线性规划案例

11.人力资源分配问题例 1. 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如表 1 所示。班次 时间 所需人数 班次 时间 所需人数1 6:0010:00 60 4 18:0022:00 502 10:0014:00 70 5 22:002:00 203 14:0018:00 60 6 2:006:00 30设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作 8 小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数最少？解：设 xi 表示第 i 班次时开始上班的司机和乘务人员数 ,这样我们建立如下的数学模型。目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：s.t. x1 + x6 60x1 + x2 70x2 + x3 60x3 + x4 50x4 + x5 20x5 + x6 30x1,x2,x3,x4,x5,x6 0运用 lingo 求解：Objective value: 150.0000ariable Value Reduced CostX1 60.00000 0.000000X2 10.00000 0.000000X3 50.00000 0.000000X4 0.000000 0.000000X5 30.00000 0.000000X6 0.000000 0.000000例2一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？时间 所需售货员人数星期日 28星期一 15星期二 24星期三 25星期四 19星期五 31星期六 282解：设 xi ( i = 1,2,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 28x2 + x3 + x4 + x5 + x6 15x3 + x4 + x5 + x6 + x7 24x4 + x5 + x6 + x7 + x1 25x5 + x6 + x7 + x1 + x2 19x6 + x7 + x1 + x2 + x3 31x7 + x1 + x2 + x3 + x4 28x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 0lingo求解Objective value: 36.00000Variable Value Reduced CostX1 12.00000 0.000000X2 0.000000 0.3333333X3 11.00000 0.000000X4 5.000000 0.000000X5 0.000000 0.000000X6 8.000000 0.000000X7 0.000000 0.000000例3. 某储蓄所每天的营业时间为上午9:00 到下午17:00 ，根据经验，每天不同时间段所需要的服务员的数量为：时间段 910 10111112 1213 1314 1415 1516 1617服务人员数量 4 3 4 6 5 6 8 8储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬为100元，从上午9:00到下午17:00工作，但中午12:00到下午14:00之间必须安排1小时的午餐时间；储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬为40元。问：1) 储蓄所应该如何雇佣全时和半时两类服务员？2) 如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少经费？3) 如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少经费？解：设 x1, x2 分别表示 1213，1314 进行午餐的全时服务人员，y1，y2，y3，y4 ，y5分别表示 910，1011，1112，1213，1314开始工作的半时服务人员，则问题1的模型如下所示：min=100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5;x1+x2+y14;x1+x2+y1+y23;x1+x2+y1+y2+y34;x2+y1+y2+y3+y46;x1+y2+y3+y4+y55;x1+x2+y3+y4+y56;x1+x2+y4+y58;x1+x2+y58;3y1+y2+y3+y4+y54;x1+x2+y1+y23;x1+x2+y1+y2+y34;x2+y1+y2+y3+y46;x1+y2+y3+y4+y55;x1+x2+y3+y4+y56;x1+x2+y4+y58;x1+x2+y58;y1+y2+y3+y4+y5=0;gin(x1);gin(x2);gin(y1);gin(y2);gin(y3);gin(y4);gin(y5);Objective value: 1100.000Variable Value Reduced CostX1 5.000000 0.000000X2 6.000000 0.000000Y1 0.000000 100.0000Y2 0.000000 0.000000Y3 0.000000 0.000000Y4 0.000000 0.000000Y5 0.000000 100.00003）把y1+y2+y3+y4+y54;x1+x2+y1+y23;x1+x2+y1+y2+y34;x2+y1+y2+y3+y46;x1+y2+y3+y4+y55;x1+x2+y3+y4+y56;x1+x2+y4+y58;x1+x2+y58;4gin(x1);gin(x2);gin(y1);gin(y2);gin(y3);gin(y4);gin(y5);运用lingo求解Objective value: 560.0000Variable Value Reduced CostX1 0.000000 100.0000X2 0.000000 100.0000Y1 6.000000 40.00000Y2 0.000000 40.00000Y3 0.000000 40.00000Y4 0.000000 40.00000Y5 8.000000 40.000002. 