苏州市2017年中考《坐标系中三角形周长最小值问题》复习指导

利“刃”在手亿“折”成“直” 例析坐标系中三角形周长最小值问题 在近 几 年的各地中考中，与线段相关的最值问题频频出现，已然成为一道亮丽的风景线 是中考命题所关注的热点之一本文以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，供参考 . 例 1 (2015 年河南省，有改动 )如图 1，边长为 8 的正方形 两边在坐标轴上，以点 C 为顶点的抛物线经过点 A ，点 P 是抛物线上点 A 、 C 间的一个动点 (含端点 )，过点 F 于点 F 、 E 的坐标分别为 (0,6),()，连接 ,E 是否存在点 P ，使 的周长最小 ?若存在，求出点 P 的坐标 ;若不存在，请说明理由 . 分析 存在 . 理由 : 易 求 抛 物 线 的 解 析 式 为 21 88 . 设21( , 8 )8P m m( 8 0)m ， 则 22 2 2 2 21 1 1 18 ( 8 ) , ( ) 6 ( 8 ) 28 8 8 8P F m m P D m m m ，故2F, 的周长 = 2D E E P P D D E E P P F . 如图 2，过 E 点作 C 于点 G ,点共线，即点 P 为 抛物线的交点时， F 的值最小，此时 214 , ( 4 ) 8 68P E Px x y ，所以 周长最小时点 P 的坐标为 (). 点评 本例三角形的三个顶点中，点 P 为动点，点 ,由于 长为定值，欲使 的周长最小，只需满足 E 的值最小即可 P 运动的过程中， 差为定值”这一有力武器，将 问 题转化为“求定直线 一动点 F 与直线外一定点 E 的距离的最小值”，最终借助“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”确定点 P 的位置 . 例 2 (2012 年山西省，有改动 )如图 3，在平面直角 坐标系中，抛物线 2 23y x x 与 x 轴交于 A 、 B 两点， 与 y 轴交于点 C ， 点 D 是该抛物线的顶点 C 上 找一点M ， 使 的周长最小，求出 M 点的坐标 . 分析 易知 ( 1 , 0 ) , ( 3 , 0 ) , ( 0 , 3 ) , ( 1 , 4 )A B C D ，故 224 1 0A B A C O A O C ，直线 解析式为 33. 如图 4，作点 B 关于直线 对称点 B ，连接 ,交 点 M ，则 即为符合题意的周长最小的三角形 .(证明如下 :不妨在直线 取异于点 M 的任一点 M ，连接 ,B M D M B M ,B M B M B M B M ，于是 的周长= ,D M B D B D M 的周长 = B M D M . 而在 中，B M D M B D ，即 B M D M B M D M ，所以 B M 的周长大于 的周长 .) 若 交 点 E ，则 9 0 , 2 2 c o s 2 c o E C A O A C O B B B E A B A B E A B A C O 3 1 22 4 1 0 1 01 0 5 . 过 B 点作 BF x 轴于点 F ，则 3 6 2 13 3 c o s 355 F B B A B E ， 3 1 1 2s i n s i n 1 0 1 01 0 1 0 5 F B B A B E B B A C O ，故 21 12( , )55B , 易求直线 的解析式为 4 4813 13. 联立解方程组 4 4 81 3 1 333 ，得93513235 ，所以 M 点的坐标为 9 132( , )35 35. 点评 本例三角形的三个顶点中，点 M 为动点，点 B 、 D 均为定点，且均位于动点 C 的同一侧 关于动点 M 所在直线 对称点 B ,将问题转化为“求定直线 一动点 M 与直线异侧两定点 B ,B 的距离和的最小值”，从而可利用“三角形任意两边之和大于第三边”加似解决 (当 B 、 M 、 D 三点共线，即点 M 为直线 直线 交点时， M 的值最小，此时 的周长最小 ). 例 3 (2013年湖南张家界，有改动 )如图 5，抛物线 2 ( 0 )y a x b x c a 过点 (0,1)C ，顶点为 (2,3)Q ，点 D 在 x 轴正半轴上，且 C D 绕点 C 逆时针方向旋转45 所得直线与抛物线相交于另一点 E ，若点 P 是线段 的动点，点 F 是线段 的动点，问 :在 P 点和 F 点移动过程中， 的周长是否存在最小值 ?若存在，求出这个最小值 ;若不存在，请说明理由 . 