近代光信息处理第1章傅里叶光学基础

第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章第一章傅里叶光学基础Date1第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章第一章 傅里叶光学基础1 1 二维傅里叶分析 1 2 空间带宽积和测不准关系式 1 3 平面波的角谱和角谱的衍射1 4 透镜系统的傅里叶变换性质Date2第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章1.1 二维傅里叶分析1.1.1 定义及存在条件复变函数器 g(x,y) 的 傅里叶变换 可表为G(u,v) = F g(x,y) = - g(x,y)exp-i2(ux+vy)dxdy (1)称 g(x,y)为 原函数 ， G(u,v)为变换函数或 像函数 。(1)式的 逆变换 为g(x,y) = F -1G(u,v) = - G(u,v)expi2(ux+vy)dudv (2)Date3第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章变换存在的条件 为(1) g(x,y)在全平面绝对可积；(2) g(x,y)在全平面只有有限个间断点，在任何有限的区域内只有有限个极值；(3) g(x,y)没有无穷大型间断点。以上条件并非必要， 实际上， “物理的真实 ”就是变换存在的充分条件 。以下我们常用 g(x,y) G(u,v) 表示变换对对于光学傅里叶变换， x， y是空间变量 ， u， v 则是空间频率变量 。在一维情况下，有时也用希腊字母 v 表示频率变量。Date4第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章1.1.2 函数的傅里叶变换由 函数的定义容易得到(x-xo , y-yo) exp -i2(uxo+ vyo) (3)当 xo=0， yo= 0 时得到 (x, y) 1 (4)上式的物理意义表示 点源函数具有权重为 l 的最丰富的频谱分量 因此 光学中常用点光源来检测系统的响应特性 ，即 脉冲响应 (3)式还可表为 ,(x-xo,y-yo)=- exp-i2u(x-xo)+v(y-yo)dudv它正是 函数的积分表达式 根据 函数的偏导数的定义- (n)(x)g(x)dx = (-1)n g(n)(0) (6)得到 (k, l)(x,y)的傅里叶变换(k, l)(x,y) = k+l(x, y)/ xk yl ) (i2u)k (i2v)l (7)Date5第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章1.1.3 傅里叶变换的基本性质(1) 线性 ( linearity )Ag(x,y) + Bh(x,y) AG(u,v) + BH(u,v) (8)(2) 缩放及反演 (scaling and inversion)g(ax,by) G(u/a, v/b)/|ab| (9)上式表明 空域信号的展宽将引起频域信号的压缩 .特别是当 a = b = -1 时，得到反演的变换性质：g(-x, -y) G(-u, -v) (10)(3) 位移 (shift)g(x+xo, y+yo) expi2(uxo+vyo)G(u,v) (11)上式表示 原函数的位移引起变换函数的相移 .(4) 共扼 (conjugation)g*(x, y) G*(-u, -v) (12)Date6第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章(5) 卷积 (convo1ution) g(x,y)和 h(x,y)的卷积定义：g(x,y)h(x,y) = - g(, )h(x-,y-)dd易证明 : g(x,y) h(x,y) G(u,v) H(u,v)函数的卷积有特殊的性质：g(x) (x-xo) = g(x-xo) (15)g(x,y) (k, l)(x,y) = g (k, l)(x,y) (16)(6)导数的变换 公式可由 (7)式导出g(k, l)(x,y) (i2u)k (i2v)l G(u,v) (17)Date7第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章(7) 相关 (correlation)函数 g(x,y)和 h(x,y) 的相关定义为g(x,y) h(x,y) = - g(, )h(x+,y+)dd当 g = h 时成为 自相关 ，有g(x,y) g(x,y) = - g(, )g(x+,y+)dd相关的变换可以利用卷积的变换公式导出：g(x,y) h(x,y) = g*(-x, -y) h(x,y) G*(u,v) H(u,v)g(x,y) g(x,y) G(u,v)2 (21)自相关与功率谱构成傅里叶变换Date8第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章(8) 矩 (moment)g(x,y)的 (k,l )阶矩定义为M k, l = - g(x,y)xk yl dxdy (22)将逆变换表达式 (2)代入上式，得到M k, l=-G(u,v)dudv-xkylexpi2(ux+vy)dxdy由 函数导数的变换表达式 (7)，上式内部的积分-xkylexpi2(ux+vy)dxdy = (i2)-k-l (k, l)(u,v)矩的表达式M k, l = (-i2)-k-l G (k,l) (0,0)Date9第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章(9) Parseval 定理g(x,y) h(x,y) G*(u,v)H(u,v)式可用逆变换表达式改写为- g(, )h(x+,y+)dd = - G*(u,v)H(u,v)exp i2(ux+vy)dudv 令 x = y = 0， 上式为-g(, )h(,)dd = -G*(u,v)H(u,v)dudv这一关系式称为 Parseval 定理 当 h =g 时，上式化为-g(, )2 dd = - G(u,v)2 dudv该 式又称 完备关系式 ，实际上是 能量守恒定律 在空域和频域中表达式一致性的表现Date10第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换1、 rect(x)， (x)及 sinc(x)函数定义(1) rect(x)函数rect(x) = 1 ， | x | rect(x) = 0 ， 其他(2) (x)函数(x) = 1- | x | ， | x | 1(x) = 0， 其他(3) sinc(x)函数sinc(x) = (sin x)/ x-11-1Date11第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换rect(x)， (x)及 sinc(x)函数 傅里叶变换 ：傅里叶变换分别为rect(x) sinc(u) sinc(x) rect(u) (x) sinc2(u)Date12第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换2、符号函数 sgn(x)和阶跃函数 step(x)符号函数 sgn(x)定义sgn(x)= 1， x 0sgn(x)= 0， x = 0sgn(x)= -1， x 0step(x) =0 ， x 0 ooDate13第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换sgn(x)函数和 step(x)函数 傅里叶变换傅里叶变换为sgn(x) 1 / (iu)step(x) = sgn(x)/2+1/2 1/(i 2u) + (u)/2利用 step(x)的变换式及卷积定理，可求出积分 x- g( )d 的变换 ： x- g( )d = - g() step (x-)d= g(x) step (x) G(u)1/i 2u + (u)/2Date14第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换3、周期函数设函数 g(x)可展开为傅里叶级数g(x) = -Cnexp(i2nfox) (38)式中 Cn =(1/X) X/2-X/2 g(x)exp(-i2nfox)dx周期 X=1/fo 对 (38)式两边取傅氏变换得G(u) = - Cn (u - n fo) (40)推导中用到积分变换式：(u - n fo) exp(i2nfox) Date15第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换g(x) = -Cnexp(i2nfox)G(u) = - Cn (u - n fo) (40)4、 函数 comb(x)comb(x) = -(x - n)= -exp(i2nx) (42)(周期函数的傅立叶级数表达式 ) 系数 Cn =1 因此由 (40)式可得comb(x) comb(u) (43)Date16第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换4、函数 comb(x)设 X为实数常数，则有(1/X)g(x) comb(x/X)= (1/X) - g() comb(x -)/Xd= (1/X) - g() -(x- )/X - n d = - - gX(/X)x/X-/X-nd(/X)= -g X(x/X-n = -g(x - nX) (44)结果得到了 以 nX (n = 0， 1， 2， ) 为中心的一系列重复出现的波形 g(x - nX) ， 这一现象称为 “复现 ” Date17第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换4、 函数 comb(x)gs(x)= g(x) comb(x/X)= g(x) -(x/X - n) = - g(nX) (x - nX) gs称 g 的 抽样函数 ， X为 抽样间隙 ，xn=nX称 样点 ， g(xn)称 样值 所以 g(x)的抽样函数 gs(x)是以样值为权重的 函数序列Date18第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章1.1.5 