量： W ：带宽，C ：圆管截面周长，：倾斜角（倾斜角）包扎模型 sin（截口）包扎模型 2|OB进一步问, 如果知道直圆管道的长度，用缠绕的方法包扎管道，需用多长的带子？设管道长 L, 圆管截面周长 C, 带子宽 W, 带子长 M.带长模型 2/LM问题:1. 若 L = 30m, C = 50cm, W = 30cm , 则最少要用多长的带子才能将管道缠绕包扎上 ?2. 现有带长 M1=51m，计划将这条带子全部用来缠绕包扎上面的管道。缠绕时允许带子互相重叠一部分。应该如何包扎这个管道？(计算结果精确到 0.001) 例 2. 桌子摆放问题：在起伏不平的地面上能不能让桌子的四个脚同时着地？建模证实，在一定条件下能在起伏不平的地面上放稳桌子，即能让桌子的四个脚同时着地。假设：1.桌子的四条腿等长，四脚连线呈平面正方形 ABCD。2.地面的起伏是连续变化的。3 地面相对平坦，使得桌子在任何位置至少有三个脚同时着地。参数，变量。1. 如何描述“桌子的四个脚同时着地”？记 xA ， xB、 xC、 xD 分别为脚 A，B, C, D 与地面的距离。则 当 xA =xB= xC=xD =0 时，桌子的四个脚同时着地。2.如何用数学的语言描述让桌子的四脚着地？定位：方桌的对称中心 O 位于平面坐标原点移动：桌子围绕中心转动。 记为 AC 与 X 轴的夹角 , 则可用表示桌子移动的位置。0. 于是桌子转动时，4 个桌脚与地面的距离是 的函数。由中心对称性知，只需两个距离函数表示桌子的状态。令 f()= xA( ) + xC( ), g()= xB( )+ xD( )如果在位置 *桌子四脚落地, 则有 f(*) = g(*) = 0.根据假设 2 知 f() 和 g()是连续函数，根据假设 3 有 f() g()0， .根据假设 1 有 f(1)=g(0) 和 g(1)=f(0), 其中 1=0+ 900模型：已知 f() 和 g()是连续函数， f() g()0， . 若 f(0) = 0, g(0) 0, 则存在*使得 f(*) = g(*)=0。证明：因为 f(1)=g(0)0, g(1)=f(0)=0, 令 h() = f() - g(), 则 h() 连续且 h(0) 0. 所以，根据连续函数的介值定理知，存在*, 0 * 1, 使得 f(*) = g(*)=0。问题：1. 将例 4 的假设 1 改为“ 桌子的四条腿等长，四脚连线呈平面长方形 ABCD”，试构造数学模型证实结论同样成立。2. 小王早上 8：00 从 A 城出发于下午 5：00 到达 B 城。次日早上 8：00 他又从 B 城出发沿原路返回并于下午 5：00 准时到达 A 城。试用数学模型说明 A、B 城之间定有一个位置，小王在往返 A、B 二城的途中于相同的时间到达该位置。例例 3：交通路口红绿灯：交通路口红绿灯十字路口绿灯亮十字路口绿灯亮 30 秒，最多可以通过多少辆汽车？秒，最多可以通过多少辆汽车？ 假设1. 车辆相同，从静止开始做匀加速运动。2. 车距相同，启动延迟时间相等。3. 直行，不拐弯，单侧，单车道。4. 秩序良好，不堵车。参数，变量： 车长 L，车距 D，加速度 a，启动延迟 T， 在时刻 t 第 n 辆车的位置 Sn（t）用数轴表示车辆行驶道路,数轴的正向为汽车行驶方向, 数轴原点为红绿灯的位置。于是, 当Sn(30)0 时, 表明在第 30 秒第 n 辆车已通过红绿灯，否则，结论相反。模 型1.停车位模型： Sn（0）= (n-1)(L+D)2. 启动时间模型: tn =(n-1)T3. 行驶模型: Sn(t)=Sn(0)+1/2 a (t-tn) 2, ttn参 数 估 计 L=5m，D=2m，T=1s，a=2m/s解: Sn(30)=-7(n-1)+(30-(n-1)20 得 n19 且 t19=18tn*=Sn(0)+1/2 a (t-tn) 2, tn*ttn= Sn(0) tnt解：S n(30)=-7(n-1)+(5.5)2+11(30-5.5-(n-1)0 得 n17 且 t17 * =5.5+16=21.530=t 成立。结 论: 该路口最多通过 17 辆汽车. 问题1. 调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型是否正确。10. 调查的位置，走向，车道数，时间。 调查数据（至少三次）： 绿灯时间，通过的车数。分析数据不同的原因。20. 分析模型的假设与实际是否一致；模型的参数与实际是否一致。30. 分析模型的计算结果与观测结果是否一致？为什么？不一致时，如何修改模型。2. 分析绿灯亮后，汽车开始以最高限速穿过路口的时间。3. 给出穿过路口汽车的数量 n 随时间 t 变化的数学模型。例 4：人员疏散建模分析意外事件发生时建筑物内的人员疏散所用的时间。假 设1. 有一排 k 间教室，走道只有一个出口。 2 .人员撤离时，有序、单行、 （间隔）均匀、匀速。3. 室内人员排成一队列的时间不计，第一个人到达教室门口的时间不计(t 0=0)。参 数：第 k 间教室人数为 nk+1, 教室距离为 Lk, 门宽为 D，行进速度为 v，人体间隔为 d。如果只有第 k 间教室有人需要撤离，第 k 间教室疏散时间为 Tk模 型K=1 情形： T1=(n1d+L1)/vK=2 情形： 当第二间教室人不需等待时， 即 (L2+D)(n1+1)d， T12= T2=(n2d+L1+L2+D )/v, 当第二间教室人需要等待时， 即 ( L2 +D)(n1+1)d, 等待时间 T= (n1+1)d/v- ( L2 +D)/v, T12= T2 +T=(n1+ n2+1 )d+L1 /v, 讨 论模型：T=(nd+L)/v, 分析：v, 则 T; d, 则 T.令 d=0, 则有 T=L/v。 疏散时间与人数无关!? 假设中忽略了人体的厚度!补充 假 设 4. 人体厚度相同 w模型 T=(n(d+w)+L)/v, 分析 若 d=0, 则 T = (nw+L)/v 合理吗？继续补充假设 5. 速度与间隔有关 v=v（d）模型 T=n(d+w)+L/v(d), 其中 v=v(d)应满足 v(d)是 d 的单调非减函数，v(0)=0 且 当 d 充分大时， v=v max.结论： 存在间隔 d* 和相应的速度 v*, 使得疏散的时间最短。讨论：1. 给出函数 v(d)应满足的一个充分条件，保证存在唯一的间隔 d* ，使得疏散的时间最短。2. 通过实验观测给出函数 v(d).观测数据：间隔 d（厘米）运动速度 v（米/秒）拟合函数 v6.7583)(问题1. 如果 n=400，L=30m ，w=0.2m, 求最短的疏散时间。2. 给出 当 K=3 时的人员疏散模型.五. 建模要点1明确研究目标，力图从实际问题中归纳出所采用的假设 和解题线索;2用假设简化问题，在实际与数学简化之间选择恰当的平衡点 , 这是建模成功与否的关键, 体现了建模工作的想象力和创造力;3进行正确的推理，在无法进行严格的数学推导时, 可以使