高中数学论文：数学教学中错误资源的有效利用

1高中数学论文数学教学中错误资源的有效利用-利用纠错本诊断错误【摘 要】：我们的学生，有着不同的知识背景、不同的情感体验、不同的表达方式，也就有着参差不齐的思维水平，出现错误在所难免。很多学生在建立纠错本的过程中往往是一种被迫行为，其中一个很大的原因是教师也没有好好利用、收集学生的纠错本上的错误加以利用。笔者通过纠错本了解学生的错误，诊断错误，透过现象看本质，针对不同级别的错误采取不同的处理方式，从而使错误这种珍贵资源得到合理利用。希望有助于提高课堂效率、帮助学生解决存在问题。【关键词】:二级错误、思维、解题能力【正文】“作为老师，在做教学设计时，如果你把学生放在你的心里，那么你就会在教学中增加引导学生去学好数学的力度，老师在教学的每一个环节中一旦有了这杆秤，教学效率就会更高，而这个效率反映在学生有了学习的本领。”最近查阅资料看到前面这一段话时，笔者深有感触。笔者所在学校非常重视学生出现的错误，给每位学生都发了一套纠错本，且要求教师定期检查学生的纠错本。一段时间之后，学生的纠错本就比较厚实了。本班有一个数学基础较薄弱的女生，笔者要求她在做错题之后就将自己没有完全掌握的错题及其解答抄在作业本上，她也照做了，但经过两个多月的实践之后，她的成绩还是没有多大起色。于是我就找她谈心，了解情况，结果这个学生跟我说：“老师，我觉得将错题写在纠错本上没什么作用。”那这个是不是个别情况呢？我又找了班里其他多位同学，结果一致反映纠错本对于他们成绩的提升没有多大帮助，只有几位程度比较好的同学说还有点用处。纠错本的使用真的毫无价值吗？我想纠错本之于教师就相当于病历本之于医生，应该没有哪个医生会说病人的病例本是毫无价值的。那么问题到底出在哪里呢？通过仔细了解，发现主要是因为学生多数认为建立错题档案太浪费时间，花时间整理错题还不如多做几道题，于是主要表现为：应付老师，老师查就随便找几道题写在本子上，不查就不写；重数量，轻质量，只要是错题就整理下来，错题整理了一大堆，成绩提高不明显；重改错，轻分析，只是把题目的正确答案写在错题本上，没有错因分析或者错因写得过于简单，不能写出做错题的实质性原因，只是写“粗心了”“大意了”等等；重整理，轻应用，错题整理的很好，但不能正确使用，不能发挥其功效。一方面，笔者认为学生建立自己的错题档案需要学生自觉浏览，经常温故，持之以恒，才能体现出纠错本的价值；另一方面，病人的病例本需要医生的准确判断，然后开处方，2纠错本也是如此。教师如果能够重视学生纠错本上的错误，那么学生也会更加重视，从教师的角度来考虑如何合理用好学生的纠错本，是值得深入研究的。笔者尝试要求学生对自己的错误分门别类：（1）一级错误：最低级的错误（比如在平时测验或者作业中明明自己会做的题因为这样那样的疏忽导致出错）（2）二级错误：能做一点但又不能全对的题；（3）三级错误：看到题目时完全没有解题思路的。在一次测验或者平时一个礼拜之后收上来了解一下情况，然后根据高考方向考试大纲选择一些错误进行分析诊断。一、 对一级错误的处理-个别诊断案例 1.在一次考试之后，笔者在学生 H 的纠错本上发现她将试卷上一题直线与圆的解答题粘贴在了纠错本上，旁边写了个一级错误。课余时，笔者找 H 了解情况：考试时我先看了一遍试卷，一看这题就知道我会做的，但是在做这道题时算了两遍还是算不出答案，看了下时间就慌了，于是就先做其它题，结果后来时间来不及了。笔者给她的建议是：通过考试也可以判断一个人处事的策略，考试时明明知道题目自己会做，就应该立场坚定，对自己有信心，心静下来慢慢做，与其把时间花在自己不会做的题上，还不如踏踏实实把自己会做的题做好。案例 2.有很多时候，学生对自己错误的判断都归结为粗心，其实不然。这个时就需要教师给他找出错误的源头。在一次研究学生的纠错本过程中，笔者发现好几位同学都有这道题：求过点 A(6,5),B(0,1),并且圆心在直线 3x+10y+9=0 上的圆的方程。看这几位学生的订正，都是通过设圆的标准方程去计算的，旁边写着一级错误，其中有一位同学还写着马大哈，计算太不仔细了。笔者当时就想，其实这道题如果利用圆心在弦的中垂线上这一性质去解，计算量会更小，这可能不仅仅是粗心那么简单，或许学生对什么时候用圆的标准方程，什么时候用一般方程，什么时候用性质，哪个计算量更小并不是很清楚，这个错误可能属于二级错误。