2017届高考数学第一轮复习押题专练(十五)含答案

解两个向量相等的含义 法的运算，并理解其几何意义 解两个向量共线的含义 1向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度 (或称模 ) 平面向量是自由向量 零向量 长度为零的向量；其方向是任意的 记作 0 单位向量 长度等于 1个单位的向量 非零向量 a|a| 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0 与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0 的相反向量为 0 向量运算 定 义 法则 (或几何意义 ) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a b b a. (2)结合律： (a b) c a (b c) 减法 求 a 与 相反向量 a b a ( b) 运算叫做 a与 b 的差 数乘 求实数 与向量 (1)| a| | |a|； (2)当 0时， 0时， 0时， a 0 ( a) a； ( )a a a； (a b) a b 向量 a(a 0)与 件是存在唯一一个实数 ，使得 b a 高频考点一 平面向量的概念 例 1、下列命题中，正确的是 _ (填序号 ) 有向线段就是向量，向量就是有向线段； 向量 a 与向量 a 与 向量 与向量 共线，则 A、 B、 C、 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 答案 正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小 【变式探究】 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性 (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关 (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈 (4)非零向量 a 与 a|a|的关系： a|a|是与 【变式探究】设 若 a 为平面内的某个向量，则 a |a| 若 a 与 a |a| 若 a 与 a| 1，则 a 命题的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案 D 高频考点二 平面向量的线性运算 例 2、 (1)设 D， E， C， 中点，则 等于 ( ) (2)在 c， b，若点 D 2，则 等于 ( ) 13c 23b 13c 23c 答案 (1)C (2)A 解析 (1) 12( ) 12( ) 12( ) . (2) 2， 2 2( )， 3 2 ， 23 13 23b 13c. 【变式探究】 (1)在 知 B 边上的一点，若 2， 13 ，则 等于 ( ) 13 D 23 (2)在 3，点 与点 C， ，若 (1 x)，则 ) A. 0， 12 B. 0， 13 C. 12， 0 D. 13， 0 答案 (1)A (2)D 【感悟提升】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合三角形法则 (2)求已知向量的和一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则 (3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值 【变式探究】如图，一直线 B， ， 交对角线 ，其中， 25， 12， ，则 的值为 ( ) 案 A 解析 25， 12， 52， 2. 由向量加法的平行四边形法则可知， ， ( ) 52 2 52 2 ， 由 E， F， 得 29，故选 A. 高频考点三 共线定理的应用 例 3、设两个非零向量 a与 b 不共线， (1)若 a b， 2a 8b， 3(a b)，求证： A、 B、 (2)试确定实数 k，使 b和 a 【感悟提升】 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联 系当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线 (2)向量 a、 1， 2，使 1a 2b 0成立，若 1a 2b 0，当且仅当 1 2 0时成立，则向量 a、 【变式探究】 (1)已知向量 a 3b， 5a 3b， 3a 3b，则 ( ) A A， B， B A， B， C A， C， D B， C， (2)设 D， B， 的点， 12E 1 2( 1， 2为实数 )，则 1 2的值为 _ 答案 (1)B (2)12 解析 (1) 2a 6b 2(a 3b) 2， 、 共线，又有公共点 B， A， B， 选 B. (2) 12 23 12 23( ) 16 23， 1 2， 1 16， 2 23，故 1 2 12. 高频考点四、方程思想在平面向量线性运算中的应用 例 4、如图所示，在 ， 14， 12， 交于点 M，设 a， a和 b 表示向量 . 