误差分析与数据处理

9 误差分析与数据处理冶金生产和科学试验中，测得的数据只能达到一定程度的准确性。但对准确性的要求在不同情况下则有所不同，既不能盲目追求过高造成人力和物力的浪费，也不能过低而造成测得数据没有价值，所以对准确性的要求必须适当。进行试验时，首先了解试验所能达到的精度和产生误差的主要因素，以及试验以后科学地分析和处理数据的误差，这对试验水平的提高有一定的指导作用 。9 误差分析与数据处理通过了解误差的种类、起因和性质可以抓住提高准确度的关键，通过误差分析可以寻来较合适的试验方法和选择合适的仪器设备 。9 误差分析与数据处理9.1 误差分析9.1.1代表值及误差(1)代表值代表值一般用平均值表示。平均值有算术平均值、均方根平均值、几何平均值等，在冶金试验中常用算术平均值作为代表值。设 x1， x2， .， xn 代表各次观测值， n代表观测次数，则算术平均值 的计算式：9 误差分析与数据处理(2)误差及误差分类对于数值集合分布性质特征，常用离散度表示，它是说明以平均值为中心，数值是怎样分布的。如图 1-1，当分布曲线形成幅度很窄的陡峭尖峰时（曲线 a），表示大部分数值都集中在平均值附近，则离散度小；相反，曲线形成平缓的突起时（曲线 b），表示数值分布在较宽的范围内，离散度大。（ 9-1）9 误差分析与数据处理对离散度的表示方法，一般用偏差表示，指观测值与平均值之差，通常所说的误差是指观测值与真值（观测次数无限多时求得的平均值）之差。习惯上常将二者混用而不加区别。图 9-1 数值分布图 图 9-2 误差正态分布图9 误差分析与数据处理误差产生的原因及分类 ：误差有不同的分类方法 ， 就其性质和产生的原因 ， 可将误差分为系统误差、偶然误差和过失误差三种 。1）系统误差（恒定误差）产生原因：l仪表未经校正l测量方法不当l化学试剂纯度不够l观测者的习惯与偏见等而产生 9 误差分析与数据处理特点：l恒偏于一方l数值的大小按一定规律变化或者固定不变它决定了测量结果的准确性9 误差分析与数据处理消除（使之减小）办法 ：l采用不同的实验技术或不同的实验方法l改变试验条件l调换仪器和试验人员l提高化学试剂纯度9 误差分析与数据处理2）偶然误差（随机误差）产生原因：某些无法控制的偶然因素影响的结果。l测量仪器灵敏度的有限性，l温度、压力等无法控制的微小变化产生的原因一般不详，因而无法控制，但用同一仪器在同样条件下，对一个量做多次测量，若观测次数足够多，则可发现偶然误差完全服从统计规律， 如图 9-2所示 。9 误差分析与数据处理图 9-2所示 曲线称为误差的正态分布曲线，曲线的函数形式为：或式中 h称为精密度指数 , 为标准误差。 h与 的关系式为：9 误差分析与数据处理由图 9-2可以看出：l误差小的比误差大的出现几率大l大小相同，符号相反的正、负误差出现的几率近于相等故 误差出现的几率与误差大小有关 ， 当没有系统误差时，无限多次测量结果的平均值可以代表真值 .若标准误差为 , 则9 误差分析与数据处理误差在 内出现的几率为 68.3%； 2 内出现的几率为 95.5%； 3 出现的几率为 99.7%。可见误差超过 3 出现的几率只有认 0.3%，因此多次重复测量中个别数据误差的 绝对值大于 3 时，这个数值可以舍弃 。9 误差分析与数据处理3）过失误差是一种与实事不相符的误差，主要是由于粗枝大叶和操作不正确等原因所引起 ， 如读错刻度、记录错误、计算错误等。此类误差无 规律 可寻，只要多加注意 、 细心操作就可避免。9 误差分析与数据处理(3)误差表示与计算误差的大小一般用 绝对误差 和 相对误差 来表示。绝对误差与被观测对象的大小无关，以 x 表示；相对误差与被观测对象的大小有关，以 x% 表示。