二、 对二级错误的处理1.以展示为重点，提高学生的参与热情为了了解案例 2 出现的问题到底在哪，笔者在一堂课上出了这样一道题：已知的 图象与 x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经()1()fx过这三个点，求此圆与坐标轴的另一个交点的坐标。这道题其实就是已知圆上三个点坐标 A(1,0)，B(-2,0),C(0，-2)求圆的方程。在学生解答的过程中，我转了几圈，看到大多数学生算出点的坐标之后，就设圆的标准方程，然后计算，有少部分学生用性质，有一个学生 S 刚开始是翻出自己的一本公式小3册子看，在其他同学列好方程之后才开始动手写，但是等他解出时其他同学大部分都还在计算。大多数同学的做法使我更加确信了学生对圆方程理解不透彻，对计算量大小没有一个概念。于是我根据的解题情况挑了三种方法、三位学生 L,S,Z 上黑板板演。L-设圆的标准方程S-设圆的一般方程Z-利用圆心在弦中垂线上这一性质，通过求出线段 BC、AC 的中垂线方程求出圆心，在计算半径得圆的方程。通过展示同一问题的不同解法，然后让学生自己去比较、判断，学生的热情就来了。教师提问：“L 与 S 哪个计算量更小，为什么？”结果多数学生指出是因为用一般方程就不需要自己再展开化简了，就少了三个方程的化简。再问:“那么与 Z 比较呢？”这时多数学生不置可否，有一个学生 M 这时站起来说：“老师，其实 Z 的方法如果把其中一条线段的中垂线方程换成线段 AB 的中垂线方程，计算量也比较小。”很多同学这时恍然大悟-对啊，线段 AB 就在 x 轴上，它的中垂线就是直线 ，多简单啊！12x最后笔者说“S 是先查阅公式，在其他同学都已列好等式时才开始解题，但他计算好时还有一半的同学还没有计算出来。”这时有学生就喊了：“磨刀不误砍柴工嘛！”此时再让学生进行总结，教师补充。再让学生做一道简单习题：求以点 O（0,0），A（2,0）,B(0,4)为顶点的三角形 OAB 的外接圆方程。结果多数学生只用了大概一分钟的时间就得出了答案。人本主义心理学代表罗杰斯认为，一个人只会有意义地学习他认为与保持或增强自我有关的事情。同时，当学习者具有某种目的，并认为学习有助于达到这一目的时，学习速度就会加快。笔者通过展示学生自己的做法，再让学生自己去比较、选择计算量更小的解法，以解决计算上的问题，充分提高了学生的学习热情。后记，近几年高考解答题解析几何基本上都是考察学生的计算能力，让学生思考如何简化计算，是非常有必要的。2.以点评为关键，探究知识内涵在复习课中，学生是主体，教师是主导，教师的主导作用体现在“点评”与“提升”的质量和水平上。案例 3.在学生的纠错本上，笔者看到了一题二级错误题的不同订正，因为篇幅原因笔者将其整理如下：题目：过点 M（0,1）作直线，使它被两直线 ， 所截得1:30lxy2:80lxy的线段恰好被 M 平分，求此直线的方程。订正一（有 4 人）：设 上点 ， 上点 ，AB 的中点为 M，1l0(,)Ax2l1(,)B4利用中点的坐标公式列方程组0112(8)3x订正二（有 2 人）：设 上点 ，M 为 AB 中点，则 上点 ，将 A、B 带1l(,)Axy2l(,)Bxy入直线方程，得方程组 08订正三（有 7 人）：设所求直线为 ，:1lk联立 、 方程得 （1）1l13xk联立 、 方程得 （2）2l2利用 M 为 AB 中点， （3）10x将（1）、（2）带入（3）式，求出 .k订正四（有 2 人）： ， ，1(,)Ay2(,)Bx利用 21211212|040()4Bx yyy再将 带入上式，联立 求得1212y12,y此题涉及的学生人数较多，笔者就在课堂上点评、剖析。解题的关键是分析已知条件、所求，然后建立联系、列出等式或不等式求解，根据题意有哪些等价条件呢？-若记 A、B 分别为所求直线 与 、 交点，则有以下条件：l12l A、B 分别在 、 上1l2 AB 的中点为 MA、B、M 都在 上l其实仔细分析下就会发现万变不离其宗，解法一就是先利用条件先设点，再用列方程组求点 A、B，再用求出 方程；l解法二是先利用条件设点，再用列方程组求点 A、B，再用求出 方程；解法三是先利用条件设直线 ，再用、列方程组求点 A、B，再用求出 方程；l l解法四也是先用列方程，再用、带入化简。