功率谱与空间自相关函数由 Parseval 定理-g(x, y)2 dxdy = - G(u,v)2 dudv g(x,y)为光场的复振幅分布，g(x, y)2代表光强分布， G(u,v)2 则表示单位频率间隔的光能量，称为 功率谱 ，用 s(u,v)表示为s(u,v) = G(u,v)2 (46)根据变换定理，我们得到g(x,y) g(x,y) G(u,v)2 = s(u,v) (47)Date19第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章1.1.5 功率谱与空间自相关函数g(x,y) g(x,y) G(u,v)2 = s(u,v) (47)g g 在光学上称为 空间自相关函数 上式表示功率谱是空间自相关函数的傅氏变换空间自相关函数表征空间相距为 (x,y)的两点之间场的相似性或关联性，它是场的空间相干性的度量 。场的 相干性较高 时， 功率谱的弥散 就较小 ，表示光功率在频域内集中在很小的区域中(可称为 准单色光 )；反之当场的 相干性较差 时，功率谱的弥散就较大 ，表示光功率在频域中分布在较大的区域内，包含较宽的波段。Date20第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章1.2 空间带宽积和测不准关系式1.2.1 空间带宽积与自由度如果信号 g 在频域内不为零的分量限制在某一区域内，则称为 “带限函数 ”。1、 Whittaker-Shannon 抽样定律：带限函数 g(x,y)被它的抽样值的无穷集合 g mn = g( m/u, n/v) 完全确定，式中 u ， v 是频带的宽度， m, n = 0, l , 2, 。Date21第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章2、 空间带宽积与 自由度傅氏变换及解析函数的一般理论告诉我们：频域内的带限函数，在空域内必然扩展到全平面 ，因为带限函数的傅里叶变换是一个解析函数，它不可能在一个有限的区域内处处为零，否则通过解析开拓就可以证明这个函数在全平面内处处为零1.2.1 空间带宽积与自由度Date22第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章1.2.1 空间带宽积与自由度2、自由度实际信号测量系统的输入平面总是有限制的，设信号被限制在 r -x/2 , x/2 , -y/2, y/2矩形区域内，又设系统的带宽u， v 与抽样间隙 X， Y满足倒数的关系，则在 r 内共有抽样点 N 个，N = x y/XY= xyuv = SW (1)式中 S = x y, W = uv 。 SW 称空间带宽积 ，是评价系统性能的重要参数， (1)式指出 通过系统的样点数等于空间带宽积Date23第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章因为一个在频域中非无限扩展的信号 (带限信号 )，在空域中必然是无限扩展的，若用一个具有有限大小的输入端面的系统对该信号进行测量，必然造成信息量的损失，使测量结果失真。例如 信号分布在 矩形 r 内 ，那么这个信号就被它的 N个样值基本上确定了。我们称这个信号有 N 个自由度，显然 自由度数等于空间带宽积 Date24第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章如果系统的输入端面的尺寸小于 r，则自由度数将小于 N 所以空间带宽积与其说是信号的特征，还不如说是系统的特征 ，因为系统有限的空域和频域尺寸限制了通过它的信息量例如对于一个成像系统 ，限制 空域尺寸 的是 视场光阑 的大小，限制 频域尺寸的是 孔径光阑 的大小。显然视场越大、孔径越大的系统能传递更多的信息Date25第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章1.2.2 系统的分辨率考虑一个低通滤波性能的系统的分辨率，即输入平面上能被系统分辨开来的两个点的最小间距 (最小分辨长度 )的倒数。由抽样定理可知，对任意输入信号 g(x,y)来讲，由于系统频率响应特性的限制，其效果都是带限的，因此可以用抽样函数 gs(x,y)来代替它。只要抽样点充分稠密，即条件X 1/ u， Y 1/ v (4)满足时，对于系统输出端而言， gs和 g 等价，在输出端并不能觉察出 gs 的 周期结构，或者说 gs 包含的脉冲是不可分辨的。Date26第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章1.2.2 系统的分辨率当条件 (4)不满足时， gs和 g 对于输出端不再等价，从而在输出端就能觉察出 gs 的 周期结构，或者讲 gs 中 两个相邻脉冲能够被系统分辨开来。这样，系统的最小分辨长度 x 和 y应当与 (4)式表示的 X， Y 同数量级，从而与带宽成反比：x 1/ u， y 1/ v (5)最小分辨长度与空间带宽积的关系为x y x y/SW (6)可见在给定输入端面尺寸 x， y后， SW 越大，最小分辨长度就越小，系统的分辨率就越高，测量过程的失真越小 。Date27第 1节第 2节第