绝对误差有平均误差、标准误差与方差。1）平均误差（ ）平均误差是测量值 xi与平均值 之偏差的平均值，n为测量次数，则计算式为：9 误差分析与数据处理2)标准误差（ ）为消除平均误差的缺点，而将偏差给予平方，这样较大的误差会更显著地反映出来，就能更好地表示出数据的离散程度。故标准误差是表示精密度的好方法。在近代科学试验中多采用标准误差，其计算式为：（ 9-2）（ 9-3）9 误差分析与数据处理3)或然误差（ P）在一组测量数据中若不计正、负号，误差大于或小于 P的测量值将各占测量次数的 50%，误差落在 +P与 -P之间的测量次数占总测量次数的一半。也就是说，如果再做一次测量，应有 50的几率其偏差小于或然误差 P。 P的计算式为：（ 9-4）9 误差分析与数据处理4)相对误差以上三种均为绝对误差，为建立绝对误差与被测对象大小的关系而引入了相对误差，其定义式为：（ 9-5）（ 9-6）9 误差分析与数据处理测量结果的精密度可表示为 (或 ）， （或 ）越小，表示测量的精密度越高。有时也用相对误差表示精密度 （或 ）。不论用绝对误差还是用相对误差来表示，其误差一般只取一位有效数字，最多不超过两位。9 误差分析与数据处理9.1.2 可疑观测值的舍弃在一组试验数据中，有时发现某一观测值与其余观测值相差很大，如果保留这一观测值，则对平均值有很大影响。如果有充足的理由确认此值是由于某种原因引起，则可以舍弃；若没有充足的理由，绝不能单纯为获得试验结果的一致性而随意舍弃。此时可根据误差理论来决定取舍，其中有 3 准则和乔文涅原理 。其中， 3 准则适用于观测次数大于 10次。9 误差分析与数据处理表 9-1 含弃可疑数据的 K值表观测 次数K 观测 次数 K 观测 次数 K56782.442.572.682.76910 12142.842.913.023.12161820223.203.263.323.399 误差分析与数据处理例题 1测定某矿中 Fe2O3的重量百分含量列于 表 9-2，其中最后一个数值较其它值相差较大，问是否可以舍弃 ?表 9-2 Fe2O3含量表 (重量 )样 品号 Fe2O3%l2345650.3050.2550.2750.3350.3450.559 误差分析与数据处理9.1.3 间接测量中误差的传递冶金试验中有些物理量可直接测得，有时要利用测量的物理量代入某函数关系式，通过运算而得到所需要的结果，这称为间接测量。例如，某金属氧化反应的自由能用下式计算：式中温度 T和氧的分压 是直接测量值，而 G是用已测得的 T和 的值代入上述函数关系式求得。 9 误差分析与数据处理这样，每个直接测量的准确度都会影响最后结果的准确性。由此可以查明直接测量的误差对函数误差的影响情况，从而 找出影响函数误差的主要来源 ，以便 选择适当的实验方法和合理配置仪器 ，以寻求测量的有利条件，因此研究误差的传递是鉴定试验质量的重要依据 。9 误差分析与数据处理（ 1) 平均误差与相对平均误差的传递设有函数 N由 u1,u2,u n各直接测量值所决定。若已知测定 u1,u2,u n时的平均误差分别为 du1,du2, dun，且足够小，则可 N的平均误差及相对平均误差的公式为：9 误差分析与数据处理1 误差分析与数据处理表 9-3 常见函数平均误差计算公式 9 误差分析与数据处理例 9-2 以溶剂的凝固点降低测分子量时，分子量 (M)以下式计 算9 误差分析与数据处理式中 ,WB=0.3克 (溶质重 )，用平均误差 dWB=0.0002克的分析天平称量；WA=20克 (溶剂重 )，用平均误差 dWA=0.05克的粗天平称量；T0为溶剂的凝固点， T为溶液的凝固点