生产计划问题例4某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？甲 乙 丙 资源限制铸造工时(小时/件) 5 10 7 8000机加工工时( 小时/件) 6 4 8 12000装配工时(小时/件) 3 2 2 10000自产铸件成本( 元/件) 3 5 4外协铸件成本( 元/件) 5 6 -机加工成本( 元/件) 2 1 3装配成本( 元/件) 3 2 2产品售价( 元/件) 23 18 16解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x 4,x5 分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两种产品的件数。求 xi 的利润：利润 = 售价 - 各成本之和产品甲全部自制的利润 =23-(3+2+3)=15产品甲铸造外协，其余自制的利润 =23-(5+2+3)=13产品乙全部自制的利润 =18-(5+1+2)=10产品乙铸造外协，其余自制的利润 =18-(6+1+2)=9产品丙的利润 =16-(4+3+2)=7可得到 xi （i = 1,2,3,4,5） 的利润分别为 15、10、 7、13、9 元。通过以上分析,可建立如下的数学模型:目标函数： Max 15x1 + 10x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 约束条件： 5x1 + 10x2 + 7x3 80006x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 120003x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 10000x1,x2,x3,x4,x5 0lingo求解5Objective value: 29400.00Variable Value Reduced CostX1 1600.000 0.000000X2 0.000000 2.000000X3 0.000000 13.10000X4 0.000000 0.5000000X5 600.0000 0.000000例 5永久机械厂生产、三种产品，均要经过 A、B 两道工序加工。设有两种规格的设备 A1、A2 能完成 A 工序；有三种规格的设备 B1、B2、B3 能完成 B 工序。可在 A、B 的任何规格的设备上加工； 可在任意规格的 A 设备上加工，但对 B 工序，只能在 B1 设备上加工；只能在 A2 与 B2 设备上加工。数据如表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？产品单件工时 设备 设备的有效台时满负荷时的设备费用A1 5 10 6000 300A2 7 9 12 10000 321B1 6 8 4000 250B2 4 11 7000 783B3 7 4000 200原料（元/件） 0.25 0.35 0.50售价（元/件） 1.25 2.00 2.80解：设 xijk 表示第 j 个工序在第 k 种设备上加工的第 i 种产品的数量。建立如下的数学模型:s.t. 5x111 + 10x211 6000 （ 设备 A1 ）7x112 + 9x212 + 12x312 10000 （ 设备 A2 ）6x121 + 8x221 4000 （ 设备 B1 ）4x122 + 11x322 7000 （ 设备 B2 ）7x123 4000 （ 设备 B3 ）x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 （产品在 A、B 工序加工的数量相等）x211+ x212- x221 = 0 （产品在 A、B 工序加工的数量相等）x312 - x322 = 0 （产品在 A、B 工序加工的数量相等）xijk 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3目标函数为计算利润最大化，利润的计算公式为：利润 = （销售单价 - 原料单价）* 产品件数之和 -（每台时的设备费用*设备实际使用的总台时数）之和。这样得到目标函数：Max(1.25-0.25)(x111+x112)+(2-0.35)x221+(2.80-0.5)x312 300/6000(5x111+10x211)-321/10000(7x112+9x212+12x312)-250/4000(6x121+8x221)-783/7000(4x122+11x322)-200/4000(7x123).