高光谱遥感数据处理基础

泛函分析概括高光谱遥感应用中，如何度量光谱间的相似性一直高光谱图象处理的核心问题，因而我们有必要先交代下度量空间的一些概念。度量空间:所谓度量空间，就是指对偶 ，其中 是一个集合， 是(,)Xdd上的一个度量（或 上的距离函数） ，即 是定义在 上且对所有XXX满足以下四条公理的函数：,xyz（1） 是实值、有限和非负的。d（2） 当且仅当 时， 。xy(,)0d（3） （对称性） 。(,)(,)（4） （三角不等式） 。,dz度量空间给出来空间中元素“距离”的度量，因而使得空间中的元素可比较。但是，仍需要在空间中引入代数结构，使得元素之间可进行代数运算。因而，这里需要引入线性空间。线性空间：所谓域 上的线性空间是指一个非空集合 ，且其元素(KR或 C) X（称为矢量）关于 和 定义了两种代数运算。这两种运算分别叫做矢,xy X量的加法与标量的乘法。矢量的加法是，对于 中的每一对矢量 ，与其相联系的一个矢量(,)xy，叫做矢量之和。按这种方式它还具有下述性质：矢量加法是可交换的和xy可结合的，即对所有矢量都有 ()()xyzxyz此外存在零矢量 并对每个矢量 ，存在有 ，使得对一切矢量有,X0()0x矢量与标量的乘法是，对于每个矢量 和每个标量 ，与其相联系的一个矢量 ，叫做 与 之积。按这种方式对一切 和标量 具有xx,xy,()1x和分配律 ()yx在很多情况下因为线性空间 上定义了度量 ，所以 同时也是一个度量XdX空间。然而，如果 的代数结构与度量没有什么关系的话，我们就不能指望把代数的概念和度量的概念结合在一起。为了保证 的代数性质与几何性质有如此的关系，我们首先需要引入一个辅助的所谓“范数”的概念，其中要用到线性空间的代数运算。然后再用范数诱导出我们希望的度量 ，这一想法就导出d了赋范空间的概念。简单的说，赋范空间把线性空间的代数结构和其作为度量空间的度量紧密结合在一起。赋范空间:所谓赋范空间 ，就是指在其上定义了范数的线性空间 。而XX所谓线性空间 上的范数，就是指定义在 上的一个实值函数，它在 的x值记为 ，并且具有如下性质：x（1） 0（2） （3） x（4） y其中 是 中的任意矢量， 为任意标量。,X巴拿赫空间：所谓巴拿赫空间就是完备的赋范空间（这里的完备性是按范数定义的度量来衡量的，见下面公式）(,)dxy,Xxy此度量叫做由范数所诱导的度量。由范数所诱导的度量具备以下基本性质:引理（平移不变性）：在赋范空间 上，由范数诱导的度量 ，对所有的d及每个标量 ，都满足,Xxy(,)(,)ddxyx在赋范空间中和初等线性代数一样，可以对矢量进行相加和标量相乘的运算。此外空间上的范数推广了矢量长度的概念。而希尔伯特空间则把矢量的内积引入到线性空间中来，使得空间中的元素具有正交性。内积空间：所谓内积空间就是在其上定义了内积的线性空间 。这里所指X的 上的内积，是 到 的标量域 的一个映射；也就是说针对 中的每XXK一对矢量 ，都有一个标量，记之为 与之对应。这个标量叫做 的,xy,xyxy和内积，并且对所有的矢量 和标量 ，都满足,xyz（1） ,z（2） xy（3）（4） ,0,0x希尔伯特空间：所谓希尔伯特空间就是完备的内积空间（以内积所定义的度量来考察完备性，见下面公式） 。上的内积通过X， ,x(,),dxyxy分别在 定义了范数和度量。因此，内积空间是赋范空间，而希尔伯特空间是巴拿赫空间。但并不是所有的赋范空间都是内积空间，因为并不是所有的范数多可以由内积来得到，可以证明内积空间上的范数满足重要的平行四边形等式： 222()xyxy由于高光谱遥感图象的特征空间为有限维欧几里德空间,我们这里给出其性质。欧几里德空间 ：空间 具有内积nRn12, nxyxy（1.1.1）的希尔伯特空间，其中 ， 。由此内积可以诱导12(,)n 12(,)n出范数1 12 22,()nxxx由此得到欧几里德度量1221(,)()()ndyyy（1.1.2）常用的相似性度量主要有：（1） 欧几里德距离: 1221()()ndxyxyxy （2） 内积: 12,Tn（3） 角度: cosarxy（4） 相似系数: T（5） 相关系数: Trxyxy（6） 绝对距离: 1nidxy（7） 明斯基距离: 11nqiyxy（8） 切比雪夫距离: maiindxxy在上面的度量公式中，欧氏距离与内积相协调，共同构成欧氏空间度量元素相似性的基础。角度、