不管用那一种方法，都是在用条件、，不同的只是用的先后顺序，所以在解5题中非常关键的一个工作就是将题目想表达的条件逐条翻译出来。另外，我们再仔细看解题的过程会发现，在设字母的过程中字母多与字母少，哪一个更易化简呢？这个时候学生指出解法四的化简过程比较难。笔者指出，这说明我们以后再解题设的过程中应尽量使参量越少越好，但参量是 1 个或 2 个差别不大。通过教师的这种点评，点到问题的核心处，解释本质，阐述规律，点在思维的关键处，可以让学生逐步搞清思维的发生与发展，可以从一个问题的解法与过程去归纳提炼出解决这一类题的思想、方法、关键、发展与迁移，特别是如何找准解题的切入点。3.接收求救信号，原题重练加固很多时候，通过教师的讲解或同学的点拨，学生对一些题目的解答过程虽然在当时的认识瞬间达到了一个新的高度，建立了一个新的知识结构，但这种新知识的完全掌握则需要教师帮助他填充更丰富实在的内容。案例 4.这是部分学生的一题二级错误题，这道题是上课的例题，上课的时候笔者还觉得学生的反应都蛮不错的，应该属于完全掌握的题型，但几个学生在纠错本上还写着根据解答模仿还行，但总觉得不太有底，不是很理解这样的话。为了了解学生的整体情况，过了几个礼拜后，笔者在周周清的试卷中再出了一道类似题，再让学生做：已知 的最小值为 .1yx,y0且 +2=,则 x结果班里只有 7、8 个同学做出来。在给出 后，笔者追加了下列后续练习进12()32xy行训练巩固，效果很不错.（1） 已知 的最小值4y1,0且 x+=， 求（2） 已知 的最小值9,y且 ， 求（3） 已知 的最小值2x10x2,求 函 数（4） 已知 的最小值23cos2,求 函 数 y=sin从学生的纠错本上教师可以判断他们对于知识的掌握程度，学生的一些写在纠错本上的话也可以当做一种求救信号。教师了解情况后，将学生的模凌两可变成必然的逻辑演绎，是对学生思维能力的巨大提高。三、对三级错误的处理-以变式为核心，突出思维迁移学生的三级错误题，绝大多数都是灵活和综合运用类型，而要增强这方面的6能力，就必须使学生在不同情境中识别和应用所形成的技能，在不同的场景、背景中发现熟悉的模式，在这种磨练的过程中，不断地学会思考，尝试失败，体验成功，增强数学解题能力。案例 5.本题主要考查函数图象的周期性、对称性、单调性的综合应用。学生把它归类为三级错误，说明在函数图像性质的综合应用方面还欠缺，需要变式的强化训练。具体不足主要是下面两点：（1）作出的函数图象比较粗糙，从而不能准确确定出交点个数（2）不能准确分析出交点的对称性，从而无法求出交点横坐标的和针对本题求解过程中出现的问题，在备考中我们要关注：（1）平时涉及函数图象的问题时，要规范准确地画出图象，不应相差甚远地草草完成.（2）加强通过解析式与图象辨别、分析图象的对称性、周期性的训练以提高解决这类问题的能力.于是笔者设计了下面三个变式训练：变式 1.方程 在 内（ ）|cosx(,)A.没有根 B.有且仅有一个根 C.有且仅有两个根 D.有无穷多个根变式 2.函数 的零点个数为（ ）sinlgyxA.0 B.1 C.2 D.3变式 3.已知函数 y=f(x)的周期为 2，当 那么函数 y=f(x)的图1,x2时 ， f(x)=象与函数 的图象的交点共有（ ）|lA.10 个 B.9 个 C.8 个 D.1 个在利用图象求交点个数或解的个数问题时，作图要十分准确，否则容易出错，这三道变式题中尤其是变式 2、3 都需要准确画图。高考试题往往把函数的奇偶性、单调性、周期7性、最值、解析式等综合在一起进行考查，解决这类问题时，一是要紧扣奇偶性、单调性的定义及有关的结论，二是要把各种性质之间的联系充分利用好，如奇偶性与单调性的联系，周期性与单调性的联系，周期性与对称性的联系等。学生在综合运用方面的能力往往是比较薄弱的，对大部分同学来说，靠一次的变式训练也许不能完全解决问题，但是若发现问题就进行相应的变式训练，那么其解题、思维能力会逐步提高。在教学中，教师若重视学生发生的错误，那么学生自然也会重视，从而使纠错发挥它应有的价值。了解、诊断学生的纠错本是需要教师花费一定的时间和精力认真研究整理的，但这是最适合自己学生的实际的经典性材料。如此有针对性地解决学生的问题，发现学生的思维缺陷和典型错误，找出学生知识上的盲点，能力上的弱点，方法上的不足，那么教师就能更贴近学生，必然对