分析 存在 如图 6，分别作点 C 关于直线 ,的对称点 , ，连接 ，交 点 F ，交 点 P ，则 即 为符合题意的周长最小的三角形，此时 周长等于线段 的长 .(证明如下 :不妨在线段 取异于点 F 的任一点 F ，在线段取异于点 P 的任一点 P ，连接 , , , ,C F C P F P F C P C 的 周 长 = F C F P P C ，而 F C F P P C 的 值 为 折 线 段C P F C 的长，由两点之间线段最短可知 F C F P P C C C ，即 P 的周长大于 的周长 .) 如图 6，过点 Q 作 QG y 轴于点 G ，过点 C 作 CH y 轴于点 H ，则C G O C H C: ，可得 12C G Q G C C H C C ， 即 2 2 12C H C H. 所以4, H 6C H C H C C . 在 中， 2 2 2 24 6 2 1 3C C C H C H . 所以，在 P 点和 F 点移动过程中， 的周长存在最小值，最小值为 2 13 . 点评 本例三角形的三个顶点中，点 C 为定点，点 P 、 F 均为动点，且分别在定直线 ，通过寻找定点 C 关于两个动点所在直线的对称点 C 、 C ，就得到由三条与三边分别相等的线段组成的折线，然后借助“两点之间线段最短”化“折”成“直”(当 C 、 P 、 F 、 C 四点共线，即点 P 、 F 分别为直线 直线 的交点时，的周长最小 ). 例 4 (2015 年辽宁沈阳，有改动 )如图 7，在平面直角坐标系中，抛物线224 233y x x 与 x 轴交于 B 、 C 两点 (点 B 在点 C 的左侧 )，与 y 轴交于点 A 是线段 的动点 (点 P 不与点 B 、 C 重合 )，点 Q 是线段 的动点 (点 Q 不与点 A 、B 重合 )点 R 是线段 的动点 (点 R 不与点 A 、 C 重合 )，请直接写出 周长的最小值 . 分析 易求 ( 0 , 2 ) , ( 3 , 0 ) , (1 , 0 )A B C ，故 2 2 2 21 3 , 5A B O A O B A C O A O C . 如图 8，过点 B 作 C 于点 H ，则 885 , s i n 6 55 6 5B C O A B B A B A . 如图 9，分别作点 P 关于直线 ,C 的对称点 , ，连接 ，交 点 Q ，交 点 R ，则 是过点 P 的 的内接三角形中周长最小的三角形，且 周长等于线段 的长 . 若 交 点 , 交 点 E ，连接 则 9 0 ,A D P A E P D P ,D P E P E P ，故 2P P . 连接 取 中点 F ，连接 则 12D F E F A P，所以 F 为 的外接圆，且点 E 在 F 上 . 延长 F 于点 G ，连接 则 9 0 ,D E G B A C D G E ，所以 周长 2 2 s i n 2 s i n 2 s i D E D G D G E A P B A C A O B A C 8 3 22 2 6 5 6 56 5 6 5 . 如图 10，当点 P 与点 O 重合时， 的周长最小，最小值为 326565. 点评 本例三角形的三个顶点均为动点，应采取“以退为进”的策略，即 :先假设 P 点的位置已经确定 (即视点 P 为一定点 )，容易得出结论 :待求三角形周长最小时，其周长等于线段 的长，然后继续探究点 P 的位置后，发现线段 长度的最小值即为点 A 到 x 轴的距离 2A P A P A P P A P B A C ，所以 为等腰三角形，且其顶角 为定值 可以根据“顶角为定值的等腰三角形 底边长的最小值由腰长的最小值来确定”这一经验来判定点 P 的位置 该例的思考却不止于此，我们还可以再进一步探索 , 位置关系 们可以得出这样的结论 : ,R 锐角三角形 三条高， 以 ,个垂足为顶点的三角形即为周长最小的内接三角形证明留待读者自行完成 . 通过上述问题的探究，我们可以发现，解决此类问题通常可以采取的策略是 :把已知问题转化成容易解决的问题，即关联我们熟知的几何基本模型，构造一条以动点为转折点的折线，从而为性质的运用创造条件 解答例 1 时，需分析点在运动的过程中保持不变的关系，将问题转化为“求定直线上一动点与直线外一定点的距离的最小值”问题，然后利用“垂线段最短”把折线化“折”成“直” ，例 3 时，则需牢牢抓 住图形的几何特征，将问题转化为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离之和的最小值”问题，借助轴对称变换使两定点与定直线的位置关系发生改变，即化“同”为“异”，最后利用“三角形任