经整理可得：Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-60.4475x122-1.2304x322-0.35x123运用 lingo 求解Objective value: 1146.514Variable Value Reduced CostX111 1200.000 0.000000X112 230.0493 0.000000X211 0.000000 0.3101897X212 500.0000 0.000000X312 324.1379 0.000000X121 0.000000 0.2530095X221 500.0000 0.000000X122 858.6207 0.000000X322 324.1379 0.000000X123 571.4286 0.000000近似有X111=1200，X112=230，X211=0，X212=500 ，X312=324， X121=0，X221=500 X122=859， X322=324，X123=571Objective value: 1146.362利用整数规划Objective value: 1146.362Variable Value Reduced CostX111 1200.000 -0.7500000X112 230.0000 -0.7753000X211 0.000000 -1.150000X212 500.0000 -1.361100X312 324.0000 -1.914800X121 0.000000 0.3750000X221 500.0000 0.5000000X122 859.0000 0.4475000X322 324.0000 1.230400X123 571.0000 0.3500000例6. 双层卷焊钢管是光明制造厂1990从意大利引进的主导民用产品，生产流程为：钢带镀铜镀铜带精剪制管。产品广泛应用于汽车，机床，大型机械油气管制造。目前全国市场占有率为15%，年利润为350 万元。为广大市场占有率，进一步提高企业知名度，为下一步上市做好准备，该厂1998年拟对双层卷焊钢管分厂实行资产经营，要求有关部门拿出一份经营报告书，要求对以下几个问题做出明确分析：（1）最大盈利能力。（2）生产计划。（3）因镀铜用钢带需从比利时进口，外商要求提前一年提供订货数量，并需用外汇支付。分析如何确定钢带订货量，使外商供货，既能满足生产，又能尽量为工厂节约费用。7生产过程中各项经济指标如下：（1）钢带镀铜：废品率为1%，废品回收扣除废品镀铜过程中各项生产费用后净收入为1000元/t。职工工资实行计件工资，合格品675元/t，钢带8000元/t。（2）镀铜带精剪：废品率为2%，废品回收扣除废品镀铜精剪过程中各项生产费用后净收入为零。职工工资实行计件工资，合格品900元/t。（3）制管：废品率：直径4.76为8%，直径6为8.5% ，直径 8为9%，直径12为10.5%，废品回收扣除废品镀铜，精剪，制管过程中各项生产费用后净收入为700元/t。职工工资实行计件工资，合格品900元/t。售价情况：直径4.76: 16000元/t; 直径6: 16100元/t; 直径8: 16000元/t;直径10: 16100元/t; 直径12: 16300元/t; 折旧： 200万元。生产费用：合格钢管1200元/t。企业管理费：1000元/t。特殊说明：（1）钢带镀铜后镀膜很薄，镀铜带与钢带质量可近似认为一致。（2）生产过程中废料很少，可忽略不计。销售部门经过严密的市场分析后，结合明年的订货情况给厂长以下信息：1998年共需我厂钢管2800t，其中直径 4.76的不少于50%；直径6的至少占10%，至多占 30%;直径8的有300t老主顾订货，必须予以满足；直径10的订货历史上一直与直径6有联动关系，一般为直径6的一半；直径12的属于冷门产品，一年必须有100t 备货，但市场预测绝对不会突破200t 。解：设直径 4.76、6、8、10 和 12 的钢管的需求量分别是 X1，X2 ，X3，X4，X5。钢带的供给量为 X0。则：钢管销售收入 Y1 为：Y1=16000X1+16100X2+16000X3+16100X4+16300X5废品回收收入 Y2 为：Y2=10X0+（0.087X1+0.093X2+0.099X3+0.117X5）700钢带成本 C1 为：C1=8000X0职工工资 C2 为：C2=X00.99675+X00.990.98900+（X1+X2+X3+X4+X5）900则净利润 Y0 为：Y0=Y1+Y2-C1-C2-2000000-（ X1+X2+X3+X4+X5）2200（目标函数）约束条件：1.086957X1+1.092896X2+1.111111X3+X4+1.117318X5=X00.990.98X1+X2+X3+X4+X5=2800X11400840X2280X3300X4=X2/28200X5100X0,X1,X2,X3,X4,X50运用lingo求解:Objective value: 4652764.Variable Value Reduced CostY0 4652764. 0.000000Y1 0.4493000E+08 0.000000Y2 188857.6 0.000000C1 0.2497411E+08 0.000000C2 7331981. 0.000000X1 1400.000 0.000000X2 666.6667 0.000000X3 300.0000 0.000000X4 333.3333 0.000000X5 100.0000 0.000000X0 3121.764 0.0000003. 套裁下料问题例7. 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的需求切割后售出. 从钢管厂进货时得到原料钢管都是19m长. （1）现有一客户需要50根4m 长，20根6m 长和15根8m长的钢管，应如何下料最节省？（2）零售商如果采取的不同切割方式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用不同切割模式不能超过3种. 