详细青岛理工大学概率论作业册答案

青岛理工大学概率论习题 1-21. 选择题(1) 设随机事件 A，B 满足关系 ,则下列表述正确的是( ).B(A) 若 A 发生 , 则 B 必发生 . (B) A , B 同时发生.(C) 若 A 发生, 则 B 必不发生. (D) 若 A 不发生，则 B 一定不发生.解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D).(2) 设 A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件 表示( ).(A) 甲种商品滞销 , 乙种商品畅销 . (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销.(C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销 .(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销.解 设 B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式, 本题应选(D).BC2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:(1) 一袋中有 5 只球, 其中有 3 只白球和 2 只黑球, 从袋中任意取一球 , 观察其颜色;(2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色；(3) 从(1)的袋中不放回任意取 3 只球, 记录取到的黑球个数；(4) 生产产品直到有 10 件正品为止, 记录生产产品的总件数 .解 (1) 黑球 ,白球； (2) 黑黑,黑白,白黑,白白； (3) 0,1,2；(4) 设在生产第 10 件正品前共生产了 n 件不合格品，则样本空间为.10|12n3. 设 A, B, C 是三个随机事件, 试以 A, B, C 的运算关系来表示下列各事件：(1) 仅有 A 发生；(2) A, B, C 中至少有一个发生;(3) A, B, C 中恰有一个发生;(4) A, B, C 中最多有一个发生;(5) A, B, C 都不发生 ;(6) A 不发生 , B, C 中至少有一个发生.解 (1) ; (2) ; (3) ;ABC(4) ; (5) ; (6) .A()4. 事件 Ai 表示某射手第 i 次(i=1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件：(1) A1A2; (2) A1A2A3; (3) ; (4) A2A 3; (5) ； (6) .32312A解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标 ;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标.习题 1-31. 选择题(1) 设 A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ).(A) . (B) .()PAPB()()ABP(C) . (D) .A解 由文氏图易知本题应选(D).(2) 若两个事件 A 和 B 同时出现的概率 P(AB)=0, 则下列结论正确的是 ( ).(A) A 和 B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件. (D) P(A)=0 或 P(B)=0.解 本题答案应选(C).2. 设 P(AB)=P( ), 且 P(A)p，求 P(B).解 因 ,)11()()A故 . 于是)AB.3. 已知 , , , 求 .(04()3()0.4解 由公式 知 . 于是()03.1PAPB4. 设 A, B 为随机事件, , , 求 .()0.7().PAB解 由公式 可知, . 于是 .( 4()65. 已知 , , , 1)()4C()01()2C求 A, B, C 全不发生的概率.解 因为 ,所以 =0, 即有 =0.AB0PAB （ ） )P由概率一般加法公式得 ()()()()()7.12P ABC由对立事件的概率性质知 A ,B, C 全不发生的概率是.5()()1()12PABCPABC习题 1-41. 选择题在 5 件产品中, 有 3 件一等品和 2 件二等品. 若从中任取 2 件, 那么以0.7 为概率的事件是( ) (A) 都不是一等品 . (B) 恰有 1 件一等品.(C) 至少有 1 件一等品. (D) 至多有 1 件一等品.解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含有一件一等品的概率为 , 没有一等品的概率为 , 将两者加起即为 0.7. 1325C 0235C答案为（D）.2. 从由 45 件正品、5 件次品组成的产品中任取 3 件. 求: (1) 恰有 1 件次品的概率; (2) 恰有 2 件次品的概率 ; (3) 至少有 1 件次品的概率 ; (4) 至多有 1件次品的概率; (5) 至少有 2 件次品的概率.解 (1) 恰有 1 件次品的概率是 ;(2) 恰有 2 件次品的概率是25430C; (3 )至少有 1 件次品的概率是 1- ; (4) 至多有 1 件次品的概率215430C5是 + ; (5) 至少有 2 件次品的概率是 + .524530 214530C04533. 袋中有 9 个球, 其中有 4 个白球和 5 个黑球. 现从中任取两个球. 求：(1) 两个球均为白球的概率；(2) 两个球中一个是白的, 另一个是黑的概率；(3）至少有一个黑球的概率.解 从 9 个球中取出 2 个球的取法有 种，两个球都是白球的取法有29种，一黑一白的取法有 种，由古典概率的公式知道24C154C(1) 两球都是白球的概率是 ;29(2) 两球中一黑一白的概率是 ;154(3) 至少有一个黑球的概率是 1 .29C习题 1-51. 选择题(1) 设随机事件 A, B 满足 P(A|B)=1, 则下列结论正确的是 ( )(A) A 是必然事件 . (B) B 是必然事件.(C) . (D) .()PA解 由条件概率定义可知选(D).(2) 设 A, B 为两个随机事件, 且 , 则下列命题正确的是( ).0)1(A) 若 , 则 A, B 互斥.()(P(B) 若 , 则 .1(C) 若 , 则 A, B 为对立事件.(D) 若 , 则 B 为必然事件 .(|)解 由条件概率的定义知选（B） 2. 从 1,2,3,4 中任取一个数, 记为 X, 再从 1,2,X 中任取一个数, 记为 Y,求PY=2.