高考数学专题复习讲练测——专题三 三角函数 专题复习讲练 2 三角恒等变换

2 三角恒等变换一、复习要点 三角函数式的恒等变换是解答三角函数问题的方法基础所谓三角式的恒等变换，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式同一式子的不同形状，可以暴露式子的不同整体性质，我们对式子作恒等变换的目的，就是要把我们所需的整体性质显现出来 对式子的一次变形常常不能得到所需形状，须经过数次变形转化，才能达到目的如何选择变形起步点?如何一步一步把给定式子转化为所需形状?通过对例题及训练题的分析，总结归纳出思维规律来，这是本节复习的重难点；本节复习的另一重点是，如何把一个三角函数问题化归为三角式的恒等变形问题 三角式的化简、求值问题，是训练三角恒等变换的基本题型 求三角函数的最小正周期、求三角函数最值、证明三角恒等式、解证三角方程或三角不等式问题，一般都要借助三角恒等变换而完成 联想三角公式与基本题型，并把二者与方程、不等式观点综合运用，这是运用三角恒等变换解答三角函数问题的思维关键 例 1 （1）函数2 2 的最小正周期是（ ）； （2）24 （2）函数 y=2sinxsin2x 的最大值是（ ）；A （6427）B（8 9）C2D（ 2） （3）若（1cos）-（1sin）=1，则 sin2 的值等于_. 讲解：（1）本题是判定一个较复杂三角函数的最小正周期问题联想与此问题有关的基础知识与方法，想起我们会求角为 的基本三角函数的最小正周期，自然产生这样一个解题念头：希望运用三角公式和概念把原函数式变形为（）（或（）的形式，然后用熟知方法求出最小正周期在这一思路指导下，着重观察已知三角函数式的结构特点，朝着既定目标方向，发现用倍角公式与和角公式能完成变形工作，得解法如下： 2 +2 2212（2（6）1， （22），故选 B （2）本题是一道无附加条件的最值问题.回忆求三角函数最值的基本模型方法，想到用三角恒等变换向基本模型转化，但转化方向一下看不透，应在变形过程中逐步明朗化 首先想到应用倍角公式，把原式化为 y=4sin xcosx，接着思考第二步变形想法一：希望把原式化为 y=Asin（x+）的形式；想法二：希望把原式化为二次函数模型这两种转化思维均受阻以后，应重新深入分析 y=4sin xcosx 的结构特点，从中找出转化的新出路 注意到 y 的最大值应在 cosx0 时取得，因此：y=4sin xcosx 可视为正变量的乘积，所以 y 与y 16sin xcos x 同时取得最大值；由 y 的表达形式与 sin x+cos x=1，联想到均值不等式，产生出想用均值不等式实施转化的思维方向设法把式子变形为能用均值不等式求最值的形式构思后，可得如下解法： 当 cosx0 时， 当且仅当 sin x=2cos x，即 cos x=（13）时，等号成立 故选 B （3）这是一道填空题.条件为：sin 与 cos 满足的一个方程式；目标为：求 sin2 的值由目标首先联想到正弦倍角公式，得 sin22cos，看到了目标与条件的内在联系，萌发出解题的方程观点，想到由方程组（1）（1）1， 1， 求出 sin2. 细思考感觉，先求出 sin 与 cos 的方法比较繁，暂不采取转而思考：能否对条件中的方程式实施三角恒等变换，产生出关于 sin2 的方程而求得其值朝着这一既定方向，运用三角恒等变换和解方程的方法，便可获得如下两种解法： 解法 1 （1）（1）1 （1）（1） 11 ）（2）（1 ）1 （1 cos ）（2）1，即（1） 2（1）10 解得 （1）1 又由|1 （1）1， （1）1 ， 1 故22（ 1） 解法 2 （1）（1）1 sin 12（ ）12（） ，即（sin） 2（）10 解得sin 1 又因 1， 1 故222（）2（ 1） 例 2 （1）计算 ctg10410的值; （2）化简 2（） 讲解：（1）本题是具体角的两个基本三角函数求差，形状虽简单，但两项角度均非特殊角，其倍、半角也非特殊角，也不能分拆为含特殊角的和或差，所以既无法分别求得其值，又不能用拆分角的方法，通过展开、抵消、合并得出结果这种情况下，一个有效的策略思想是，先设法将两项分散的信息聚笼贯通，希望从中能看到“某种整体特殊性”或“内在联系”，在这一思想下，想到从“切化弦”并通分入手，得 