高中数学必修五《等差数列前n项和》教案

1等差数列的前 n 项和教案一、教学目的1、使学生理解等差数列的前 n 项和公式的推导过程的思想与方法，并掌握公式。2、使学生运用数学建模的方法，正确运用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的应用问题。3、使学生通过自主观察、分析、探索、归纳、交流，培养学生的自主探索能力、数学建模能力和严谨的逻辑思维能力。4、通过从具体到抽象，从特殊到一般的探索，培养学生的理性思维，逐步树立科学发展观，优化思维品质，养成健康的心理素质。二、教学重点、难点、关键教学重点：等差数列的前 n 项和公式的推导和应用。教学难点：等差数列的前 n 项和公式的推导。教学关键：推导等差数列的前 n 项和公式的关键是通过情境的创设，发现倒序求和法。应用公式的关键是如何从实际问题中抽象出数量关系，建立等差数列模型，运用公式解决问题。三、教具、学具准备多媒体课件。运用多媒体教学手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率和质量。四、教学方法按现代教育观，课堂教学应充分发挥“教为主导，学为主体，练为主线”的教学思想。本节课运用“引导探索发现法” ，采用“情境引入自主探究成果交流变式应用反思回授”等五个环节，并使用多媒体辅助教学，引导学生动手动脑去观察、分析、探索、归纳获得解决问题的方法，把教学过程变为渴望不断探索真理并带着美好感情色彩的意向活动。五、学法指导“授人以鱼，不如授人以渔” 。教是为了不教，教给学生好的学习方法，让他们会学习，并善于用数学思维去分析问题和解决问题，受益终身。本节课根据教材特点，激“疑”生“趣” ，学生自主探究，学会从具体到抽象，从特殊到一般，由浅入深去分析、探索，循序渐进地发现等差数列的普遍规律，从而得出等差数列的前 n 项和公式，在应用公式解决问题时，引导学生理论联系实际，抽象出数量关系，建立数学模型，获得解决问题的方法，带领学生 踏上“再创造”之旅。2六、教学过程1、复习回顾，以旧悟新（1）等差数列的定义： ),2(*1Nndan， d为常数。（2）等差数列的通项公式： (。（3）等差数列 na中，若 pqm，则 pqmnaa（ p、 q、 、 *nN） 。2、创设情境，引入新课200 多年前，德国著名数学家 Gauss（高斯）10 岁读小学时，老师出了一道数学题：1310? 据说，当其他同学忙于把 100 个数逐项相加时，高斯经过思考后很快得出其结果是 5050。师：“小高斯快速算出 12310 的和，成为千古美谈。同学们，我们也能成长为高斯。这节课我们研究等差数列的前 n 项和 ，就是与高斯比一比，我们也能快速算出 1230 ，并且把这种方法推广到更一般的等差数列前 n 项和的求法中去。 ”这个问题实际上就是本节课要学习的内容：（板书课题）2.3 等差数列的前 n 项和一般地,等差数列的前 n 项和用 ns表示,即123nsaa现在分小组讨论探究下面的问题：1、1，2，3，98，99，100 从数列角度来看，这是什么数列？高斯用什么方法快速算出这个数列的和？2、高斯的算法妙处在哪里？这种方法能够推广到求一般数列的前 n 项和吗？3、这些方法用到了等差数列哪一个性质？4、能否用高斯的速算法求下列等差数列的前 n 项和：（1）计算 12321?naa（2）计算 1()()()dd学生阅读、小组讨论时，老师要眼观六路，耳听八方，对每个学生在自觉和小组讨论中遇到的难题，要进行适当点拔，使他们的学习走上正轨，然后各小组汇报研究性学习成果，进行全班交流。A 组小组长说：1，2，3，98，99，100 是首项为 1，末项为 100，公差为 1 的等3差数列，高斯的算法是：（1+100 ）+ （ 2+99）+ +（50+51）= 105。B 组小组长说：也可以写成算式的形式： 125019s 921 210100s ()5。师：很好，这种方法就是把数列各项的顺序倒过来再相加的方法，我们把这种方法称为“倒序求和法” 。这种倒序求和法运用了等差数学哪一个性质？B 组小组长说：运用了等差数列中与首末两项等距离的两项的和等于首末两项和的性质。即在等差数列 na中，若 pqmn，则 pqmnaa（ p、 q、 、 *nN） 。3、讲授新课，推导公式教师因势设问：“能把倒序求和法推广到一般的等差数列的前 n 项和吗？”C 组小组长说：可以运用高斯算法倒序求和法可计算：12321nnnsaa 3n a12132231212()()()()()()nnnnnnnsaaaa 31a1()nns， ()2aD 组小组长说：同理运用高斯算法倒序求和法也可计算：111()(2)()nsdandand 1a11112()2()2()2()nsdandandand41() ()2nsadE 组小组长抢答:由下列算法也可以得到公式 ( )：111()()(ns and2)nnad11112()()()()nnnnnsaa 以 1()nad代入也可得到公式 ()的形式。师：非常好。公式 、 ()称为等差数列的前 n 项和公式，用这些公式可求得等差数列的前 n 项和。引导学生比较得出：若已知等差数列首项为 1a，末项为 n，项数为 ，可直接运用公式( )1()2nnas求和；若已知等差数列首项为 ，公差为 d，项数为 ，则直接运用公式1d求和较为简便。从公式的结构特点可知，公式化共包含五个量 1a，na， ， ， ns，只要知道其中三个量，就可以求出其余两个量。思考：比较两个公式 ( )、 ，说说它们分别从哪些角度反映等差数列的性质？4、初步应用，熟悉公式请同学们解下列一组题。计算下列各题：（1） 23n 。（2） 5(1) 。（3） 46 。（4） 1(2)n 。生：直接利用等差数列的前 n 项的公式 ( 求得：（1）原式 ()2n（这是正整数列之和） 。（2）原式 21（这是正奇 数列之和） 。5（3）原式 2()nn（这是正偶数列之和） 。师：第（4）题中的数列不是等差数列，但在解题时我们应仔细观察，由此及彼，由表及里，去伪存真，寻找规律，可能某局部成等差数列（学生在老师引导下会悟到） 。生甲：把正数项与负数项分开，正好组成正奇数列与正偶数列之差。 