此外，该客户除需要（1）中的3种钢管外，还需要10根5m 的钢管，应如何下料最节省？问题（1）的求解首先，确定那些切割模式是可行的. 所谓一个切割模式，就是按照客户的需要在原料钢管上安排切割的一种组合. 例如，我们可以将19m 长的钢管切割成3根4m 长的钢管，余料为7m，或者将19m长的钢管切割成4m，6m和8m 长的钢管个一根，余料为 1m.其次，应当确定哪些切割模式是合理的. 通常假设一个合理的切割模式的余料不应该大于或等于客户需要的钢管的最小尺寸. 例如，将19m 长的钢管切割成3根4m 长的钢管是可行的，但余料为7m，可以进一步将 7m的余料切割成4m钢管（余料3m） ，或者将7m的余料切割成6m钢管（余料为1m）. 在这种合理性假设下，切割模式一共有 7种，如表所示.模式 4m钢管根数 6m钢管根数 8m钢管根数 余料/m模式1 4 0 0 3模式2 3 1 0 1模式3 2 0 1 3模式4 1 2 0 3模式5 1 1 1 1模式6 0 3 0 1模式7 0 0 2 3模型建立：决策变量：用xi表示按照第i种模式（i=1,2,7）切割的原料钢管的根数9目标：以切割后余料总量最少为目标，则有Min 3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有Min x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7约束条件：4x1+3x2+2x3+x4+x550,X2+2x4+x5+3x620,X3+x5+2x715,运用lingo求解第一种目标：Objective value: 26.66667Variable Value Reduced CostX1 0.000000 1.666667X2 11.66667 0.000000X3 0.000000 1.666667X4 0.000000 2.666667X5 15.00000 0.000000X6 0.000000 1.000000X7 0.000000 1.666667第二种目标：Objective value: 25.00000Variable Value Reduced CostX1 0.000000 0.000000X2 15.00000 0.000000X3 0.000000 0.000000X4 0.000000 0.2500000X5 5.000000 0.000000X6 0.000000 0.2500000X7 5.000000 0.000000问题（2）求解模型建立：由于不同的切割模式不超过3种，可以用xi表示按照第i种模式（i=1,2,3）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数. 设所使用的第i种切割模式下每根原料钢管生产4m，5m，6m和8m长的钢管数量分别为r1i，r2i，r3i，r4i（非负整数）.决策目标：以切割原料钢管总根数最少为目标，即目标为Min x1+x2+x3约束条件：为满足客户的需求，应有R11x1+r12x2+r13x350,R21x1+r22x2+r23x310,R31x1+r32x2+r33x320,R41x1+r42x2+r43x315,每一种切割模式必须可行，合理，所以每根钢管的成品量不能超过19m，也不能少于16m ，则有16 4 r11+5r21+6r31+8r4119,1016 4 r12+5r22+6r32+8r4219,16 4 r13+5r23+6r33+8r4319.运用lingo 求解Local optimal solution found.Objective value: 28.00000Variable Value Reduced CostX1 10.00000 0.000000X2 10.00000 2.000000X3 8.000000 1.000000R11 3.000000 0.000000R12 2.000000 0.000000R13 0.000000 0.000000R21 0.000000 0.000000R22 1.000000 0.000000R23 0.000000 0.000000R31 1.000000 0.000000R32 1.000000 0.000000R33 0.000000 0.000000R41 0.000000 0.000000R42 0.000000 0.000000R43 2.000000 0.000000例 8. 某公司采用一套冲压设备生产一种罐装饮料的易拉罐，这种易拉罐是用镀锡板冲压成的，为圆柱状，包括罐身、上盖和下底。罐身高 10cm，上盖和下底的直径均为 5cm。该公司使用两种不同规格的镀锡板原料，规格 1 的镀锡板为正方形，边长 24cm；规格 2 的镀锡板为长方形，长 32cm ，宽 28cm；由于生产设备和生产工艺的限制，规格 1 的镀锡板只能按模式 1、2、3 冲压，规格 2 的镀锡板只能按模式 4 冲压(见图)，使用模式 1、2、3、4 进行冲压所需时间分别为 1.5 秒、2 秒、1 秒和 3 秒模式一 模式二11该公司每周工作 40 小时，每周可供使用的规格 1、2 的镀锡板原料分别为 5 万张和 2 万张，目前每只易拉罐的利润为 0.1 元，原料余料损失为 0.001 元/cm2(如果周末有罐身、上盖或下底不能配套成易拉罐出售，也看成是余料损失)。公司应如何安排每周的生产？问题分析：与钢管下料问题不同的是，这里的切割模式已经确定，只需要计算各种模式下的余料损失. 已知上盖与下底的直径 d=5cm, 可得其面积为 , 周长221/49.6Sdcm为 ，于是模式一的余料损失为 。