第9章 变分反问题

125第 9 章 变分反问题前面我们讨论的都是把泛函的极(驻) 值问题转化为微分方程的定解问题来处理 ,也就是变分的正问题。下面我们讨论变分的反问题, 也就是说, 如何将某些微分方程的定解问题化为泛函的极(驻)值问题来处理。此外还讨论某些算子的特征值问题如何化为变分问题来处理。9.1 算子方程的变分原理定理 9.1 假设 是对称正定算子 , 其定义域为 , 值域为 , , 如果算TD)(T)(Df子方程 fu存在解 ,那么 所满足的充要条件是泛函00ufTJ,2,取极小值。证明: (1) 充分条件设 使得 取到极小值，也就是对任意的 满足0uJ 0u0其中 为满足齐次边界条件的任意函数， 为任意小量。那么0000(),2,2)JTufJu也就是说02,),f对于任意的 要求上式成立，只有fTu(2) 必要条件如果 ，那么0f0000(),()2,),JTufufJ 所以 使得 取到极小值。0uJ例 9.1 建立与 Poisson 方程第一边值问题等价的变分原理。22(,)(,)|0VuufxyzzVxyz解126首先证明算子 是对称正定算子,|0VTu,()d()dd()d(),VVVvvuvVSvvuunTAA,()d0,VVVuuSnuA再根据上面的定理，其对应变分原理的泛函为2,()VJTfud9.2 与 Sturm-Liouville 方程等价的变分原理定理 9.2 Sturm-Liouville 方程为(9.2.1)01(),(,)Tyfxx这里d()()pq， 。两端的边界条件为0)(xp)(q(9.2.2)200001111(),yx则 是对称正定算子。T证明：(a)101 10010100d(),()d() ()()|()()() x xxyxyzpqyxzzpxyzyxyzpzpx(b)10100,()()d() xyTzqyxyz127此外由 处边界条件可知0x(c)00()()yxzz若 ,则上面两式分别乘 和 、并相减，可得000()yx(d)0()yx若 ,则 ，(c)中两式分别乘 和 、并相减，同样可得式(d) 。同理00z0()(e)11()zyx利用式(d) 、(e) 比较式(a)和(b) 可得,T也就是说 是对称。进一步，(f)101 10022d(),()d() ()|x xxyxypqyxpy当 ，由边界条件(9.2.2)0(g)2200 00()()()(),pypxyx当 时 , 只须在上式中取 就可以了。所以式(g) 对任意 都成立。0x0 0同理2211111()()()(),pypxyyx代入式(f) 1 1001022220,()()d()()|x xxTqpypyxy也就是说 是正定。这样，其对应变分原理的泛函为10,2,()()2()dxJuTfupyxqyxfyx例 9.2 化下列两阶常微分方程的边值问题(Sturm-Liouville) 为变分形式1212d()(),(,)0,0urfabxabu解:128222212d d()()()d()()()d1b baababauupxrfxupx