【感悟提升】 (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度 (2)易错点是找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解 (3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有 “ 形 ” 的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧如本题易忽视 A、 M、 D 三点共线和 B、 M、 几何特征 (4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会 【方法技巧】 1向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素向量加法的三角形法则要素是 “ 首尾相接，指向终点 ” ；向量减法的三角形法则要素是 “ 起点重合，指向被减向量 ” ；平行四边形法则要素是 “ 起点重合 ” 2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线 3对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点 O， ， 不共线，满足 (x，y R)，则 P， A， x y 1. 【易错提醒】 1解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性 2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误 【 2016高考新课标 2文数】已知向量 a=(m， 4)， b=(3， 且 a b，则 m=_. 【答案】 6 【解析】因为 a b，所以 2 4 3 0m ，解得 6m 【 2016高考新课标 1文数】设向量 a=(x， x+1)， b=(1， 2)，且 a b，则 x= . 【答案】 23【解析】由题意， 20 , 2 ( 1 ) 0 , x x 2015高考安徽，文 15】 是边长为 2的等边三角形，已知向量 、 满足 2 ， 2 ，则下列结论中正确的是 .（写出所有正确结论得序号） a 为单位向量； b 为单位向量； ； ； 4( 。 【答案】 1 （ 2014 辽宁卷）设 a， b， 知命题 p：若 a b 0， b c 0，则 a c 0，命题 q：若 a b， b c，则 a c，则下列命题中真命题是 ( ) A p q B p q C (綈 p) (綈 q) D p (綈 q) 【答案】 A 【解析】由向量数量积的几何意义可知，命题 题 b0 时， a， 命题 p 2 （ 2014 新课标全国卷 已知 A， B， 上的三点，若 12( )，则 与 的夹角为 _ 【答案】 90 【解析】由 题易知点 圆 在 应的角 0 . 3 （ 2014 四川卷）平面向量 a (1， 2)， b (4， 2)， c b(m R)，且 c与 c与 m ( ) A 2 B 1 C 1 D 2 【答案】 2 【解析】 c b (m 4， 2m 2)，由题意知 a c|a| c| b c|b| c|，即（ 1， 2） （ m 4， 2m 2）12 22 （ 4， 2） （ m 4， 2m 2）42 22 ，即 5m 88m 202 ，解得 m2. 4 （ 2013 江苏卷）设 D， B， 12E 1 2( 1， 2为实数 )，则 1 2的值为 _ 【答案】 12 5 （ 2013 陕西卷）设 a， “| ab| |a|b|” 是 “a b” 的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 【答案】 C 【解析】由已知中 |ab| |a|b| 可得， a与 以 a a b，可得 |a， b | 1，故 |ab| |a|b |a， b | |a|b |，故 |a b| |a| b|是 a 6 （ 2013 四川卷） 在 A， B， a， b， c，且 2 B2 A B) C) 35. (1)求 的值； (2)若 a 4 2， b 5，求向量 在 方向上的投影 7 （ 2013 四川卷）在平行四边形 角线 ， ，则 _ 【答案】 2 【解析】根据向量运算法则， 2，故 2. 8 （ 2013 重庆卷）在平面上， ， | | 1， | 12，则|的取值范围是 ( ) A. 0， 52 B. 52 ， 72 C. 52 ， 2 D. 72 ， 2 【答案】 D 1设 中心，则向量 ， ， ， 是 ( ) A相等的向量 B平行的向量 C有相同起点的向量 D模相等的向量 答案 D 解析 这四个向量的模相等 2设 a， b 同向的单位向量，则下列结论中正确的是 ( ) A 1 C | | 2 D | 2 答案 C 解析 因为是单位向量，所以 | 1， | 1. 3在四边形 3 等于 ( ) 12 23 13 56 答案 A 解析 23 ， 12 12 23 23 12. 4已知平面内一点 ，则点 ) A点 B点 C点 D点 部 答案 C 解析 由 得 ，即 2，所以点 5已知点 的圆心，且 0，则 等于 ( ) A 30B 60C 90D 120 答案 B 解析 由 0，知点 又 A 60. 6已知 向量 ， ， ， 满足等式 ，则四边形 _ 答案 平行四边形 7设点 C 外， 2 16， | | | |，则 |_. 答案 2 解析 由