10410（1010）410 （104101010） 分子中第二项能用倍角公式将角扩大，出现一新角，得（1022010） 思路 1经观察可见，分子中两项的角度之和恰为特殊角 30，且分母的角度与分子中第一项的角度均为 10，由这种关系想到拆角法：203010，得 （102（3010）10） （102（12）10（ 2）1010 （ 10）10 至此求解思路已贯通整理以上分析，得出解答如下： 原式（1010）410（10220）10（102（3010）10（102（12）10（ 2）1010） 思路 2注意到分式化简的基本思想是对分子、分母因式分解，再行约分，而10与220的系数不同，不便于化积，加之化为同名（80与20）后两角之差的一半为30，想到拆项处理： （10220）10（802020）10 （2503020）10（5070）10） （26010）10 （2）这是一道二元三角多项式的化简问题从式子各项中含基本三角函数的名称、幂次、角度及其组合关系看式子的结构特点：第三项比前两项角度复杂，组合关系复杂，而前两项为单角正弦的平方，幂次具有特殊性由此可以产生出如下三个变形方向：从分解较复杂的第三项入手，先把和角的三角函数化为单角的三角函数，从角度和幂次方面把第三项向前两项靠拢；从分解较复杂的第三项入手，先把单角化为和差角，并从角度和幂次方面把第三项向前两项靠拢；从前两项幂次的特殊性入手，先降幂，再从角度方面向第三项靠拢 若选定第一方向，则先用和角公式展开第三因子，得 2 22 看到第四项与前两项已经相通，拆开第四项与前两项分别合并，得 （1 ） （1 ）2 2 仔细观察发现：式子整体已呈现出两数和的平方展开式的形状，即式子的各部分用两数和的平方公式能贯通为一个整体： （） 再用正弦和角公式，立得化简出结果： （） 整理以上变形过程，得出解法一如下： 原式 2 （1 ） （1 ）222222（） （） 若选定第二变形方向，并在变形中运用积化和差公式，可得解法二如下： 原式 （）（）（） （）（） （） （12）（22） （） （12）（12 1 ） （）1 （） （） 若选定第三变形方向，并在变形中运用和差化积公式，可得解法三如下： 原式1（12）（22）2（） 1（）（）2（） 1（）（）2 1（） 1 （） （） 例 3 （1）求（1787817878）的值； （2）若、 是方程 2 23 的两个实根，且 （54），求 的值 讲解：（1）从表达式中含有78和78能想到什么呢?在（78）的展式中将会出现这样的式子!于是想到思路：15（78）（178）故 原式（115（178）78115（178）78）（115）（178）（115）（178） （115）（115）（4515） 本题中运用的结构联想的思维方法在数学解题中是十分重要的 （2）由这样的条件想到韦达定理是很自然的：，（12）（ 3）1， 5， 对吗?注意 的范围！由此应有 由于的确定，不难求出（ 1）2（也要注意由 的范围，01）， （） 121（21 ）（15）（52 ）又 ， （本题也可由 后直接变形得 （1 ）代入上式） 例 4 设0，22（，不同时为 0）证明：2（ ）（ ）0 讲解：本题要证明的是一个条件等式，其条件可看成关于的两个三角方程组成的方程组可由前式解出再代入后式得出求证不等式但不是特殊角，这样做计算量大，不可取 若由前式分别求出和再代入后式也可以，但求、时涉及到符号问题，这样处理也很麻烦 运用思维模块对进行变形： （ ）（ ）令 （ ）， （ ），则（）0，由此得（），并求出2和2的值（22（）22 1）代入后式即可得求证的结论 如果联想到2、2与的关系，可由前式求得（）（0 时另证），用万能公式求得2、2后代入后式也可得证 三、专题训练 1已知78约等于 020，那么66约等于（ ）A 092B 085C 088D 0952 复数 z= 2 i 的模为 （ ）A -cos2B - cos2C cos2D cos23 函数的最小正周期是（ ） （4） （2） 2 4设（1）（1）32 ，则2 的值是 （ ） （ 2） （23） （34） （38）5 化简（2）（2）（2）（2）（）2（2），得_ 6已知 、 为锐角，2（3）7，61，则