同理可以计15.7Ldcm2240算其他模式下的余料损失，如表所示：罐身个数 底，盖个数 余料损失/cm2 冲压时间/s模式一 1 10 222.6 1.5模式二 2 4 183.3 2模式三 0 16 261.8 1模式四 4 5 169.5 3问题目标应是易拉罐的利润扣除原料余料损失后的净利润最大；约束条件除每周工作时间的原料数量外，还要考虑罐身和盖、底的配套组装模型建立：决策变量：用 xi 表示按第 i 种模式冲压的次数(i=1,2,3,4)y1 表示一周生产的易拉罐个数y2 表示不配套的罐身个数y3 表示不配套的盖(底)个数决策目标(设每周生产的易拉罐全部售出 )：净利润最大净利润=利润四种冲压模式的余料损失不配套造成的原料损失决策目标(设每周生产的易拉罐全部售出 )：maxZ=0.1y10.001(222.6x1 +183.3x2+261.8x3 +169.5x4 +157.1y2+19.6y3)其中：不配套罐身每个损失： 21057.1cm模式三 模式四12不配套盖(底) 每个损失： 22.519.6cm约束条件：时间约束：每周工作不超过 40 小时(144000 秒)1.5x1 +2x2 +x3 +3x4 144000原料数量约束：规格 1、2 镀锡板分别为 5 万张和 2 万张x1 +x2 +x3 50000; x4 20000配套约束：一周生产的罐身个数= x1 +2x2 +4x4 一周生产的盖(底)个数= 10x1 +4x2 +16x3 +5x4配套约束：一周生产的易拉罐个数 minx1 +2x2 +4x4， 0.5(10x1 +4x2 +16x3 +5x4)可以表示成两个线性约束y1 x1 +2x2 +4x4y1 0.5(10x1 +4x2 +16x3 +5x4)不配套罐身个数 y2= x1 +2x2 +4x4 y1 不配套盖(底) 个数 y3= 10x1 +4x2 +16x3 +5x4 2y1 )6.19.57.1698.23.16.2(0.1.min 3243 yxxyZ 且 为 整 数0, 25164102)(5.0425.3232 14324143yxyxyx运用 lingo 求解Objective value: 4298.338Variable Value Reduced CostY1 160250.0 0.000000X1 0.000000 0.5000000E-04X2 40125.00 0.000000X3 3750.000 0.000000X4 20000.00 0.000000Y2 0.000000 0.2233312Y3 0.000000 0.3648437E-01将决策变量扩大 10000 倍（相当于 xi 以万次为单位，yi 以万件为单位） . 此时，20,5,14025.1 43213 xxxx13修改为运用 lingo 求解Objective value: 0.4298337Variable Value Reduced CostY1 16.02500 0.000000X1 0.000000 0.5000000E-04X2 4.012500 0.000000X3 0.3750000 0.000000X4 2.000000 0.000000Y2 0.000000 0.2233312Y3 0.000000 0.3648437E-014. 配料问题例 9.某工厂要用三种原料 1、2、3 混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如表所示。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？产品名称 规格要求 单价（元/kg）甲 原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不超过 25% 50乙 原材料 1 不少于 25%，原材料 2 不超过 50% 35丙 不限 25原材料名称 每天最多供应量 单价（元/kg）1 100 652 100 253 60 35解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：对于甲： x11，x 12，x 13；对于乙： x21，x 22，x 23；对于丙： x31，x 32，x 33；对于原料 1： x11，x 21，x 31；对于原料 2： x12，x 22，x 32； 对于原料 3： x13，x 23，x 33；目标函数： 利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件： 规格要求 4 个；供应量限制 3 个。 利润=总收入-总成本= 甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量-甲乙丙使用的原料单2,5,4.125.1 4323 xxx14价*原料数量，故有目标函数：Max 50（x 11+x12+x13） +35（x21+x22+x 23）+25 （x31+x32+x33）-65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x 32）-35（x13+x23+x33）= -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 约束条件：从第 1 个表中有：x110.5( x11+x12+x13)x120.25( x11+x12+x13)x210.25( x21+x22+x23)x220.5( x21+x22+x23从第 2 