苏州市2017年中考数学《对称图形—圆》拓展课本例题

拓展课本例题 演绎中考精彩 课本例题、习题是经过专家精心遴选的，具有典型性、示范性的题目，而且具有可拓展的功能 课本习题为原型，从题设、结论及图形结构全方位、多角度的探究与联想，挖掘其蕴藏的深层内涵，可以引导学生深刻领悟解决问题的策略，优化思维品质，提升数学的思维水平 学九年级对称图形 圆中的一道习题为例， 诠 释如下 . 引例 如图 1， O 的直径， C 是 O 上 的一点， 直于过点 C 的切线，垂足为 D ，则 分 . 变式拓展 1 将习题的条件 O 切线与结论 角的平分线交换，构造其逆命题，附加某些线段的长度计算圆中弦长或阴影部分的面积 . 例 1 (2016 年黄石中考题 )如图 2, O 的直径为 点 C 在圆周上 (异于 A ， B ) ，D . (1)若 3， 5，求 值 ; (2)若 的平分线，求证 :直线 O 的切线 . 分析 (1)首先 根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理 便可求得 长 . (2)连结 证 D 即可 ;利用角平 分线的性质和等边对等角，可证得O C A C ，即可得到 /D D ，那么 D ，由此得证 . 解 (1) O 的直径，点 C 在 O 上 90 在 ， 3 ， 5, 由勾股定理，得 4. (2)如图 3，连 . CQ ， O A C O C A , 又 的角平分线， D A C B A C , D A C O C A ， /D , 又 CQ ， D, 是 O 的切线 . 评注 此题要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连结圆心与这点 (即为半径 )，再证垂直即可 . 例 2 (2016 年咸宁中考题 )如图 4，在 ， 90C ， 的平分线交 ，点 O 在 ，以点 O 为圆心， ，分别交 ， F F. (1)试判断直线 O 的位置关系，并说明理由 ; (2)若 23， 2，求阴影部分的面积 (结果保留 ). 解析 (1) O 相切，理由略 . (2)设 O 的半径为 r , 则 OD r ， 2OB r . 由 (1)知 90 , 2 2 2O D B D O B ， 即 2 2 2( 2 3 ) ( 2 ) ， 解得 2r , 30 ， 60 . 于是有 21 6 02 3 6 0O B D B D S O D B D r 扇 形 2233 . 评注 本题将阴影部分 (不规则图形 )的面积转化为规则图形 (可求面积 )面积的和或差(O B D B D S 扇 形)，这是解决此类问题的关键 . 变式拓展 2 将 O 换成半圆，并延长切线与直径使之相交，形 (图形结构变化 )变而神(条件、结论 )不变 . 例 3 (2016 年黄冈中考题 )如图 5， 半圆 O 的直径，点 P 在 延长线上 ， O 于点 C ， D ，垂足为 D ，连结 (1)求证 : V ; (2)求证 : 2B g . 分析 (1)连结 由 圆 O 的切线，利用切线的性质，得到 直于 由直于 得到 行，利用两直线平行得到一对内错角相等 ;再由B ,利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证 . (2)连结 由 圆 O 的直 径，利用直径所对的圆周角为直角，得到 直角三角形 及第一问的结论得到一对角相等，确定出 相似，由相似得比例，变形即可得证 (证明略 ). 变式拓展 3 添加 的锐角三角形函数值，探究 O 的弦 成的线段的比值 . 例 4 (2016 年武汉中考题 )如图 6，点 C 在以 直径的 O 上， 过点 C 的切线垂直，垂足为点 D ， O 于点 E . (1)求证 :分 ; (2)连结 点 F ， 若 4c o D，求 解析 (1)因为 O 的切线，根据“有切点连半径”，我们可以连接半径 根 据“切线垂直于过切点的半径”，所以 D 又 D ， /D , O C A D A C , 又 C ， O A C O C A , O A C D A C , 所以 分 . (2)连结 在 , 由 4c o D ， 可设 4AD k , 则 5AC k ， 3DC k , 由 90A D C A C B ， D 可得 V : V ， D, 154BC k . 由 90A D C A C B ， D 可得 V : V , D， 4516FC k , 4 5 3 55 1 6 1 6A F A C F C k k k , 79. 评注 本题的第 (2)问也可以通过 V : V ，求出直径 用 k 表示 )，进而得到半径 利用四边形 G 是 交点 )是矩形，得到 6BE k E ，在根据三角形中位线求出 最后得到 将 变式拓展 4 丰富课本习题的图形的结构，并添加相关条件，继续深化探究问题的结论 例 5 (2016 年孝感中考题 )如图 7，在 ， 90C ， 点 O 在 ，经过点 A 的 O 与 切于点 D ，与 别相交于点 E ， F ，连结 相交于点 G . (I)求证 :分 . (2)若 D 于点 H ， 分 ， 1. 试判断 数量关系，并说明理由 ; 求 O 的半径 . 分析 (1)略 . (2) 分 , A F H E F H , 又 D F G E A D H A F , D F G G F H H A F H F A , 即 D H F ， H； 设 HG x , 则 1D H D F x . DQ ， 2 2 (1 )A D D H x , D F G D A F Q ， , D F G D A FV : V , F， 112 (1 ) 1, 1x， 2， 4. 直径， 90 . 2 2 2 22 4 2 5A F D F A D . O 的半径 为 25. 评注 本题将课本中相关习题与例题融合在一起，使图形的结构变得更加复杂，这就需要我们学会能 够从复杂图形中分离出基本图形的技能，从而利用简单图形的性质解决问题 . 从上述对课本习题与中考试题的对比分析中可以发现，许多中考试题源于课本，高于课本 立足于课本，在学好基础知识，掌握基本技能和方法的基础上，多角度