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6.1.4续 二阶常系数线性微分方程二阶常系数齐线性方程 二阶常系数非齐线性方程特征方程特征根一、二阶常系数齐次线性微分方程形如的 方程，称为二阶常系数齐线性微分方程，即 特征方程特征方程是 方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通解为由刘维尔公式求另一个解：于是，当特征方程有重实根时，方程 ( 1 ) 的通解为由 求根公式故当特征方程有一对共轭复根时，原方程的通解可表示为均为方程 ( 1 ) 的解，且它们是线性无关的：由 线性方程解的性质：欧拉公式：3) 特征方程有一对共轭复根：是 方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解为二阶常系数齐线性微分方程特征方程特 征 根 通 解 形 式例解例解例解故 所求特解为例解此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹突然放手，开始拉长，簧 运动的规律（设其弹性系数为 k ）。取 x 轴如如图所示。由 力学的虎克定理，有（ 恢复力与运动方向相反 ）由 牛顿第二定律，得它能正确描述我们的问题吗？ 记 拉长后，突然放手的时刻为我们要找的规律是下列初值问题的解：从而，所求运动规律为 简谐振动简谐振动n 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为特 征 根 通 解 中 的 对 应 项二、 n 阶常系数齐线性微分方程例解在 研究弹性地基梁时，遇到一个微分方程试求此 方程的通解。解例三、二阶常系数非齐线性微分方程形如的 方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程，它对应的齐方程为我们只讨论函数 f ( x ) 的几种简单情形下， (2) 的特解。方程 (2) 对应的齐方程 (1) 的特征方程及特征根为由 方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有方程 (2) 有下列形式的特解 :方程 (2) 有下列形式的特解 :方程 (2) 有下列形式的特解 :定理定理 1 当 二阶常系数非齐线性方程它有下列形式的特解：其中：例解对应的齐方程的特征方程为 特征根为对应的齐方程的通解为将它 代入原方程，得比较两边同类项的系数，得故原方程有一特解为综上所述，原方程的通解为例解对应的齐方程的特征方程为对应的齐方程的通解为将它 代入原方程，得故原方程有一特解为综上所述，原方程的通解为例解对应的齐方程的通解为综上所述，原方程的通解为例解代入上述方程，得从而，原方程有一特解为例解代入上述方程，得比较系数，得故从而，原方程有一特解为例解对应的齐次方程的通解为将它代入此方程中，得从而，原方程有一特解为故原方程的通解为引入算子记号：由 数学归纳法可以证明：四、欧拉方程关于变量 t 的常系数线性微分方程 。例解 这是三阶欧拉方程，作 代数运算后，得即这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且方程 (1) 对应的齐方程的通解为为方程 (1) 特解形式，代入方程 (1) 中，得从而故原 欧拉方程的通解为例 2.解 : 将方程化为 (欧拉方程 ) 则方程化为即 特征根 :设特解 : 代入 解得 A = 1, 所求 通解为 例 3.解 : 由题设得定解问题则 化为特
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