个表中，生产甲乙丙的原材料不能超过原材料的供应限额，故有(x11+x21+x31)100(x12+x22+x32)100(x13+x23+x33)60通过整理，得到以下模型：目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 约束条件：s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 0 （原材料 1 不少于 50%）-0.25x11+0.75x12 -0.25x13 0 （原材料 2 不超过 25%）0.75x21-0.25x22 -0.25x23 0 （原材料 1 不少于 25%）-0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 0 （原材料 2 不超过 50%）x11+ x21 + x31 100 (供应量限制）x12+ x22 + x32 100 (供应量限制）x13+ x23 + x33 60 (供应量限制）xij 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3运用 lingo 求解Objective value: 500.0000Variable Value Reduced CostX11 100.0000 0.000000X12 50.00000 0.000000X13 50.00000 0.000000X21 0.000000 15.00000X22 0.000000 0.000000X31 0.000000 45.00000X33 0.000000 10.00000X23 0.000000 0.000000X32 0.000000 0.000000例 10. 汽油混合问题。一种汽油的特性可用两种指标描述，用“辛烷数”来定量描述其点火特性，用“蒸汽压力”来定量描述其挥发性。某炼油厂有 1、2、3、4 种标准汽油，其特性和库存量列于表 1 中，将这四种标准汽油混合，可得到标号为 1，2 的两种飞机汽油，这两种汽油的性能指标及产量需求列于表 2 中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，既满足飞机汽油的性能指标，又使 2 号汽油满足需求，并使得 1 号汽油产量最高？15标准汽油 辛烷数 蒸汽压力/( )2.gcm库存量/L1 107.5 7.11 103800002 93.0 11.38 22652003 87.0 5.69 4081004 108.0 28.45 210130100飞机汽油 辛烷数 蒸汽压力/( )2.gcm产量需求1 不小于 91 不大于 9.96 10越多越好2 不小于 100 不大于 9.96 2不少于250000解：设 xij 为飞机汽油 i 中所用标准汽油 j 的数量(L)。目标函数为飞机汽油 1 的总产量： 12134xx产量约束为飞机汽油 2 的产量： 50库存量约束为：123148065x由物理中的分压定律， 可得有关蒸汽压力的约束条件：（1 号与 2 号汽njjpVv油） 1121314222.85.4.78.90xx注 1：利用分压定律，有 221121314347.0.805.6908.509.60xxxx化简后有（1） ，同理可以得到（2） 。有关辛烷数的约束条件为：（1 号与 2 号汽油）表一表二1611213142226.5.04.7.0(3)78xx注 2： ，化简后有（3） ，同理可以得到（4） 。113142.99xx注：物理中的分压定律：设有一种混合气体由 n 种气体组成，该混合气体的压强为 p,所占总体积为 V, 各组成成分的压强及其所占容积分别为 及 ，则12,.np12,.nv。1njjpVv综上所述，得该问题的数学模型为： 1213421321412131422214max508640.8578.906.7xxxx30,(;,)ijxj运用 lingo 求解Objective value: 933400.0Variable Value Reduced CostX11 264937.9 0.000000X12 135702.1 0.000000X13 408100.0 0.000000X14 124660.0 0.000000X21 115062.1 0.000000X22 129497.9 0.000000X23 0.000000 0.000000X24 5440.011 0.0000005. 投资问题 例 11某部门现有资金 200 万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目 A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利 110%；项目 B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利 125%，但规定每年最大投资额不能超过 30 万元；项目 C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利 140%，但规定最大投资额不能超过80 万元；项目 D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利 155%，但规定最大投资额17不能超过 100 万元。 据测定每万元每次投资的风险指数如右表：项目 风险指数（次/万元）A 1B 3C 4D 5.5问： a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在 330 万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？