解 解 P Y=2=PX=1PY=2|X=1+PX=2PY=2|X=2+PX=3PY=2|X=3+PX=4PY=2|X=4= (0+ + + )= .41234183. 甲、乙、丙三人同时对某飞机进行射击, 三人击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7. 飞机被一人击中而被击落的概率为 0.2, 被两人击中而被击落的概率为 0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落. 求该飞机被击落的概率.解 目标被击落是由于三人射击的结果, 但它显然不能看作三人射击的和事件. 因此这属于全概率类型 . 设 A 表示“ 飞机在一次三人射击中被击落 ”, 则表示“恰有 i 发击中目标 ”. 为互斥的完备事件组 . 于是(0123)iBiB没有击中目标概率为 ,0().650.39P恰有一发击中目标概率为,1().45.3.7036P恰有两发击中目标概率为,2006.570.45.41B恰有三发击中目标概率为.3().45.714又已知 ,0 23|),(|),(|).6,(|)PABPAPAB所以由全概率公式得到30()()|)0.36.410.10.458iii 4. 在三个箱子中, 第一箱装有 4 个黑球, 1 个白球; 第二箱装有 3 个黑球, 3 个白球; 第三箱装有 3 个黑球 , 5 个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取一球.(1) 求取出的球是白球的概率；(2) 若取出的为白球, 求该球属于第二箱的概率. 解 (1)以 A 表示“取得球是白球” ， 表示“取得球来至第 i 个箱子”,iHi=1,2,3.则 P( )= , i=1,2,3, .iH1312315(|),(|),(|)58PAP由全概率公式知P(A)= .112233)(|)(|)(|)A120(2) 由贝叶斯公式知 P( )=|H2( 5HP5. 某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的 40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为 0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查. (1) 求这件产品是次品的概率;(2) 已知抽得的一件是次品, 问此产品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少？解 设 A 表示“取到的是一件次品”, (i=1, 2, 3)分别表示“所取到的产品B来自甲、乙、丙工厂”. 易知, 是样本空间 S 的一个划分, 且123,， ,12()0.4,().38()0.PBP12|)0.4(|)0.3PAPAB.3|5(1) 由全概率公式可得 123()|)(|)(|)(ABB.0.4.80.03(2) 由贝叶斯公式可得,11(|)(.45(|)03812PA,22|.9|()64B. 33|.5(|)03812PAP习题 1-61. 选择题(1) 设随机事件 A 与 B 互不相容 , 且有 P(A)0, P(B)0, 则下列关系成立的是( ).(A) A, B 相互独立. (B) A, B 不相互独立.(C) A, B 互为对立事件. (D) A, B 不互为对立事件.解 用反证法, 本题应选(B).(2) 设事件 A 与 B 独立, 则下面的说法中错误的是( ).(A) 与 独立. (B) 与 独立.(C) . (D) A 与 B 一定互斥.()P解 因事件 A 与 B 独立, 故 ,A 与 及 与 B 也相互独立. 因此本与题应选(D).(3) 设事件 A 与 B 相互独立, 且 0 2. (C) 1 2. 解 对 1 2 时, 答案是(A).(7) 设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1), 对给定的正数 , 数)0(满足 , 若 , 则 等于( ).uux(A) . (B) . (C) . (D) .2211-2u1u解 答案是(C).2. 设连续型随机变量 X 服从参数为 的指数分布 , 要使成立, 应当怎样选择数 k?4PkX解 因为随机变量 X 服从参数为 的指数分布, 其分布函数为1e0,()0,.xFx 由题意可知.2 212()(e)(1)e4 kkkkPkXk 于是 .ln3. 设连续型随机变量 X 的分布函数为 20,()1, xFx求: (1) X 的概率密度 ; (2) .37P解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系 ,()Fxf可得 2,01,()其 它 .fx(2) .20.3.7.(.3)704F4. 设连续型随机变量 X 具有概率密度函数,01,()2,xfA其 它 .求: (1) 常数 A； (2) X 的分布函数 F(x).解 (1) 由概率密度的性质可得,122201101d()dxxA于是 ；A(2) 由公式 可得()()xFf当 x0 时, ;0当 1 时, ;21()dx当 2 时, ;x 2101()d1xxF当 x2 时, .()所以 2,0,1() 21,.,Fxxx ,7. 设随机变量 X 的概率密度为 (),0,)4fx其 它对 X 独立观察 3 次, 求至少有 2 次的结果大于 1 的概率.解 根据概率密度与分布函数的关系式 ,PaX()()dbabFfx可得.215()48x所以, 3 次观察中至少有 2 次的结果大于 1 的概率为.2335175()()826C8. 设 , 求关于 x 的方程 有实根的概率.(0)XU240Xx解 随机变量 X 的概率密度为 105,(),f 其 它若方程有实根, 则 0, 于是 2. 故方程有实根的概率为21632XP 2=XP201d5x.9. 设随机变量 . )2,3(NX(1) 计算 , , , ； 5P 410X |2P3X(2) 确定 c 使得 ;c(3) 设 d 满足 , 问 d 至多为多少？.9解 (1) 由 Pa0), 试求随机变量和 Z=X+Y 的概率密度.解 已知 X 和 Y 的概率密度分别为, ; .2()1)exfx),(),(,021(ayyfY由于 X 和 Y 相互独立, 所以 2()1()()(ded2zaZYfzfzyf = .1 )2az4. 设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形 G=(x,y)|1x3, 1y3上的均匀分布, 试求随机变量 U=|X-Y|的概率密度 f(u).解 由题设知, X 和 Y 的联合概率密度为1,3,(,)40.xy