运用简单线性规划思想理解求最值问题

运用简单线性规划思想理解求最值问题华东师范大学 2003 级（数学）教育硕士江苏省溧阳市戴埠高级中学（213331） 潘晓春简单线性规划是高中数学教学的新内容之一，是解决一些在线性约束条件下的线性目标函数的最值（最大值或最小值）的问题。它是运筹学的一个重要内容，对于形成最优化思想有着重要的作用，并且在实际生产活动中也有着广泛的应用，可以实现对资源的最佳利用。简单线性规划只能解决一些二元线性约束下条件下的二元函数的最值问题，但它的思想可以延伸到其他的数学最值问题的求解过程中。简单线性规划的基本思想即在一定的约束条件下，通过数形结合求函数的最值。解决问题时主要是借助平面图形，运用这一思想能够比较有效地解决一些二元函数的最值问题。本文将从规划思想出发来探讨一些高中数学中一些常见的函数最值问题。一、 线性约束条件下线性函数的最值问题线性约束条件下线性函数的最值问题即简单线性规划问题，它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内的各点的点坐标 即简单,xy线性规划的可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标即简单线性规划的最优解。,xy例 1 已知 ， ，求 的最大值和最小值43521xyzxyz约束条件： ，是关于 的一3xy,个二元一次不等式组；目标函数： ，是关于 的一个二2z,xy元一次函数；可行域：是指由直线 ，43和 所围成的一个三角形区域（包35xy1x括边界） （如图 1） ；U可行解：所有满足 （即三角形区域,yU内（包括边界）的点的坐标）实数 都是可行解；,x最优解： ，即可行域内一点 ，使得一组平行线 （ 为,x,y0xyz _ O 2 4 6 8 x y 2 4 x=1 x-4y=-3 3x+5y=25 图 1 参数）中的 取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标 就是线性规划的最优解。z ,xy当线性约束条件中的二元一次不等式组中出现一个二元一次方程（或一元一次方程）时，则可行域就转变成一条线段（或一条直线，或一条射线） 。例 2 已知 满足 ，,xy1246yx求 的最大值和最小值5xy约束条件： ，是关于1246xy的一个二元一次不等式组；,xy目标函数： ，是关于5zxy的一个二元一次函数；可行域：是指由直线 被直线1和 所夹的一条线段26xy4（如图 1） ；AB可行解：所有满足 （即线段上的点的坐标）实数 都是可行解；,xyAB,xy最优解： ，即可行域内一点 ，使得一组平行线 （ 为,U,xy50z参数）中的 取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标 就是线性规划的最优解。z ,这类问题的解决，关键在于能够正确理解线性约束条件所表示的几何意义，并画出其图形，利用简单线性规划求最优解方法求出最优解及目标函数的最大值或最小值。二、 非线性约束条件下线性函数的最值问题高中数学中的最值问题很多可以转化为非线性约束条件下线性函数的最值问题。它们的约束条件是一个二元不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域是直线或曲线所围成的图形（或一条曲线段） ，区域内的各点的点坐标 即可行解，在可,xy行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标 即最优解。,例 3 已知 满足， ，求 的最,xy24xy32xy大值和最小值约束条件： ，是关于 的一个二元二2,次方程；目标函数： ，是关于 的一个二元一3zxy,xy次函数；可行域：是圆 上的圆周 （如图 3）24UO xy 2图 31xy 2 6xy 241xy x O y A B 图 2 可行解：所有满足 （即圆周上的点的坐标）实数 都是可行解；,xyU,xy最优解： ，即可行域内一点 ，使得一组平行线, ,xy（ 为参数）中的 取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标 就320xyzz ,xy是线性规划的最优解。给定区间内的函数最值问题也可以看作是这类问题。例 4 求函数 的最大值和最小值。4yx1,5约束条件： 是关于 的一个二元不等1x,y式组；目标函数： 是关于 的一个二元一次函数；zy,可行域：函数 的图象在直线 和4x1x之间（包括端点）的部分曲线 （如图 4）5xU可行解：所有满足 （即曲线段上的点的,y坐标）实数 都是可行解；,xy最优解： ，即可行域内一点 ，使得,xy一组平行线 （ 为参数）中的 取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标0zz就是线性规划的最优解。,这类问题的解决，关键在于能够正确理解非线性约束条件所表达的几何意义，并画出其图形，利用简单线性规划求最优解方法求出最优解及目标函数的最大值或最小值。三、 线性约束条件下非线性函数的最值问题这类问题也是高中数学中常见的问题，它也可以用线性规划的思想来进行解决。它的约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元函数，可行域是直线所围成的图形（或一条线段） ，区域内的各点的点坐标 即可行解，在可行解中的使,xy得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标 即最优解。,例 5 已知实数 满足不等式组 ，,xy10xy求 的最小值。248xy约束条件： 是一个关于 的一个10xy,xy二元一次不等式组；1 5 6 4 y x O 图 4 目标函数： 是一个关于 的一个二元二次函数，可以看作248zxy,xy是一点 到点 的距离的平方；,xy,可行域：是指由直线 ， 和 所围成的一个三角形区域1010x1（包括边界） （如图 5） ；U可行解：所有满足 （即三角形区域（包括边界）内的点的坐标）实数,xy都是可行解；,xy最优解： ，即可行域内一点 ，使得它到点 的距离最小，则其, ,xy2,距离的平方也取得最小值，此时所对应的点的坐标 就是最优解。,例 6 实数 满足不等式组 ，求 的最小值,xy02xy1x约束条件： 是一个关于 的一个02xy,二元一次不等式组；目标函数： 是一个关于248zy的一个二元函数，可以看作是一点 与点,xy ,x的斜率；1可行域：是指由直线 ， 和0y所围成的一个三角形区域（包括边界）20xy（如图 6） ；U可行解：所有满足 （即三角形区域,xU（包括边界）内的点的坐标）实数 都是可行解；,y最优解： ，即可行域内一点 ，使得它与点 的斜率取得最小值，,y,x2,此时所对应的点的坐标 就是最优解。,x这类问题的解决，关键在于能够正确理解非线性目标函数所表示的几何意义，并利用图形及非线性目标函数所表示的几何意义求出最优解及目标函数的最大值或最小值。四、 非线性约束条件下非线性函数的最值问题在高中数学中还有一些常见的问题也可以用线性规划的思想来解决，它的约束条件是一个二元不等式组，目标函数也是一个二元函数，可行域是由曲线或直线所围成的图形（或一条曲线段） ，区域内的各点的点坐标 即可行解，在可行解中的使得,xy目标函数取得最大值和最小值的点的坐标 即最优解。,例 7 已知 满足 ，求 的最大,xy21xy值和最小值约束条件： 是一个关于 的一个二2,元方程；目标函数： 是一个关于 的一个二元yzx,xy函数，可以看作是一点 与点 的斜率；,20可行域：以原点为圆心，1 为半径的在 轴上方的半圆及与 轴的交点 （如图 7） ；U可行解：所有满足 （即半圆（包括交点）上的点的坐标）实数 都是,xy,xy可行解；最优解： ，即可行域内一点 ，使得它与点 的斜率取得最大, ,xy2,0值和最小值，此时所对应的点的坐标 就是最优解。这类问题的解决，关键在于能够正确理解非线性约束条件与非线性目标函数所表示的几何意义，利