解： a）确定决策变量：连续投资问题设 xij ( i = 15，j = 14)表示第 i 年初投资于 A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的决策变量：A x11 x21 x31 x41 x51 B x12 x22 x32 x42C x33 D x242）约束条件：第一年：A 当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x11+ x12 = 200；第二年：B 次年末才可收回投资，故第二年年初有资金 1.1 x11，于是 x21 + x22+ x24 = 1.1x11；第三年：年初有资金 1.1x21+ 1.25x12，于是 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；第四年：年初有资金 1.1x31+ 1.25x22，于是 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；第五年：年初有资金 1.1x41+ 1.25x32，于是 x51 = 1.1x41+ 1.25x32；B、C、D 的投资限制： xi2 30 ( i =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 3）目标函数及模型：Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200x21 + x22+ x24 = 1.1x11；x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；x51 = 1.1x41+ 1.25x32；xi2 30 ( i =1、2、3、4 ) ，x33 80，x 24 100 xij 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4） b)所设变量与问题 a 相同，目标函数为风险最小，有 Min f =x11+x21+x31+x41+x51+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24 在问题 a 的约束条件中加上“第五年末拥有资金本利在 330 万元”的条件，18于是模型如下：Min f = (x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24 s.t. x11+ x12 = 200x21 + x22+ x24 = 1.1x11；x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；x51 = 1.1x41+ 1.25x32；xi2 30 ( i =1、2、3、4 ) ，x33 80，x 24 100 1.1x51 + 1.25x42+ 1.4x33+ 1.55x24 330xij 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4）问题(a)运用 lingo 求解Objective value: 341.3500Variable Value Reduced CostX51 33.50000 0.000000X42 30.00000 0.000000X33 80.00000 0.000000X24 100.0000 0.000000X11 170.0000 0.000000X12 30.00000 0.000000X21 63.00000 0.000000X22 24.00000 0.000000X31 0.000000 0.4400000E-01X32 26.80000 0.000000X41 0.000000 0.000000问题(b)运用 lingo 求解Objective value: 1300.000Variable Value Reduced CostX11 200.0000 0.000000X21 192.3166 0.000000X31 131.5483 0.000000X41 144.7031 0.000000X51 159.1735 0.000000X12 0.000000 0.5000000X22 0.000000 0.5000000X32 0.000000 0.5000000X42 0.000000 0.5000000X33 80.00000 0.000000X24 27.68335 0.00000019例 12. 北方印染公司需要的技术工人分为初级，中级和高级三个层次。统计资料显示：培养出来的每个初级工每年可为公司增加产值 1 万元，每个中级工每年可为公司增加产值4 万元，每个高级工每年可为公司增加产值 5.5 万元。公司计划在今后的三年中拨出 150 万元作为职工培训费，其中，第一年投资 55 万元，第二年投资 45 万元，第三年投资 50 万元。通过公司培养初级工，中级工和高级工的经历并经过咨询，预计培养一名初级工，在高中毕业后需要一年，费用为 1000 元；培养一名中级工，高中毕业后需要三年时间，第一年和第二年的费用为 3000 元，第三年的费用为 1000 元；培养一名高级工，高中毕业后也需要三年的时间，第一年的费用为 3000 元，第二年的费用为 2000 元，第三年的费用为4000 元。目前公司共有初级工 226 人，中级工 560 人，高级工 496 人。若通过提高目前技术工人的水平来增加中级工和高级工的人数，其培养时间和费用分别为：由初级工培养为中级工，需要一年时间，费用 2800 元；由初级工培养成高级工，第一年的费用为 2000 元，第二年的费用为 3200 元；由中级工培养为高级工需要一年，费用为 3600 元。由于