2135(21)(46)()nnn 原 式。生乙：原数列虽然不是等差数列，但还有一个规律，相邻两个正整数之差为 1，即依次相邻两项结合都为 ，可得另一解法：(12)34(56)(21)1nn 个原 式师：从以上解题过程反思，可以看到一些题目表面上好像没有什么规律，在解题时只要我们仔细观察、寻找规律，是会找到好的解题方法的。5、建立模型，获解方法例 1、求集合 *|7,10MmnNm且 的元素个数，并求这些元素的和。引导学生清楚地认识到，要找到解应用题的方法，必须运用理论联系实际的方法，抽象出数量关系，建立相应的数学模型，这是寻找解题方法的关键。求等差数列的和，要特别注意数列的项数 n 是什么。师：元素 m的个数应根据什么条件确定？生：应根据 、 的范围、条件确定，由 10m，得 710n，10247n，又 *nN，满 足 上 面 不 等 式 的 正 整 数 共 有 4个 ,所 以 集 合 M的 元 素 共 有 4个。师：请把这 14 个元素从小到大列出来。生：7，14，21，98。师：这是一个什么数列？生：这个数列是等差数列，记为 na，其中首项 17a，末项 1498a，项数 14n，公差 7d，根据等差数列的前 n 项和公式得：14()4(798)3522nas。答：集合 M 共有 14 个元素，它们的和等于 735。师：可能用公式 ()解答吗？6生：可以，有： 1()14()773522nsad。师：比较一下，这两种方法有什么不同之处？生：用公式 ( )要先求出 n，再运用公式。用公式 ()不需求 na就可以直接运用公式，显然用公式 方法简单。小结：1、在应用等差数列的前 n 项和公式解应用题时，运用理论联系实际的方法抽象出数量关系，建立相应的数学模型，即等差数列模型，从而获得解题方法。2、分别用公式 ( )、 解答，即掌握题目的数量关系后，可以从多角度去解应用题。例 2、2000 年 11 月 14 日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的通知 。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从 2001 年起用 10 年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网，据测算，2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万元，为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加 50 万元，那么从 2001 年起的未来 10 年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？对此例题，老师先启发引导，然后让学生练习，如有不懂再点拔。实施“校校通”工程的经费，每年是多少？总投入经费是多少？想一想这个问题的数量关系与我们所学过的哪些数学规律类似？500 万，50 万，未来 10 年的“10 年” ，工程总投入等相当于数学理论中什么量？从中建立求解的数学模型。学生甲：根据题意，从 2001 年起到 2010 年该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加 50 万，可以建立一个等差数列 na，表示从 2001 年起每年投入的资金。其中150,10adn。由公式 ()可知，投入金额为：1()10)55072()22nsd万 元。学生乙：也可以用公式 ( )求解：105()09a，1(5)7250()2ns万 元。答：从 2001 年起到 2010 年，该市在“校校通”工程中总投入资金 7250 万元。小结：解应用题必须建立适当的数学模型。6、加强练习，练中提高7（1） 、求集合 *|21,60MmnNm且 的元素个数，并求这些元素的和。（2） 、一位技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速 10km/h 开始，每隔 2s 速度提高 20km/h。如果测试时间为 30s，测试距离是多长？（3） 、请同学们参考例 1、例 2 和课堂练习题自己编写一道求等差数列前 n 项和的练习题。7、归纳总结，提高认识师：谁来总结一下，本节课学习了什么内容和方法？生：（1） 、本节课学习了等差数列的前 n 项和公式1() ( )2nnas1d（2） 、学习了一种崭新的数学方法倒序求和法。师：总结得很好，我们还应注意以下几点：（1） 、公式 ( )、 共有五个量，只要知道其中三个量，就可以求出其他两个量。这是下一节课要学习的内容。（2） 、求等差数列的前 n 项和，要特别注意公式中的项数 n 是什么。（3） 、解应用题时，必须运用理论联系实际的方法，抽象出数量关系，建立相应的数学模型，才能找到适当的解题方法。8、布置作业（1） 、课本 53P习题 2.3 第 2 题。（2） 、自己编写一道求等差数列的前 n 项和的练习题。（3） 、写一篇学习“等差数列的前 n 项和”的心得。（4） 、预习：课本 50 1。9、教学信息反馈五分钟测验如图，一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放 120 支，这个 V 形架上共放多少支铅笔？教案说明8本教案的内容是等差数列的前 n 项和的第一节课，现将该节课设计意图简单介绍如下：根据新课标的要求，尽可能将数学文化与高中数学课程内容有机结合。因此本节课创设高斯 10 岁时快速解出 1+2+3+100=？的情境，通过学生预习课文、小组讨论、全班交流等形式，让学生在互帮、互辩、互学中去分析问题、发现问题，使学生在自主学习中提高人文素养和综合运用知识的能力，体现了学生的主体地位。在公式推导中，学生通过从具体到抽象、从特殊到一般、由浅入深的严格逻辑推理，从而获得等差数列的前 n 项和公式。这种设计符合学生的认知规律，培养了学生的分析能力和创新意识，逐步树立科学发展观。同时，在不断变式推理过程中，让学生在实践认识再实践再认识的道路上循序渐进去发现解决问题的方法，在数学实践中渗透理性思